Ambrus Gabriella, ELTE

1. Bevezetés

A magyar matematikatanítás történetének kiemelkedő állomása Varga Tamás (1919-1987) komplex matematikatanítási kísérlete, amelynek eredményei mindmáig meghatározók a magyar matematikatanításban. Függvényközpontú matematikaoktatási szemléletének, a függvényekkel kapcsolatos tanítási elképzelésének főbb gondolatait foglalja össze a tanulmány, megidézve ehhez Beke Manó tevékenységét is a függvénytanítás terén.

2. Matematikatanítás - függvénytanítás a 19. század fordulóján

A 19. század végéig a függvények tanítása alig jelent meg az oktatásban. A gyökeres változást ebben az iskolai tantervek reformja hozott a 20. század elején. Ez utóbbiban fontos szerepe volt a Felix Klein német matematikus (1849-1925) által kezdeményezett Meráni Reformnak (1905) (ld. Schubring, 2014). A függvényeknek, a függvényszerű gondolkodás tanításának központi szerepet szánt Felix Klein, amikor hangsúlyozta, hogy az általános függvényfogalomnak a felsőbb iskolák egész matematikaoktatását át kell hatnia. Hangsúlyozta, hogy a fogalmat nem csupán absztrakt definíciókkal kell bevezetni, hanem a hallgatók számára „élővé” is kell tenni elemi példák segítségével, ahogy ez már Eulernél is megtalálható volt (Klein, 1932).

Felix Klein

A 19. vége felé Európa-szerte matematikatanítási reformok kezdődtek, melyek kidolgozásában Felix Klein kiemelkedő szerepet játszott. Erre utal az is, hogy ő lett az első vezetője az 1908-ban alapított, azóta is tevékenykedő nemzetközi matematikaoktatással foglalkozó szervezetnek, az ICMI-nek (International Commission on Mathematical Instruction). Felix Klein tevékenysége elsősorban Beke Manó révén hatott a magyar matematikaoktatásra.

A Kiegyezés (1867) utáni Magyarországon a gyors iparosodás igényt teremtett a természettudományok intenzívebb művelésére is, amelynek hatása az oktatásban is megmutatkozott. Egymás után megjelenő tantervek (1869, 1871, 1879, 1899) utalnak arra, hogy jelentős változás indult meg ezen a téren, bár utóbb Beke Manó úgy vélte, hogy ezek közül igazi változást csak a legutolsó, a Wlassics-féle tanterv hozott 1899-ben, különösen az alkalmazások tanítása terén. (Beke & Mikola, 1909).

Beke Manó (1862-1946) matematikus, matematika-fizika szakos tanárként végzett. Egy ideig gimnáziumi tanárként is működött, majd 1900-ban egyetemi tanár és 1914-ben a Magyar Tudományos Akadémia levelező tagja lett. Többek között tanítványai voltak Pólya György, Szegő Gábor és Kőnig Dénes matematikusok is. Már pályája kezdetétől foglalkozott tanügyi, matematikatanítási kérdésekkel. Az 1892-93-as göttingeni tanulmányútján nemcsak matematikai kutatásokat végzett Felix Kleinnél, hanem megismerkedett Klein matematikatanítási reform-elképzeléseivel is, és ezek nagy hatással voltak rá. Felix Kleinnel hazatérése után is állandó kapcsolatban maradt (Kántor, 2014).

Beke Manó

Az 1892-93-as göttingeni évek után Beke még intenzívebben kezdett foglalkozni a matematikatanítás kérdéseivel, illetve azok megreformálásával. Vezetője lett a századforduló magyarországi matematikatanítási reformmozgalmának, melynek célkitűzéseire hatást gyakoroltak Felix Klein gondolatai is (Kántor, 2014).

A matematikatanítással kapcsolatos reformelképzelések között hangsúlyozottan szerepel nemcsak a számtantanítás gyakorlatibbá tétele, a térszemlélet fejlesztése, hanem a mennyiségek közötti kapcsolatok vizsgálata, ezek grafikus reprezentációja, és felsőbb középiskolai osztályokban a függvényfogalom szisztematikus fejlesztése, a differenciál- és integrálszámítás elemeinek bevezetése és használata (Beke & Mikola, 1909).

Beke kezdeményezésére jött létre a Magyarországon a Matematikai Reformbizottság, melynek elnöke lett, a titkár pedig Mikola Sándor matematika-fizika szakos tanár, akivel közösen írta, illetve szerkesztette a „A középiskolai matematikatanítás reformja” című tanulmánykötetet (Beke & Mikola, 1909).

A bizottság fő törekvése volt a küzdelem az úgynevezett formális matematikaoktatás ellen és egy “munkáltató”, azaz tanuló tevékenységekre épülő oktatás megteremtése. „A reformtól Beke Manó azt várta, hogyha ilyen szellemben átalakítják a matematikaoktatást, akkor elérhetik a legfőbbet: a középiskolai tanulókban felébresztik a matematika iránti kedvet” (Kántor, 2014, 10 o.).

Tudományos tevékenysége mellett jelentős Beke módszertani, illetve tankönyvszerzői munkássága is; tudományos tevékenységét háttérbe szorítva, 1890 és 1900 között 10 tankönyvet írt, amelyeket a 20. század első felében még évtizedekig használtak az iskolákban (Kántor, 2014). Tankönyveket írt az elemi iskolától az egyetemig minden szinten. Az elemi iskolai számtantanítás szempontjából kiemelném a tanítók számára írt Vezérkönyv a népiskolai számtani oktatáshoz című, több kiadást megért könyvét, amelyben a számtantanítás történeti ívének megrajzolásával alapozza meg tananyagfelépítési és módszertani javaslatait (Beke, 1896).

A 19. század vége felé kezdte meg korábbi tanára, a matematikus Kőnig Gyula középiskolai tankönyveinek átdolgozását a szerző hozzájárulásával. Az átdolgozás eredményeit, köztük új tartalmak megjelenését, például valós adatokra épülő függvényekkel kapcsolatos, illetve szöveges feladatokat, egymást követő kiadásokban (vö. többek között: Beke & Kőnig, 1897; Beke & Kőnig, 1908) követhetjük nyomon. Az újabb kiadások 1913-tól- Kőnig kívánságára – már csak Beke Manó neve alatt jelentek meg (Kántor, 2014).

Függvényfogalom és függvénytanítás

A magyar középiskolai tankönyvekben a “függvény” elnevezés a 19. század közepén jelent meg, abban az értelemben, ahogy Euler is használta; a függvényt egyetlen algebrai kifejezés adja meg, a teljes értelmezési tartományon. A következő mintegy száz évben a középiskolás függvényekre vonatkozó tananyagban a függvények megadásához gyakorlatilag képleteket használtak, csak egyes helyeken jelent meg utalás a hozzárendeléssel történő megadásra (Katz, 1989).

A Beke által kezdeményezett és irányított matematikatanítási reformok a függvények bevezetését már alsóbb osztályokban (1.- 4.) is javasolták az akkori nyolcosztályos középiskolában. A kezdeteket mennyiségi kapcsolatok feltárása, mennyiségek egymástól való függésének vizsgálata jelentette. Ebben fontos szerepet szántak valós adatok felhasználásának, amelyek kísérletekből, tanulói mérésekből származtak (Goldzieher, 1909).

A magyar reformokat támogató matematikatanárok közül kiemelkedik Rátz László (1863-1930) tevékenysége – aki többek között Neumann Jánost és Wigner Jenőt is tanította a híres Fasori Gimnáziumban, ahol tanulói tevékenységre épített matematikatanítási módszert dolgozott ki Mikola Sándorral (1871-1945) közösen; ez gyakorlatilag a reformok egyfajta korai iskolai megvalósulásának is tekinthető. 1902-től ebben a gimnáziumban már engedélyezték a matematikatanítást az említett módszer alapján. Ez az oktatási elképzelés a matematikatanítás középpontjába a függvények tanítását tette, melynek során mérések, gyakorlati kísérletek segítségével a függvényszerű gondolkodás, a függvények ábrázolása már az alsóbb középiskolai osztályokban megkezdődött (Némethné, 2006).

Rátz László

A függvények tanításának egyre hangsúlyosabb megjelenése és gazdagodó gyakorlati tartalma nyomon követhető az átalakított tananyagban:

„…a három alsó osztályban is lehet már egyszerű grafikus ábrázolásokat végezni. A IV. osztályos anyaghoz hozzávették a függvények változásának és ábrázolásának tárgyalását. Olyan, a gyakorlati életben is használható grafikonokkal foglalkoztak, mint az idő és valamely értékpapír árfolyama; idő és hőmérséklet; csapadék és légnyomás; kor és halálozási százalék. Az V. osztályban előírt anyaghoz hozzátették a másodfokú függvény változásának leírását és a másodfokú egyenlőtlenségek megoldását. A VI. osztályos tananyagban többletként szerepelt a kamatos kamat- és járadékszámítás, és az előforduló logaritmikus és trigonometrikus függvények ábrázolása. VII. osztályban helyet kaptak az elemző mértan egyszerű feladatai, a koordinátageometria elemei és a differenciálszámítás. A VIII. osztályos anyagba helyezték az integrálszámítás tárgyalását a gömbre vonatkozó számításokkal”. (Mikola & Rátz, 1910 bevezetője alapján, idézi Némethné, 2006, 35.o.).

A már említett Beke által átdolgozott középiskolai algebra tankönyvekben a függvények algebrai kifejezések formájában jelentek meg, melyek értéke az ismeretlen értéktől függ (vö. Beke & Kőnig 1897, 1908).

A tankönyvekben „Az algebra és geometria viszonya” fejezetben található a függvények általános tárgyalása, majd a fejezet végén kerül említésre az elsőfokú függvény, mint speciális esete az n-d fokú egész függvénynek (A+Bx+Cx^2+…+Nx^n). Beke az elsőfokú függvényekkel illetve ábrázolásukkal kapcsolatban a következőket írja: „…Eszerint az y=ax+b elsőfokú egész függvény. Könnyű lesz kimutatni, hogy e függvény menetét ábrázoló vonal mindig egyenes.” (Beke & Kőnig, 1897, 263 o.; Beke & Kőnig, 1908, 314 - 315 o.). A következő fejezetben, amely a másodfokú egész függvényekről szól, a bevezető rész szerint: „A másodfokú egész függvény általános alakja: ax^2+bx+c…” (Beke & Kőnig, 1908, 316 o). Ahogy az előbbi részletek is valamennyire illusztrálják, a tankönyvekben a függvények esetében a változó mennyiségek közötti kapcsolat volt a hangsúlyos, még nem volt szó például a hozzárendelésnél „egyértelműség”-ről, valamint az „y=…” felírásmódot inkább függvények ábrázolásánál használták, de azt sem következetesen, viszont igen fontos volt a függvények grafikus ábrázolása.

A függvényekről szóló ismeretek és a függvények alkalmazásainak bővülését is láthatjuk a már említett Beke tankönyv egymás utáni átdolgozott kiadásaiban.

Megjelenik például a gyakorlati adatokon alapuló függvények vizsgálata, és függvények alkalmazása a problémamegoldásban, valamint növekszik a függvényekkel kapcsolatos tankönyvi feladatok száma is (l. például az előbb említett fejezetben: „Az algebra és geometria viszonya“ (Beke, 1897, 1908). A koordinátarendszer bevezetésével az adatok közötti dinamikus kapcsolatok vizsgálata is előtérbe kerül, elsősorban a matematika alkalmazásaiban. Példaként említeném itt a tankönyv 1908-as kiadásából azt a feladatot, amely a lineáris függvény (grafikonjának) egy gyakorlati alkalmazását mutatja be. Beke a következőt írja a tankönyvben szereplő menetrend grafikonhoz (1. ábra) feladatul: „A mellékelt 22-ik ábrában feltüntettük a szombathely-fehringi vonat grafikus menetrendjének egy szakaszát. A vastag vonal gyorsvonatot, a vékonyabb személyvonatot, az egész vékony tehervonatot, a pontozott vegyes vonatot stb. jelent. Az időt déli 12-től éjfélig vettük és minden köz 10 percet jelent.

Próbáld elolvasni erről a képről, hogy mikor indul Szombathelyről Fehringbe a délutáni gyors? Mikor érkezik a fehringi gyors? Mikor érkezik Fehringbe az estéli gyors? Hol találkozik az 1303-as gyors az 1808-as személlyel? Hol találkozik ez a gyorsvonat az 1394-es tehervonattal? Meddig áll Körmenden az 1394-es tehervonat? stb..“ (Beke & Kőnig, 1908, 317 o.).

1. ábra: Menetrend-grafikon (Beke & Kőnig, 1908, 318 o.)

Ez a példa, több más társával együtt még nem szerepelt az említett algebra tankönyv 1897-es kiadásában. A magyar matematikatanítási reformtörekvések között kiemelt helyen állt a differenciál- és integrálszámítás középiskolai tanításának bevezetése. Beke ennek fontosságát azzal indokolta, hogy ez elengedhetetlen a természettudományos gondolkodás fejlesztéséhez (Beke & Mikola, 1909). A differenciál- és integrálszámítás tanításának hangsúlyos szerepe volt a fő témája az 1914-ben Párizsban, a Nemzetközi Matematikus Kongresszuson tartott főelőadásának is, mely előadás megtartására Felix Klein kérte fel (Schubring, 1989, 190 o., Schubring 2014, 191 o.; Zuccheri & Zudini 2014, 503 o.). Rátz László és Mikola Sándor 1910-ben adták ki első tankönyvüket differenciál- és integrálszámítás témában (Rátz & Mikola, 1910), melynek alapjául a már említett gyakorlati tapasztalatokra épülő tanításuk szolgált. A differenciál- és integrálszámítás 1914-ben lett a középiskolai tananyag része (Némethné, 2006, 35 o.).

Beke, Mikola, Rátz és a többi matematikatanítási reformok kidolgozásában tevékenykedő szakember kiemelik, hogy a matematikatanítás reformja sokkal többet jelent, mint csupán a tananyag növelését. Hangsúlyozták, hogy az analízis elemeinek oktatásának a megfelelő függvényfogalmon kell, alapulnia és már a kezdetektől fogva a tanulók gondolkodásában be kell, hogy épüljön a kapcsolatokban, függvényekben való gondolkodás (Beke & Mikola, 1909.)

A folytatás itt olvasható