Michel Talagrand Abel-előadása (videó)
Az Abel-hét
Az Abel-díj ünnepségsorozat az oslói Királyi Kertben, Gustav Vigeland Niels Henrik Abel-emlékműve mellett vette kezdetét 2024. május 20-án 17 órakor. Beszédet mondott az Abel-díj kuratóriumának elnöke, majd a díjazott koszorút helyezett el Niels Henrik Abel emlékművénél.
Az Abel-díj átadási ceremóniáját május 21-én rendezték meg. Őfelsége Haakon trónörökös átadta a 2024. évi Abel-díjat Michel Talagrandnak az Oslói Egyetem Aulájában.
Május 22-én 10 órakor az Abel-díj 2024-es díjazottja megtartotta az Abel-előadását:
Május 24-én pénteken tartották az Abel-napot Stavangerben. Az Abel-díjas meglátogatott egy általános iskolát Sola-ban, majd délután előadást tartott a Stavangeri Egyetemen.
Michel Talagrand reakciója a díjra
Michel Talagrand francia valószínűségelmélet-kutató március 20-án kapta meg, és május 21-én vette át a matematika egyik legmagasabb kitüntetését, az Abel-díjat a véletlenszerű folyamatok mély és kifinomult megértéséért. A norvég király által odaítélt díj a Nobel-díj mintájára 7,5 millió norvég koronával (kb. 700 000 dollár) jár. Mit érzett, amikor közölték vele, hogy nyert? „Nem tudtam felfogni” – mondta Talagrand. „A matematikának az a fajtája, amelyet én művelek, egyáltalán nem volt divatban, amikor elkezdtem. Alacsonyabb rendű matematikának tartották. Hogy most megkaptam ezt a díjat, tökéletesen bizonyítja, hogy ez nincs így”.
Más matematikusok is egyetértenek ebben. Talagrand munkája „megváltoztatta a világszemléletemet” – mondta Assaf Naor a Princeton Egyetemről. Manapság – tette hozzá Helge Holden, az Abeldíj-bizottság elnöke – „egyre divatosabb a valós világ eseményeit véletlen folyamatokkal leírni és modellezni. Ilyenkor Talagrand eszköztára azonnal előkerül”.
"Tíz évig nem jöttem rá, miben vagyok jó"
Talagrand a saját életét valószínűtlen események láncolatának tartja. Lyonban épp csak hogy sikerült elvégeznie az általános iskolát, ugyanis hiába érdekelte a tudomány, tanulni nem szeretett. Ötéves korában retina leválás miatt elvesztette jobb szeme világát. 15 éves korában a bal szemén is három retinaleválást szenvedett el, s egy hónapot kellett kórházban töltenie, bekötött szemmel, rettegve a megvakulástól. Matematika professzor édesapja minden nap meglátogatta, és matekra oktatta, hogy az elméjét lekösse. „Így ismertem meg az absztrakció erejét” – írta Talagrand 2019-ben, miután elnyerte a szintén jelentős Shaw-díjat, amely 1,2 millió dollárral jár. Ennek az összegnek egy részét az Abel-nyereményével együtt saját díj alapítására fordítja, „a fiatal kutatók eredményeinek elismerésére azokon a területeken, amelyeknek az életemet szenteltem”.
Felépülése idején fél évet hagyott ki az iskolából, de ez arra ösztönözte, hogy elkezdjen a tanulmányaira koncentrálni. A matematika terén sikerült kitűnnie, és miután 1974-ben az egyetemet is elvégezte, felvették a Francia Nemzeti Tudományos Kutatóközpontba (CNRS), Európa legnagyobb kutatóintézetébe, ahol 2017-es nyugdíjba vonulásáig dolgozott. Ez idő alatt doktori fokozatot szerzett; első látásra beleszeretett leendő feleségébe, egy statisztikusba (három nappal a megismerkedés után megkérte a kezét); és fokozatosan kezdett el érdeklődni a valószínűségszámítás iránt, amellyel kapcsolatban több száz tanulmányt publikált.
Mindez messze nem volt eleve elrendelve. Talagrand ugyanis a sokdimenziós geometriai terek tanulmányozásával kezdte pályafutását. „Tíz évig nem jöttem rá, hogy miben vagyok jó”. De nem bánta meg ezt a kitérőt, hiszen végül ez vezette a valószínűségelmélethez. „Adott volt ez a másik nézőpontom ... ami módot adott arra, hogy másképp tekintsek a dolgokra”. Ez lehetővé tette számára, hogy a véletlenszerű folyamatokat a sokdimenziós geometria szemüvegén keresztül vizsgálja.
„Geometriai intuícióját is beveti, hogy tisztán valószínűségi kérdéseket oldjon meg” – jelenti ki Assaf Naor.
"A véletlenszerűség kioltja önmagát"
A véletlen folyamat olyan események összessége, amelyek kimenetele modellezhetően változik a véletlen szerint – mint például az érmefeldobások sorozata, az atomok pályája egy gázban, vagy a napi csapadékmennyiség. A matematikusok az egyes kimenetelek és az összesített viselkedés közötti kapcsolatot szeretnék megérteni. Hányszor kell feldobni egy érmét, hogy kiderüljön, nem cinkelt-e? Túlcsordul-e egy folyó a partjain?
Talagrand olyan folyamatokra összpontosított, amelyek kimenetelei a Gaussról elnevezett harang alakú görbe szerint oszlanak el. Az ilyen eloszlások gyakoriak a természetben, és számos kívánatos matematikai tulajdonsággal rendelkeznek. Arra volt kíváncsi, hogy mi mondható ki bizonyossággal az ilyen helyzetek szélsőséges kimeneteleiről. Ezért bizonyított egy sor egyenlőtlenséget, amelyek a lehetséges kimeneteleknek szoros felső és alsó korlátokat szabtak. „Jó egyenlőtlenséget kapni művészet” – mondja Helge Holden. És ez a művészet hasznos is: Talagrand módszerei optimális becslést adhatnak például arra, hogy a következő 10 évben meddig emelkedhet egy folyó vízszintje, vagy mekkora lehet a legerősebb földrengés.
Amennyiben összetett, sokdimenziós adatokkal van dolgunk, az ilyen maximális értékek megtalálása nehéz feladat.
Tegyük fel, hogy egy folyó áradásának kockázatát szeretnénk felmérni – ami olyan tényezőktől függ, mint az esőzés, a szél és a hőmérséklet. A folyó magasságát modellezhetjük véletlenszerű folyamatként. Talagrand 15 évet töltött a generikus láncolásnak nevezett technika kifejlesztésével, amely lehetővé tette számára, hogy az ilyen véletlen folyamatokhoz sokdimenziós geometriai teret kapcsoljon hozzá.
A technika nagyon általános, ezért széles körben alkalmazható. Tegyük fel, hogy egy hatalmas, sokdimenziós adathalmazt szeretnénk elemezni, amely több ezer paramétertől függ. Ahhoz, hogy értelmes következtetést vonhassunk le, meg akarjuk őrizni az adathalmaz legfontosabb jellemzőit, miközben azt csak néhány paraméterrel jellemezzük. (Ez az egyik mód például a különböző fehérjék bonyolult szerkezetének elemzésére és összehasonlítására). Sok korszerű módszer ezt az egyszerűsítést olyan véletlenszerű művelet alkalmazásával éri el, amely a sokdimenziós adatokat egy alacsonyabb dimenziós térbe képezi le. A matematikusok Talagrand általános láncolási módszerével meghatározhatják azt a maximális hibamennyiséget, amelyet ez a folyamat előidéz – így annak esélyét is, hogy valamilyen fontos jellemző eltűnik az egyszerűsített adathalmazból.
Talagrand munkája nem csak arra korlátozódott, hogy egy véletlenszerű folyamat legjobb és legrosszabb lehetséges kimenetelét elemezze. Azt is tanulmányozta, mi történik átlagos esetben.
Számos folyamatnál a véletlenszerű egyedi események összességében erősen determinisztikus kimenetelhez vezethetnek. Ha a mérések függetlenek, akkor az összegek nagyon is kiszámíthatóvá válnak, még akkor is, ha az egyes egyedi eseményeket lehetetlen megjósolni. Dobjunk fel például egy tisztességes érmét. Semmit sem tudunk előre mondani arról, hogy mi fog történni. Ha tízszer feldobjuk, az esetek 66%-ában négy, öt vagy hat fejet kapunk – közel az öt fej várható értékhez. De ha 1000-szer dobjuk fel az érmét, akkor az esetek 99,7%-ában 450 és 550 fej között lesz az eredmény, ami még inkább az 500-as várható érték köré koncentrálódik. „Ez kivételesen éles az átlag körül” – állítja Helge Holden.
Naor szerint „annak ellenére, hogy valamiben ennyi véletlenszerűség van, a véletlenszerűség kioltja önmagát. Ami kezdetben szörnyű zűrzavarnak tűnik, az valójában rendezett.”
Ez a mértékkoncentrációnak nevezett jelenség sokkal bonyolultabb véletlenszerű folyamatokban is előfordul. Talagrand olyan egyenlőtlenségek gyűjteményével állt elő, amelyek lehetővé teszik ennek a koncentrációnak a számszerűsítését, és bebizonyította, hogy ez a koncentráció számos különböző kontextusban felmerül. Technikái újat hoztak a területen végzett korábbi munkákhoz képest. Az első ilyen egyenlőtlenség bizonyítása – írta 2019-es esszéjében – „varázslatos élmény volt”, amely „a folyamatos elragadtatás állapotába juttatta”.
Különösen büszke az egyik későbbi koncentrációs egyenlőtlenségére: „Nem könnyű olyan eredményt kapni, amely megpróbál gondolkodni a világegyetemről, miközben egy egyoldalas, könnyen magyarázható bizonyítással rendelkezik”. (Örömmel emlékszik vissza, hogy egyszer olyan taxin utazott, amelynek tulajdonosa felismerte a nevét, mivel az egyenlőtlenséget az üzleti szakiskolában tanulta egy valószínűségszámítás-órán. „Ez rendkívüli volt”).
Általános láncolási módszeréhez hasonlóan Talagrand koncentrációs egyenlőtlenségei is az egész matematikában megjelennek. „Elképesztő, hogy milyen messzire jutnak el” – áradozik Naor. – „A Talagrand-egyenlőtlenségek azok a csavarok, amelyek a dolgokat összetartják.”
Vegyünk például egy optimalizálási problémát, ahol különböző méretű tárgyakat kell tárolókba sorolni – ez az erőforrás-elosztás modellje. Ha sok tárgyunk van, nagyon nehéz kitalálni, mennyi az a legkisebb számú tárolóedény, amire szükségünk lesz. A Talagrand-egyenlőtlenségek azonban meg tudják mondani, hogy valószínűleg hány tároló kell majd, ha a tételek mérete véletlenszerű.
Hasonló módszereket használtak koncentrációs jelenségek bizonyítására a kombinatorikában, a fizikában, a számítástechnikában, a statisztikában és más területeken.
Nemrégiben Talagrand a véletlenszerű folyamatok megértését arra használta, hogy bebizonyítson egy fontos feltételezést a spinüvegekről, a véletlenszerű, gyakran ellentmondásos kölcsönhatások által létrehozott rendezetlen mágneses anyagokról. Talagrand csalódott volt amiatt, hogy bár a spinüvegek matematikailag jól definiáltak, a fizikusok jobban megértették őket, mint a matematikusok. „Ez szálka volt a szemünkben” – mondta. Végül bizonyított egy eredményt – a spinüvegek úgynevezett szabad energiájáról –, amely a matematikai elméletet is megalapozta.
Karrierje során Naor szerint mindvégig jellemezte az arra való „képesség, hogy hátralépjen, és megtalálja azokat az általános elveket, amelyek bárhol felhasználhatók. Újra és újra átgondolja a dolgokat, mindenféle nézőpontból. És végül olyan felismerést tesz közzé, amely mindenki számára használható.”
„Szeretem igen alaposan megérteni az egyszerű dolgokat, mert az agyam igen lassú. Ezért nagyon-nagyon sokáig gondolkodom rajtuk.” Az a vágy hajtja, hogy mélyen és tisztán megértsen egy-egy elméletet. Aztán a következő generáció már innen indulhat el, és a saját feltételei szerint haladhat előre.
Az elmúlt évtizedben ezt úgy valósította meg, hogy tankönyveket írt – nemcsak a véletlen folyamatokról és a spinüvegekről, hanem egy általa soha nem kutatott területről, a kvantumtérelméletről is. Szerette volna megismerni ezt az elméletet, de az összes tankönyvet, amit talált, fizikusok írták fizikusoknak. Így hát írt egyet ő maga is. „Miután már nem tudsz feltalálni dolgokat, meg tudod magyarázni őket” – jelentette ki.
Rövid video a díj névadójáról: https://www.facebook.com/Abelprize/videos/1412039279520108
Az Abel-díj alapításának története: https://www.facebook.com/Abelprize/videos/1797598674049259
