az írás első része itt, második, előző része itt olvasható.

Vegyük most sorra a másik két iskolát is. A formalizmust jelszószerűen azzal lehet jellemezni, hogy a matematikát módszere és nem tárgya határozza meg. Ennek is megvannak az alapok válsága előtti időre visszanyúló gyökerei. A 19. században mindenekelőtt az aritmetika biztos megalapozásának a problémájához szól hozzá és az algebra forradalma ihleti meg. A formalisták azzal próbálkoznak, hogy az aritmetikát jelekkel, mint fizikai objektumokkal végzett műveletek rendszereként építsék fel. Legyen mondjuk a hármas szám a három vonásból álló sorozat, a négy a négy vonásból álló, az összeadás pedig az, hogy két ilyen sorozatot egymás után fűzünk. Az aritmetika kiinduló állításai nem valami ideális tárgyra vonatkozó igazságok, hanem azt írják elő, hogyan kell ezekkel a fizikai objektumokkal manipulálni. Leginkább a játékszabályokra hasonlítanak, s ezért nemigen mondhatók igaznak vagy hamisnak. A tételek a különféle manipulációk közötti összefüggéseket állapítják meg, és azért megbízhatóak és ellenőrizhetőek, mert fizikai objektumokról szólnak. Ezt a nézetet felülvizsgálva azt alighanem el kell vetnünk, hogy az aritmetika tárgyai konkrét vonások vagy számológolyók, számolókövecskék lennének. Azt viszont elfogadhatjuk, hogy a vonalak, golyók, kövecskék egyaránt alkalmasak a természetes számok reprezentálására, a matematika szempontjából egyforma joggal tekinthetőek számoknak, mert ugyanazok szerint a szabályok szerint lehet összeadást ,,játszani” mindegyikkel.

A példa nagyjából szemlélteti a formalizmus matematikaképét. A matematika lényege a formális módszer: az, hogy különféle jelrendszerekkel, azok átalakítási szabályaival foglalkozik, függetlenül attól, hogy a jelek mire vonatkoznak, illetve vonatkoznak-e valamire. A matematika megbízhatóságát két dolog szavatolja: az egyik, hogy ezek a jelrendszerek maguk fizikailag realizálhatóak, azaz a véges tapasztalás számára hozzáférhető objektumok, a másik pedig az, hogy az átalakítási szabályok effektívek, azaz tisztán a jelek szintaxisának terminusaiban vannak megfogalmazva, mégpedig úgy, hogy alkalmazásuk helyessége mi den konkrét esetben véges sok lépésben ellenőrizhető. Nézzünk egy konkrét példát. A logika legegyszerűbb következtetési szabálya az, hogy egy “Ha A, akkor B” alakú, azaz feltételes állításból, és az A állításból lehet B-re következtetni. A logicistát elsősorban az érdekli, hogy ez a szabály szemantikailag helyes, azaz igaz premisszákból igaz konklúzióra vezet, akárhogyan formalizáljuk is. A formalista számára a szabály csak formalizált alakban elfogadható, és a következőképpen hangzik: Ha van egy jelsorozatom, amely egy A részsorozatból, a ‘É’ jelből (a ‘ha – akkor’ egyik szokásos jelölése) és a B részsorozatból áll, valamint külön rendelkezésemre áll az A jelsorozat, akkor továbbléphetek a B jelsorozatra. A szabályt tehát úgy fogalmaztuk meg, hogy teljesen figyelmen kívül hagytuk a ‘É’ jelentését, meg azt, hogy A és B kijelentések. Továbbá az is igaz — és ez a lényeg —, hogy ha valaki azt állítja, hogy ennek a szabálynak az alkalmazásával jutott el két jelsorozatból egy harmadikhoz, állításának helyességét véges sok lépésben, csakis a jeleket vizsgálva ellenőrizni lehet.

A formalizmus egy kiemelkedő matematikus, David Hilbert kezében válik az alapok válsága leküzdésének egyik programjává. Hilbert nem kívánja a matematikát teljes egészében véges jelrendszerekkel való játékok összességének tekinteni; ellenkezőleg, kivételes jelentőséget tulajdonít a matematika fogalmai között a végtelennek. Sokat idézett mondata, hogy ,,sosem fogjuk engedni kiűzni magunkat abból a paradicsomból, amelyet Cantor teremtett számunkra”, értsd: a végtelen halmazok birodalmából. Fölveti azonban egy új matematikai diszciplína, a metamatematika megteremtésének szükségességét. Ez a diszciplína minden egyes matematikai elméletet úgy tekint, mint véges jelsorozatok (kijelentések, tételek) struktúráját, és így tesz fel vele kapcsolatban kérdéseket. A metamatematika kérdései közé tartozik, hogy egy adott elmélet ellentmondásos-e, azaz a tételnek nevezett jelsorozatok között van-e olyan A sorozat, hogy ~A is a tételek közé tartozik. (A ‘~’ szimbólum a negáció szokásos jele, de ezt a metamatematika nem használhatja ki, hanem csak és kizárólagosan a vele kapcsolatos szabályokat veheti tekintetbe.) Másik feltehető kérdés, hogy az elmélet teljes-e, azaz igaz-e, hogy egy A, ~A kijelentéspár egyik tagja biztosan tétele az elméletnek. Egy harmadik, régebben vizsgált és sikeresebben vizsgálható kérdés, hogy az elmélet axiómái függetlenek-e, azaz nincs-e az axiómák osztályának olyan valódi részosztálya, amelyből már minden tétel levezethető. (Függetlenségi vizsgálatokat geometriai axiómarendszereket illetően már korábban is végeztek, és az ilyen vizsgálatoknak mindig is az az alapgondolata, hogy tekintsünk el az elmélet alapfogalmainak szokásos interpretációjától, tekintsük őket puszta nyelvi jeleknek, melyekhez önkényesen más interpretációt is rendelhetünk. Hasonló vizsgálatok vezettek el az euklidészi és a Bolyai-Lobacsevszkij-féle geometria logikai egyenértékűségének felismeréséhez is. Talán nem véletlen, hogy Hilbert pályája első korszakában a geometria axiomatikájának megújításával foglalkozott.) Hilbert szerint tehát a matematikus általában nemcsak véges jelsorozatok rendszereivel foglalkozik, hanem olyan fogalmakkal is, mint végtelen halmaz, euklidészi tér, stb.; de szükséges, hogy az ilyen fogalmakat tárgyaló elméletének a nyelve olyan legyen, amelyben a kijelentések, az axiómák, a tételek halmaza világosan és szintaktikai eszközökkel jellemezve van, s ezáltal metamatematikai vizsgálat tárgyává tehető. A metamatematika már csak véges objektumokkal (jelekkel, jelsorozatokkal) foglalkozik, s így nem kell olyan ingoványos talajra merészkednie, mint pl. a halmazelméletnek. Ezért van értelme a halmazelméletnek, mint matematikai elméletnek a megbízhatóságát a metamatematikában vizsgálni. A metamatematika megbízhatóbb módszerekkel dolgozik, mint más matematikai elméletek, mert amíg a halmazelmélet a maga véges nyelvén végtelen komponensekből álló struktúrákat ír le, a metamatematika nyelve arra való, hogy azon más nyelveket, azaz (egy jól meghatározható értelemben) véges struktúrákat írjanak le. A metamatematikának éppen az a dolga, hogy mintegy legalizálja a ,,veszélyes” fogalmak, mint a végtelen halmaz fogalmának a használatát, kimutatva egy adott elméletről, hogy olyan módon használja az illető fogalmat, ahogy az nem vezet ellentmondásra.

Hilbert programjának megvalósítása ugyanolyan fényes kudarccal végződött, mint Fregeé. A kudarc minden tréfán kívül fényes, mert a megvalósítási kísérletek rendkívüli értékű felfedezésekkel gazdagították a matematikát; de mégiscsak kudarc, mert az eredmények az ellenkezőjét jelentik annak, amit ezeknek a programoknak a megfogalmazói eredetileg reméltek. Hilbert programjával kapcsolatban kiderült, hogy egy elmélet ellentmondásmentességét általában csak az elméletnél magánál erősebb, kevésbé megbízható elméletben lehet bizonyítani; a teljességgel kapcsolatban Gödel óta azt tudjuk, hogy a matematikai elméletek kevés és egyszerű kivételtől eltekintve nem lesznek teljesek.

Nézzük megint a tesztkérdéseket. Hogyan lehet biztosítani a logikai zártságot? Erre egy kicsit különbözik a logicizmustól a válasz annyiban, hogy nem egy mindenek felett álló logika van, hanem nyitva áll az a lehetőség, hogy magunk válasszunk a különböző rivális logikák közül, amikor egy matematikai elmélet felállítása során megadjuk a levezetés fogalmát (sőt, elvben azt is megtehetnénk, hogy nem egy kész logikai elméletre hivatkozunk közben, hanem magunk találunk ki valami újat). A levezetési szabályok effektív voltára esik a nagyobb hangsúly, tehát arra, hogy pusztán a jelek struktúrája alapján ellenőrizhető szabályok legyenek. Az ellentmondásmentesség kérdésére tudjuk a választ; egészítsük ezt ki annyival, hogy a formalizmus számára, nem lévén olyan módon elkötelezettje a matematikai elméletek igazságának, mint a logicizmus, elfogadhatóbb a modern matematika tényleges gyakorlata: az, hogy előre alkalmazható kritériumunk az ellentmondásmentességre nem lévén, mintegy hipotézisként fogadjuk el egy adott elmélet ellentmondásmentességét, s ha ez a hipotézis megcáfolódik, majd akkor megnézzük, mit lehet tenni.

Mik a matematika tárgyai? Azzal kezdtem, hogy erre van egy válasz: nincsenek. Talán leginkább a 19. században megindult absztrakt algebrai kutatásoknak a tanulsága, hogy a matematikai elméletekben, mint formális rendszerekben éppen az a jó, hogy sokféleképpen interpretálhatók, és semmi közük ahhoz, hogy ide vagy oda húzzuk rá őket. Tehát, ebből általánosítva, egy matematikai elmélet soha nem egy bizonyos tárgyról szól, hanem valamilyen struktúráról, ami a legkülönfélébb tárgyakban fellelhető lehet.

Mi a tételek természete? Világos és az előzőből következik, hogy egy elmélet tétele az, ami az illető formális rendszerben, azaz elméletben levezethető; a matematika nem igazságokkal, hanem levezetésekkel és tételekkel foglalkozik.

Mik a természetes számok? Nem tudjuk, hogy vannak-e természetes számok, mint olyanok. Van a természetes számok elmélete; ennek minden modelljét, azaz minden olyan struktúrát — akárhol találjuk is — amely a természetes számok elmélete axiómáinak eleget tesz, egyforma joggal nevezhetjük a természetes számok rendszerének. A metamatematika és a halmazelmélet különféle eredményeiből tudjuk a következőket: Nem lehet a véges halmazokra is vonatkozó halmazelméleti axiómákból bebizonyítani, hogy vannak végtelen halmazok. Mivel a természetes számok, ha vannak, végtelen sokan vannak, végtelen halmaz létezését el kell hinni, posztulálni kell. Ha viszont létezik végtelen halmaz, akkor a természetes számok elméletének van legalább egy modellje, amely a halmazelméleten belül definiálható. Ha viszont van egy modellje, akkor sok modellje van, és ezek elég lényegesen különböznek, habár a különbség a természetes számok elméletén belül nem megragadható. Az aritmetikának az egyik modell elvben éppolyan jó, mint a másik, nem tud közöttük különbséget tenni (habár szólnak amellett tartalmi érvek, hogy azt a bizonyos halmazelméleti modellt, amelyre most céloztam, a természetes számok elmélete standard modelljének, azaz nagyjából az „igazi” természetes számok rendszerének tekintsük). Mindez nyilvánvaló, hogy a logicista megközelítéssel szemben inkább a formalizmus javára szól.

Mi a logika? A formalista számára, a logicista megközelítéssel szemben, nem egy logika van; nincs olyan kitüntetett elmélet a formális rendszerek között, amely a többi rendszer számára megszabná a levezethetőség szabályait. Vannak olyan matematikai rendszerek, amelyeket logikaként lehet interpretálni. Ez annyit jelent, hogy a bennük előforduló jelek nem számok vagy halmazok, hanem kijelentések és logikai műveletek jelének értelmezhetőek. Az viszont, hogy egy rendszer megenged-e ilyen interpretációt, az összes többi interpretációs kérdéshez hasonlóan nem matematikai kérdés. Az ilyen, logikainak nevezhető rendszereket persze lehet a matematikán belül is alkalmazni, többek között és kiváltképpen éppen a metamatematikában. Ha viszont több ilyen rendszer is van, akkor nem a matematika dolga, hogy kiválassza, melyik az igazi. Ha egy logikai rendszer olyan, hogy benne egyes állítások esetében az A állítás negációjának negációjából nem következik maga az A állítás, akkor a formalista felfogás nem kíván dönteni eközött és a klasszikus logika között, hanem a logika alkalmazójára hárítja annak megindoklását, hogy miért az egyiket, illetve a másikat használja.

A paradoxonhoz való viszonyt voltaképpen már kifejtettem. Hilbert eredeti programja az volt, hogy a metamatematika adjon mintegy a priori biztosítékot a matematikai elméletek művelőinek kezébe arra nézve, hogy az általuk művelt elmélet nem fog ellentmondáshoz vezetni. Miután Gödel kiderítette, hogy úgyszólván csak triviális kivételekkel erre nincs esély, az újabb formalisták — például H. B. Curry — az ellentmondásmentességet a posteriori kérdésnek tekintik. A Russell-paradoxon kiküszöbölésére tett kísérlet nem más, mint a halmazelmélet szokásos axiómarendszere; hogy sikeres kísérlet-e, az majd elválik.

Azt szokták mondani, hogy az átlagos matematikus logicista hétköznap, és formalista ünnepnap. Ez annyit jelent, hogy a kutatás mindennapjai során a kutatás tárgyait, amikkel foglalkozik, gondolatilag megfogható, létező objektumoknak tételezi fel; ilyen platonisztikus gondolatok mintegy hallgatólagos munkahipotézisként vannak jelen a tevékenységében. Ha azonban egy filozófiai vita során valaki megkérdezi, hogy ezek a munkahipotézisek — pl. a természetes számok létezése — maguk is matematikai tételek-e, vagy olyan metafizikai igazságok, amelyekben hinni kell, akkor a legtöbben szívesen választanak olyan feleletet, hogy sem-sem, hanem éppenséggel csak hipotézisek, éspedig olyan hipotézisek, amelyektől a matematikus munkájának érvényessége voltaképpen nem függ. Azt ugyanis tudjuk, hogy a matematikán belül ezek a hipotézisek végső soron nem dönthetőek el, a matematikát pedig hitkérdésektől mindenképpen helyes lehetőség szerint függetleníteni. Ezt az eléggé természetes felfogást jól alátámasztja a formalizmus.

A logicizmus és a formalizmus lényeges eredményekhez vezetett a matematika alapjainak kutatásában, de a matematika többi részét, a hagyományos nagy matematikai diszciplínákat nem változtatták meg, csak átértelmezték. A harmadik hagyományos nagy iskolának, amelyet úgy szoktak hívni, hogy intuicionizmus vagy konstruktivizmus, saját matematikája van. Jelszószerűen talán azzal lehet legjobban jellemezni, hogy a matematikus nem felfedező, hanem feltaláló. Szemben a logicistával, aki felfedező úton jár egy tőle függetlenül létező ideális világban, az intuicionista maga konstruálja a matematika világát a szemléletében, intuíciójában. Matematikai objektumok léteznek, de nem mint megismerésünk előre adott tárgyai, hanem mint konstrukcióink eredményei. A végtelen sokaságok kérdése ezzel voltaképpen el is intéződik, mivel végtelen sokaságot nem konstruálunk. A végtelenségnek csak annyiban van helye a matematikában, hogy egyes eljárásaink végtelenül folytathatók; de ez szigorúan csak annyit jelent, hogy véges sok lépés után mindig lehet őket folytatni, nem pedig annyit, hogy megtett lépések végtelen sorozata egyszerre adva lenne.

Az intuicionizmus, mint a matematika alapjainak válságára adott egyik válasz, Leo Brouwer holland matematikustól ered; egy nemzedékkel korábban hasonló gondolatokat vetett fel a német Kronecker is. Az intuicionizmus felfogásában a logikának nem jut olyan jelentős szerep, mint a másik két iskolában. A bizonyítások maguk is a szemléletben, nyelvtől alapjában véve függetlenül konstruált matematikai objektumok közé tartoznak; helyességüket nem a logika, mint eleve adott pártatlan bíró biztosítja, hanem a szemléletes evidencia, nyilvánvalóság (a bizonyítások persze más beavatott matematikusokkal közölhetőek, s az evidencia nem az egyéni pszichétől függő, hanem interszubjektív kritérium). Brouwer tanítványa, Arendt Heyting mindazonáltal felállított egy intuicionista logikát, de ez lényegesen különbözik a klasszikustól. A fő különbség az, hogy a kettősnegáció törvénye, ~~A és A logikai ekvivalenciája nem érvényes benne; ~~A-ból nem mindig következik A (csak fordítva). Hogy ez miért van így, az többé-kevésbé megérthető az alapelvekből meg egy fontos példából. Képzeljük el, hogy van egy kritériumunk, amelyet legfeljebb egy valós szám elégíthet ki (vagy egy sem). A hagyományos matematikus számára az, ha ilyen valós szám nemlétezéséből sikerül ellentmondást levezetni, elegendő bizonyíték a megfelelő tulajdonságú szám létezésére. Az intuicionista ezzel szemben azt mondja, hogy csak az létezik, amit megkonstruálunk; a létezés indirekt úton való bizonyítása viszont nem konstrukció.

Brouwer egész programjának filozófiája az, hogy a paradoxonoktól úgy lehet megszabadulni, ha elvetjük a meg nem konstruált matematikai objektumok létezésében való metafizikai hitet. A matematika bűnbe esett, amikor elhagyta a szemlélet és az intuitív evidencia talaját; ezért bűnhődik a paradoxonokkal. Ez a program valóban annyira radikális, hogy mindenekelőtt a matematikai analízis teljes újraalkotását követeli meg, a múlt és a jelen században kidolgozott gazdag eszköztár nagy részének mellőzésével. A lényeg az, hogy a végtelen sokaság fogalmára nem lehet támaszkodni. Az eredmény egy általában véve gyengébb és bonyolultabb matematika lesz, amely természetesen értelmezhető a ,,hagyományos” matematikus számára, mint válasz arra az elméletileg nem érdektelen kérdésre, hogy meddig lehet leszűkített, megszigorított módszerekkel eljutni.

A hét kérdés közül az első, a bizonyítások hibátlanságának kérdése itt másképp merül fel. Talán az intuicionista számára a leginkább elfogadható az a tényleges helyzet, hogy a bizonyításokat időnként javítani kell. Az ellentmondások jövőbeni fellépése elleni garancia, egyben a halmazelméleti paradoxonokra adott válasz a végtelen sokaságok — filozófiai nyelven: az aktuális végtelen — szigorú mellőzése. A matematikának az intuicionista számára van tárgya, de nem olyan, ami matematikusok nélkül is létezne, hanem csakis az, ami a szemléletben — lényegében a kanti tiszta szemléletben — megragadható. A tételek természete megint olyan kérdés, amire jó volna részletesebben kitérni, de nincs rá hely és idő; az intuicionista számára a matematika voltaképpen nem tételekből, hanem feladatokból és megoldásokból áll. A természetes számok a tiszta időszemlélet konstrukciói, Kant nyomán. Az intuicionista ugyanúgy elismeri egyetlen igaz logika létezését, mint a logicista, csak éppen ő nem a klasszikus logikában, hanem egy másikban hisz.

Egy ilyen előadás természetesen nem nyújthat többet, mint felületes pillantást erre a sokrétű tárgyra. Mindhárom irányzattal kapcsolatban céloznom kellett olyan lényeges matematikai eredményekre, amelyek megérdemlik a tanulmányozást, de még a pontos kimondásukig sem jutottam el. A matematika és a filozófia kölcsönhatásának az a korszaka, amelyről beszéltem, ma már persze lezárult. Ma aligha lehetne olyan konferenciát tartani, mint az az 1929-ben, Königsbergben lezajlott matematikai szimpozium, ahol Carnap, Heyting és a formalizmus nevében Neumann János ismertették az egyes irányzatok téziseit. A matematikusokat talán ma kevésbé érdeklik ezek a kérdések; a filozófia azonban a matematikát változatlanul az emberi tudás reprezentáns területének tekinti, és számos elsőrangú kortárs gondolkodó foglalkozik a most vázolt problémakör újabb hajtásaival és ágaival; csak példaképpen hadd említsem meg Charles Parsons, Michael Dummett és Hilary Putnam nevét.