Az írás előző része itt olvasható.

Az első kérdés az, hogy hogyan lehet biztosítani a logikai zártságot, tehát hogyan lehet tökéletesíteni az euklidészi módszert, kiküszöbölni rejtett axiómák fellépését. Ez aktuális kérdés a 19. század végének matematikusai számára, a megválaszolásához pedig arra kellene kritériumot adni, hogy mikor következménye egy tétel az adott axiómáknak. Az nem lesz jó kritérium, hogy akkor, ha a levezetése kategórikus szillogizmusokból áll, hiszen a matematika szükségleteihez képest Arisztotelész szillogisztikája messze túl gyenge logikai elmélet; és túlzottan gyengék ehhez még a szillogisztika akkortájt megszületett általánosításai is, így George Boole logikai algebrája vagy de Morgan és Peirce relációelmélete is.

A másik, nehezebb és mélyebb kérdés az, hogy lehet-e eleve biztosítani egy matematikai elmélet ellentmondásmentességét, s ha igen, hogyan?

A harmadik, és már jóval filozofálóbb kérdés az, hogy mi a matematika tárgya. Többek közt azért mondtam el az előzőeket, hogy megmutassam: ez a kérdés fölmerül matematikusok számára is. Az euklidészi és a nem-euklidészi geometriák közötti döntésnek a kizárt volta fölveti azt, hogy a geometria valójában a teret tanulmányozza-e? Az algebra fejlődése pedig a konkréttól, a nyilvánvalóan felismerhető tárgytól való elrugaszkodás.

A negyedik kérdés az, hogy mi a tételek természete. Tartható-e, hogy a matematika tételei abszolút biztos igazságok? Netalán inkább olyanfajta igazságok, mint a természettudományok állításai, azaz újabb tények felmerülése esetén korrekcióra, pontosításra szorulhatnak? Esetleg egyáltalán nincs értelme itt bármiféle igazságfogalmat használni, tekintsük inkább a matematikát a formulákkal való manipulálás művészetének, s azt a kérdést, hogy ezek a formulák igazak-e, sőt, azt is, hogy miről szólnak, szorítsuk a matematikán kívülre? Újra fölmerül, mint probléma, hogy a kanti ítéletosztályozáson belül hol a helye a matematika tételeinek; tartható-e, hogy szintetikus a priori igazságok, vagy sem.

Ezek a kérdések az alapkérdések; a rájuk adott válaszok képezik a különböző matematikafilozófiai iskolák programját. Azt, hogy mi a tartalma a válaszoknak, talán jobban meg lehet érteni, ha megfogalmazunk néhány további kérdést. Ezek nem ilyen általános jellegűek, de mintegy tesztként szolgálhatnak, működés közben mutathatják be a különböző felfogásokat.

Ötödik kérdésünk az legyen, hogy mik a természetes számok? Vannak-e olyanok, és ha igen, mik azok?

A hatodik kérdés az, hogy mi a logika.

A hetedik kérdés a halmazelmélet paradoxonaihoz való viszony. (Az említett, Russell-féle paradoxonnak létezik néhány testvére; ezek többé-kevésbé felfoghatóak ugyanazon gondolat más megfogalmazásának is.) Ki kell-e egyáltalán küszöbölni ezeket a paradoxonokatt, s ha igen, hogyan?

Nézzük tehát a válaszokat a kérdésekre, azaz tekintsük át a különböző matematikafilozófiai felfogásokat. Ezeket hagyományosan három iskolára szokás osztani; mint minden beskatulyázást, ezt is lehet bírálni, de a felosztással szembeni ellenvetéseket most hagyjuk.

Gottfried Wilhelm Leibniz

Az iskolák közül a legtradicionálisabb a logicizmus, amit matematikai platonizmusnak is szoktak nevezni. Van egy ősapja, Leibniz; vezető figurái pedig Frege, Russell és Rudolf Carnap. Van egy fő jelszava, mint mindegyik iskolának; a logicizmus fő jelszava az, hogy az aritmetika, avagy az egész matematika a logika része, az aritmetika semmi más, mint továbbfejlesztett logika. Az első kérdés ezzel kapcsolatban persze az, hogy mi az, hogy logika. Semmiképpen nem az arisztotelészi logika, hanem egy ennél lényegesen fejlettebb és többet tudó logikai rendszer az, ami a földi mása az igazi logikának. Abban nem lehetünk biztosak, hogy ismerjük az igazi logikát – mint ahogy az kiderült –, de hogy van ilyen, az biztos. A logika, ahogy Leibniz, Frege és egy darabig Russell is tekinti, időtlen igazságokat tartalmaz ideális tárgyakról. (Ideális tárgyakról szólva olyasmikre kell gondolni, mint a gondolatok, azaz a kijelentések tartalmai, valamint ilyeneknek a strukturális részeire.) Ha tehát sikerül bebizonyítani, hogy az aritmetika levezethető a logikából, ezzel az aritmetika (és vele az egész analízis) törvényeinek is bizonyítottuk az időtlen és abszolút igaz voltát. Frege filozófiai célkitűzése logicista programjával éppen az, hogy a korabeli empirista filozófiai áramlatokkal szemben bizonyítsa olyan igazságok fennállását, amelyek soha nem fognak empirikus alapon megdőlni vagy az evolúció következtében megváltozni.

Amikor Frege megfogalmazza a maga logicista programját, akkor az aritmetika ügyében élesen szembefordul Kanttal. Frege nem tekinti az egész matematikát továbbfejlesztett logikának, hanem csakis az aritmetikát; még azt is írja Kantról, hogy ,,ő fedezte fel a geometria igazi lényegét”, amikor a geometriai tételeket szintetikus a priori igazságoknak minősítette. Az aritmetikát illetően azonban ugyanezt a minősítést tévedésnek tekinti, és megkísérli kimutatni, hogy az aritmetika alapvető fogalmai definiálhatóak, alapigazságai pedig levezethetőek a tiszta logikán belül maradva. Ebben Kanttal szemben Leibniz eszméihez nyúl tudatosan vissza, mint ahogy sok más kérdésben is Leibniz követője. Frege alkotja meg a modern logika első teljes értékű formális nyelvét, de ebben is Leibniznek a characteristica universalis-ról való elképzelése szolgál számára iránymutatásul. Leibnizzel egyezik meg az álláspontja abban is, hogy szerinte a logika törvényei egyáltalán nem üresek, semmitmondóak; nem tautológiák abban az értelemben, ahogy ezt a szót mint negatív minősítést szokás alkalmazni. (Ebben is szemben áll például Kanttal, de a Bécsi Körnek a matematikát egyébként szintén logicista módon értelmező gondolkodóival is.) Természetesen a kengurukról semmit nem tudunk meg attól, ha kimondjuk, hogy ‘a kenguruk erszényesek vagy nem erszényesek’. Ámde a kijelentésekről igenis megtudunk valamit azzal, ha tudjuk azt, hogy tetszőleges kijelentést tekintve vagy maga a kijelentés, vagy a tagadása igaz. Azok a kengurukról szóló kijelentések, amelyek logikai szükségszerűséggel igazak, egyben tartalmatlanok is; de azok a kijelentésekről szóló kijelentések, amelyek megmondják, hogy mely kijelentések lesznek logikai igazságok, azok ideális tárgyakról szóló nagyon is tartalmas megállapítások. Ez a jelleg vezetődik aztán tovább az aritmetikára.

Gottlob Frege

 Frege programjának megvalósítása azzal kezdődik, hogy állítsunk fel egy elég erős, elég általános logikai elméletet, amelynek nyelve semmiféle aritmetikai konstanst nem tartalmaz, tehát nem tartalmazza a 0-t meg a rákövetkezést, mint Peano axiómarendszere. A nyelv egyszerű kifejezései vagy logikai konstansok, mint a ‘nem igaz, hogy’, az ‘és’, a ‘ha–akkor’, a ‘minden dologra igaz, hogy…’, vagy pedig változók. Frege állítása az, hogy ezen a nyelven definiálható a 0 és a rákövetkezés-reláció, ha pedig az aritmetika alapigazságait ezeknek a definícióknak az alapján lefordítjuk a logika nyelvére, logikai igazságokat kapunk. A logikai konstansok között viszont ez az erős logikai elmélet tartalmaz egy függvényt, aminek a jelentése valami olyasmi, hogy ‘terjedelme’; azaz ez a függvény (többek között) bármely, az elmélet nyelvén megfogalmazható tulajdonsághoz hozzárendel egy olyan objektumot, ami nagyjából az illető tulajdonsággal rendelkező dolgok osztályának felel meg. Ebből viszont közvetlenül következik, hogy Frege logikája ugyanúgy és ugyanazért ellentmondásos, mint Cantor halmazelmélete.

Az ellentmondás felismeréséig Frege erre az elméletre támaszkodva állítja, hogy az aritmetika nem szorul sem empirikus tudásra, sem szintetikus a priori megalapozásra. Tehát itt egyik oldalról az empirizmustól, pl. John Stuart Milltől, másik oldalon Kanttól határolja el a saját felfogását. Kant a szintetikus a priori alapok szükségességét az aritmetikához végső soron azzal indokolja, hogy különben az aritmetika állításai éppoly tartalmatlanok lennének, mint a logikai igazságok; Mill felfogása szerint az aritmetika egyszerű összefüggései, akár az is, hogy 2 + 2 = 4, tapasztalati megfigyelésekből származnak többszörös absztrakció és általánosítás útján. Frege mind a két nézetet tagadja. Szerinte az tény, hogy ha két almát meg két almát összeadunk, négy alma lesz, nem úgy függ össze a 2 + 2 = 4-gyel, mint egy bizonyos konkrét kengururól szóló állítás egy erszényesekről szóló, a biológia által kimondott általános kijelentéssel. A biológiai tétel minden erszényesről szól, többek közt az illető kengururól is; a 2 + 2 = 4 viszont nem almákról szól, hanem számokról. Ezért ha lehet is mindkettőnek esetében alkalmazásról beszélni, mégis másról van szó. Frege azt mondja, hogy az aritmetika törvényei nem természeti törvények, hanem a természettörvényeknek a törvényei, pontosan abban az értelemben, ahogy a logika törvényei sem kengurukról szóló állítások, hanem olyan állítások, amelyek más állításokról szólnak, többek közt a kengurukról szóló állításokról is.

Még egy kérdést hadd említsek meg Frege felfogásával kapcsolatban: az, hogy miért igazak a logika törvényei. A logika maga is deduktív módszerrel épül föl, azaz vannak kiinduló állításai, amelyek biztosítják a többinek az igazságát; de miért igazak a kiinduló állítások és ezt honnan tudjuk? Nehéz erre megtalálni a választ, de semmiképpen sem arról van szó, hogy önkényesen fogadjuk el őket, vagy hogy valamilyen tapasztalatból le tudjuk vonni, hogy igazak. Frege válasza körülbelül az, hogy a logikai alapigazságok feltételezése nélkül mindenféle értelmes kommunikáció lehetetlen. Ez nem olyan vad állítás, mint amilyennek látszik. arról van szó, hogy ha nem tételezem föl azt, hogy egy állítás nem lehet egyszerre igaz is, meg hamis is, akkor a közléseimnek többé nem lesz tartalma. Például ha azt mondom, hogy ott áll az a hamutartó, akkor ezzel nem utasítottam volna el azt, hogy az a hamutartó nem áll ott. Ha egy állítás lehet igaz is meg hamis is, akkor igazából nem mondtam semmit, hiszen amellett, hogy állítom, hogy az a hamutartó ott áll, egyúttal állíthatnám azt is, hogy nem áll ott. Tehát valamilyen értelemben az emberi kommunikáció szerkezetében vannak a logikai igazságok megalapozva; nem a kommunikációt leíró igazságokként, hanem előfeltételekként.

Ennyit mondanék Frege logicizmusáról. A korábbiakban felsorolt hét kérdés közül az elsőt Frege máig érvényesnek tekinthető módon válaszolta meg. Ha egy tétel levezetése az axiómákból formalizálható az ő logikájának a nyelvén, és az egyes levezetési lépések mind az ő rendszerében megengedett lépéseknek bizonyulnak, akkor a levezetésben biztosan nincs rejtett axióma. A második kérdésre Frege válasza az, hogy a jó matematikai elméletek igaz axiómákra épülnek és ezekből helyesen következtetve jutnak el tételeikhez, tehát a tételek igazak, ezért közöttük ellentmondás sem léphet föl. A logika és az aritmetika Frege szerint, mint láttuk, időtlen, ideális objektumokkal foglalkozik; éppen ezért nevezhető joggal az ő álláspontja, meg a későbbi rokon álláspontok matematikai platonizmusnak. Hadd tegyem hozzá, hogy szerinte az euklidészi geometria az a priori térszemléleten alapuló abszolút igazságokat mond ki, a nem-euklidészi geometriák pedig puszta logikai játékok. A tételek természetét illetően tehát Frege igen konzervatív állásponton van, mindenképpen fenn akarja tartani abszolút igaz voltukat. Arról, hogy minek tekinti a természetes számokat, legyen most elég annyi, amennyit eddig elmondtam. A logika Frege felfogásában a logikai objektumok, különösképpen az igazság helyes elmélete; tehát egyetlen igazi logika van, amit a logikus feladata felfedezni. Ebből adódik a paradoxonhoz való viszonya; a Russell-paradoxont úgy értékeli, hogy ezek szerint az ő logikai elmélete nem az igazi logika, hanem ki kell javítani. 

Bertrand Russell

A logicizmusnak, mint a matematika alapjait érintő programnak a további története azért érdekes, mert azt mutatja, hogy egy matematikafilozófiai álláspont nagyon különböző nézetekkel férhet össze a filozófia általános, nagy kérdéseit illetően. Azt, hogy Frege rendszerében ugyanaz a paradoxon lép fel, mint Cantornál, Bertrand Russell ismeri fel. Frege főművének, Az aritmetika alaptörvényeinek 1894-ben jelenik meg az első kötete, 1903-ban a második. Ennek utószavában jelenti be Frege, hogy Russell egy őhozzá írott levele szerint az első kötetben felállított logikai rendszer ellentmondást rejt, és rögtön vázol is egy (vélt) kiutat. Russellnek, aki ekkor még Frege platonisztikus filozófiájához hasonló nézeteket vall, elvben ugyanez a hozzáállása: jobb, óvatosabb, érzékenyebb logikára van szükség. A kivitelezésben ő sikeresebb, mint Frege; megalkotja a típuselméleti logikát, majd Whiteheaddel közösen írott, Principia Mathematica c. nagy művében felépít erre egy olyan matematikát, amely legalábbis a Russell-paradoxontól már mentes. Az érdekesség azonban az, hogy matematikafilozófiai koncepciója akkor sem változik meg, amikor eltávolodik attól a nézettől, hogy a logika és a matematika ideális tárgyakra vonatkozó, időtlen igazságokból áll és egy határozottan empirista filozófia felé fordul. A Bécsi Kör, Carnap és társai ugyancsak radikálisan empirista felfogásában a matematika még mindig továbbfejlesztett logika, a matematika törvényei összetett következtetési szabályok. Csakhogy az ő számukra a logika egyáltalán nem tartalmi igazságokat közöl, hanem tautologikus természetű; a nyelvhasználat szabályai explikálódnak benne. Az ellentmondástalanság és a kizárt harmadik törvénye nem időtlen igazságok valamilyen ideális világról, hanem egyszerűen a ‘nem’ szó jelentését fejtik ki.

Rudolf Carnap

A logicizmus a későbbiekben is olyan irányzatnak bizonyul, amit sok kudarc ér, ennek ellenére vannak folytatói. 1931-ben Kurt Gödel bebizonyítja, hogy ,,a Principia Mathematica-ban és vele rokon rendszerekben” nem lehet megválaszolni minden, az aritmetika nyelvén megfogalmazható kérdést. Nos, Gödel logicista volt; eléggé platonisztikus nézeteket vallott a matematikáról. Szilárdan hitt abban, hogy a matematikának vannak tőlünk függetlenül létező tárgyai, s ennek következtében minden értelmes kérdésre van egyetlen helyes válasz; holott senki nem bizonyított nála többet arról, hogy milyen lényeges kérdések vannak, amelyekre sohasem fogjuk a választ megismerni.

Kurt Gödel

A folytatás itt olvasható.