Az első rész itt olvasható

3. Függvények tanítása a második világháború után- az 1980-as évek végéig Magyarországon

A második világháború utáni első években (1945-49) a gyors demokratizálódás eszméi hatással voltak az oktatásra is. Az új középiskolás tankönyvsorozat, amely Péter Rózsa (1905-1977), Gallai Tibor (1912-1992) és Surányi János (1918-2006) munkájának eredménye, új tartalmakat és új módszereket hozott, melyek többségükben Felix Klein reformgondolatain alapultak. Ezek a tankönyvek, noha az európai matematikadidaktikai kutatások előfutárainak tekinthetők, nem váltak külföldön ismertté, Magyarországon pedig a tanárok ellenállása miatt nem váltak sikeressé. (Deák, 2002)

Az 1950-es években a középiskolás tankönyvekben (elsőként Péter Rózsa és Gallai Tibor tankönyveiben) megjelent a függvényközpontú gondolkodás a matematika más területein is, például a geometriában. A függvény fogalma ezekben a tankönyvekben is, akárcsak Beke Manó könyveiben, mennyiségek egymástól való függését jelentette (pl. Péter & Gallai, 1951, 145 - 153 o.).

Mai szemmel már bizonyára furcsának tűnik, de ebben az időben még mindig léteztek az úgynevezett “többértékű függvények is (ilyen volt például y=±√x pl. Borosay, 1950, 82), szemben a mai meghatározással, mely szerint a függvény egyértelmű hozzárendelés, azaz csak “egyértékű” lehet.

Az általános iskolában 1945 után az 1950-es évek végéig számtan-mértant tanítottak, a tanítás elsődlegesen az elemi számolási ismeretek átadását tűzte ki célul. Az 1958-as és 1962-es tantervek bevezetésével vált fontosabbá az algebra tanítása. A “matematika” tanítása, amely az algebrán túl már elemi függvények tanítását is jelentette, ebben az időszakban a 8. osztályban kezdődött − és a tankönyvek címlapjára is a „számtan-mértan” helyett a „matematika” került. A 7. osztályos tananyagban az egyenes és fordított arányosság tanításával már ezek grafikus megjelenítése is jelen volt, a 8. osztályos anyagban pedig a “függvény” mint mennyiségek közötti kapcsolat szerepelt − köznapi életből vett példák segítségével (például a vonat útja az utazási idő “függvénye” (vö. pl. Stéger, F. & Bellay, L. 1963; Kelemen, J. & Mosonyi, K., 1969).

A középiskolás matematikatantervben először 1965-ben jelent meg a függvény definíciója következetesen, mint egyértelmű hozzárendelés értékek között és ugyanekkor vált lehetővé a függvények központi szerepének hangsúlyozása a tanításban is (Katz 1989, 27 o.).

Varga Tamás és a komplex matematikatanítás

A függvényközpontú gondolkodás volt a Varga Tamás-féle komplex matematika tanítási koncepció egyik sarkalatos pontja. Varga Tamás, aki többek között Pólya György tanítványa is volt, matematika-fizika szakos tanárként végzett. Már a múlt század ötvenes éveiben foglalkoztatta a matematika tanítása, annak megreformálása és részt vett az Oktatási Minisztérium munkatársaként tankönyvek írásában, illetve bírálatában is.

Varga Tamás

Az 1962-ben Budapesten tartott UNESCO konferencia előadásainak hatására Magyarországon számos kisebb kutatás kezdődött, amelyek a matematikatanítás modernizációját célozták az általános iskolai, elsősorban az alsó tagozatos oktatásban. Varga Tamás is intenzívebb munkába kezdett ezen a téren. Az általa és munkatársai által képviselt alapelvek mentén indult 1964-ben a Komplex Matematikatanítási Kísérlet (Szendrei, 2007; Klein, S. 1987), melynek során főbb munkatársai voltak: C. Neményi Eszter, Gádor Endréné, Halmos Istvánné, Pálfy Sándor és Szendrei Julianna, de a sor korántsem teljes. A kísérletben sok tanító és tanár (tanár-kutató) is részt vett, akik segítették az iskolai gyakorlatba átültetni Varga Tamás gondolatait. A kísérleti évek alatt tankönyvek nélkül dolgoztak, csupán a folyamatos fejlesztés alatt álló feladatlapokat használták. Ezeknek gyűjteménye, a „Munkalapok” nemzetközi szinten is ismertté és elismertté váltak, például Freudenthal is elismerően szólt róluk (Freudenthal 1973, 244).

A kutatás nemzetközi szinten “OPI Projekt” néven lett ismert (Szendrei, 2007). A legfőbb kapcsolattartási lehetőséget a külföldi kutatókkal a CIEAEM (Commission Internationale pour l’Étude et Amelioration de l’Enseignement des Mathematiques) biztosította. A kapcsolattartás személyes beszélgetések révén valósulhatott csak meg, mert a hatvanas-hetvenes években – a politikai körülmények miatt – magyar oktatási szakemberek nem publikálhatták eredményeiket nemzetközi szinten (Szendrei, 2007). Varga kritikusan szemlélte az 1950-es évek végén induló New Math tanítási irányzat koncepcióit, ő a tanulók kísérletezésen és felfedezéseken alapuló ismeretszerzését helyezte előtérbe a New Math-ben hangsúlyozott matematikai formalizmussal és szigorú matematikai struktúrákkal szemben. A komplex matematikatanítási koncepcióban a függvényfogalomnak (egyértelmű hozzárendelés) központi szerepe van; a számhalmazokon értelmezett függvények egy általánosabb függvényfogalomnak csak speciális esetei, ugyanis hozzárendelések megtalálhatók például a geometriai transzformációknál is, és gyakorlatilag az iskolai matematika bármely területén értelmezhetők. Például kombinatorikai feladatok esetében különböző eredmények változók szerinti rendezése táblázatokban szintén (táblázatokkal megadott) függvényekhez vezet (Varga, 1975, 6 o.).

Varga szerint a hozzárendeléseknek nem elsősorban a módja, hanem a ténye a lényeges, a tanulóknak a függvényszerű összefüggéseket fel kell tudniuk ismerni, és ez a felismerési képesség meg kell, hogy jelenjen náluk matematikán kívüli helyzetekben is (Varga, 1983). Érdemes visszautalni itt Beke Manó és munkatársai reformgondolataira, ahol a függvények, mint változó mennyiségek közötti összefüggések szintén hangsúlyos, sőt központi szerepet kaptak – bár meg kell jegyezni, hogy a függvény, mint fogalom nem teljesen azt jelentette, amit a mai értelemben.

A függvényközpontú tananyagszemlélet és a Beke-féle reformelképzelések kapcsolatára utal a következő, Varga Tamás komplex matematikatanítást összefoglaló kandidátusi értekezésében olvasható rész is, melyben a Szerző már a készülő, és 1978-ban az első osztálytól kötelezően bevezetett új tantervre utal:

„…jogosan lehet a komplex matematikatanításon alapuló tantervet mégis függvényközpontúnak nevezni. Ez bizonyos értelemben a Felix Klein által egy évszázaddal ezelőtt kitűzött programnak a korábbinál következetesebb, a társadalom, a technika és a matematika mai fejlettségét is figyelembe vevő megvalósítását jelenti.“ (Varga, 1975, 7 o.)

A komplex matematikatanítási koncepció szerint a mennyiségek közötti dinamikus kapcsolatoknak már az alsó tagozaton meg kell jelennie − ahogy ezt a Beke Manó által vezetett reformok esetében is olvashattuk −, már az első osztályban is. Majd éveken át érlelődve, sokféle tapasztalat birtokában kerül megfogalmazásra a függvény definíciója (mint egyértelmű hozzárendelés halmazok között), először a nyolcadik osztályban. Varga ezzel a kapcsolatokban, összefüggésekben való gondolkodás jelentőségét hangsúlyozta már kisgyerekkorban is, valamint ezzel együtt a megfigyelt, felfedezett összefüggések, egyszerű modellek alkalmazási lehetőségeinek és korlátainak megfigyelését. Egy kedves példában saját unokájával, Eszterrel kapcsolatos élményét is elmeséli, aki ötéves korában komoly felfedezést tett: a kislány először lineáris kapcsolatot fedezett fel gyerekek életkora és magassága között, majd mikor megpróbálta ezt általában kiterjeszteni az emberi életkorra és magasságra, maga döbbent rá a “modell” korlátaira (Varga, 1983).

Ezzel az egyszerű példával és más hasonló, valós szituáción alapuló összefüggések segítségével jól megtapasztalható már korai gyermekkorban az is, hogy a valóságban igazán “lineárisan” ritkán függenek össze a mennyiségek, illetve el lehet beszélgetni egy esetlegesen jól közelítő lineáris modell korlátairól is.

A Komplex Matematikatanítási Kísérlet alapján új matematika tanterv került bevezetésre fokozatosan 1974-től kezdve, először az 1. - 4. osztályokban, ekkor még önkéntes alapon. (C. Neményi, 2002). Az alsó tagozaton, az 1. osztálytól kezdve felmenő rendszerben 1978-tól vezették be kötelezően az új matematika tantervet – Varga Tamás határozott tiltakozása ellenére, aki a fokozatosabb és nem egységes bevezetés mellett érvelt, mert semmiképpen se szerette volna a tanárokra erőltetni elgondolásait (Szendrei, 2007; Klein, 1987) −, ami gyökeres változást hozott az 1.-8. osztályos tananyagban, és így a gyerekek már az első osztálytól kezdve matematikát tanultak. Fontos megemlíteni, hogy az 1978-as tantervhez tartozó tankönyveket (l. úgynevezett „Kockás tankönyvek“) és munkalapokat olyan matematikatanárok és tanítók készítették, akik Varga Tamással együttműködve a gyakorlatban is kipróbálták a módszert.

A tanterv alapján a függvényfogalom kialakítása így már az első osztályban megkezdődött, és a következő években a tanulók számos gyakorlati, illetve a matematika különböző területeiről származó példa és feladat segítségével sok tapasztalatot szereztek a függvényekkel kapcsolatban. A nyolcadik osztályra megismerkedtek a halmazelméleti alapon (rendezett párokkal) történő és az egyértelmű hozzárendelés segítségével történő függvénymegadási lehetőséggel is (l. például a „Kockás tankönyvek“ 5 - 8).

Az alábbi példában (2. ábra) nemcsak hozzárendelések képi megjelenítéséhez látunk példákat, de néhány részlet látható a „Kockás tankönyvekre“ jellemző párbeszédekben megelevenedő tananyag feldolgozásra is.

2. ábra: Példa hozzárendelések megadási lehetőségeire (Matematika 5, 1987, 167-168 o.)

A függvényszerű kapcsolatok vizsgálatához, akárcsak a többi új és megújult tartalomhoz új eszközök és módszerek is tartoztak, ezeket itt nem elemezzük (vö. pl. az 1.-8. osztályos tankönyvekhez készült tanári kézikönyvek).

A Varga-féle koncepció és általában a függvényközpontú szemlélet megjelent az akkori középiskolás (9-12) matematikaoktatásban is, de a korábbi évfolyamokhoz képest kisebb mértékben és csak az 1970-es évek végén. Több kutatás, iskolai kísérlet is volt ebben a témában (pl. Mayerné, B. A. & Pálfalviné. 1979, Katz 1989).

Az 1979-es középiskolai matematika tanterv szerint a függvény definíciójának hivatalosan a következőt tekintették:

„Legyen az A és B két nem üres halmaz. Ha az A minden egyes eleméhez hozzárendeljük a B egy vagy több elemét, akkor az A halmazhoz hozzárendeltük a B halmazt. Az A és B halmazok közötti hozzárendelés lehet egyértelmű és nem egyértelmű. Az egyértelmű hozzárendelést függvénynek nevezzük. Az A halmaz a függvény értelmezési tartománya, a hozzárendelt értékek alkotják az értékkészletet, amely nem szükségképpen azonos a B halmazzal. A B halmazt képhalmaznak szokás nevezni. Jel.: f: A→B,x⟼f(x),x∈A,f(x)∈f(B)„ (Mayerné - Bartal A. & Pálfalviné 1979)

Az új középiskolás tantervhez készült új tankönyvsorozat és több pozitív változás ellenére még sok probléma megoldatlan maradt a függvények középiskolai tanítása terén, például gond volt, hogy az új anyag gyakorlatilag az általános iskolában korábban (az 1978-as tanterv előtt) tanított függvénytani ismeretekre épült (Katz, 1989).

Varga Tamás módszere szerint nem volt könnyű tanítani, nemcsak új ismereteket kellett a tanároknak elsajátítaniuk, de hagyományos módszereiket is át kellett gondolniuk, ami a továbbképzések nagy száma ellenére a tanárok egy részének nem is sikerült, és ez sok feszültséget okozott. Ez bizonyára szerepet játszott abban, hogy az 1978-as tanterv az 1980-as évek második felében átdolgozásra került.

A függvények és általában a matematika tanításában a hetvenes-nyolcvanas években Varga Tamás és munkatársai tevékenységének hatására bekövetkezett változás mindmáig meghatározó szerepet játszik a hazai oktatásban, annak ellenére, hogy az eredeti elgondolások részben átalakultak a következő évek tanterveiben, illetve, hogy az úgynevezett “hagyományos” oktatás elemei − mely oktatási koncepció inkább a tananyag leadására, mint az átadásra és közös tudás-kialakításra koncentrál, frontális oktatás keretében − továbbra is jelen vannak a magyar iskolákban. Ez utóbbi magyarázza azt, hogy jelenleg is akadnak olyanok, akikben például a “függvény” szó hallatán legfeljebb nevezetes függvények jól-rosszul megjegyzett „képei“ (grafikonjai) jelennek meg, vagy akik számára a függvények témakör ismeretét a tananyagban szereplő elemi függvények és transzformációik elsajátítása jelzi.

4. Összefoglalás és kitekintés

Tanulmányunkban a függvények iskolai tanításának fontosabb állomásait vázoltuk fel a 19. század végétől az 1980-as évekig, megelevenítve elsősorban két kiemelkedő magyar tanáregyéniség (Beke Manó és Varga Tamás) tevékenységét a matematikatanítás, konkrétan a függvénytanítás szempontjából.

A huszadik század fordulóján Európa több országában felmerült az igény a matematikaoktatás, elsősorban a középiskolai matematikaoktatás megreformálására és ezen belül a függvények tanításának átalakítására is (vö. Beke & Mikola, 1909), és ez nemcsak a tankönyvekben, de a tanítási gyakorlatban is megjelent. A matematikatanítási reformok igénye a második világháború utáni Magyarországon újult erővel jelentkezett a függvénytanítás terén is. Az ötvenes évek új szemléletű próbálkozásai fontos alapját jelentették a későbbiekben a Varga Tamás nevével jelzett − és számos matematikus, tanár és tanító szakértő lelkes munkája nyomán megvalósult − új tanterveknek az 1970-es évek végén, amelyekben a függvények, a függvényszerű gondolkodás központi szerepet kapott, akárcsak korábban a századfordulón, a Beke Manó nevéhez kapcsolódó középiskolai tanítási reformokban.

A vázolt tények alapján nyomon lehet követni egyrészt a fogalom alakulását, másrészt a függvények tanításában bekövetkezett változásokat, amelyek a téma jelenlegi tanításában felmerülő problémákat (pl. a függvény és grafikonja kapcsolat) is más megvilágításba helyezhetik. Jelen tanulmány fő célja ebben a folyamatban néhány összefüggés megmutatása a múlt század eleji reformgondolatok és a jelenkori matematikatanításra jelentős befolyással bíró Varga Tamás-féle koncepció között. Az utóbbi bő 100 év függvénytanításának részletes áttekintése, a vonatkozó dokumentumok elemzése még további didaktikai kutatás feladata.

Ezúton szeretnék köszönetet mondani Pálfalvi Józsefnének és Vancsó Ödönnek a tanulmány elkészítéséhez nyújtott segítségükért.

A tanulmányhoz szükséges kutatások részben a Magyar Tudományos Akadémia „A Komplex Matematikatanítás a XXI. században – A matematikai gondolkodás fejlesztése a legújabb kutatási eredmények alapján“ – Kibővített Szakmódszertani Pályázatának segítségével valósultak meg.