Kották, egyenletek és arcok

Minden kulturális újításunknak, például az ábécének vagy az arab számoknak meg kell találnia az agyban a maga neurális fülkéjét: egy olyan hálózatot, amelynek eredeti funkciója eléggé hasonló ahhoz, hogy hozzá lehessen igazítani az új találmányhoz, és amely kellően rugalmas ahhoz, hogy át tudjon váltani az új felhasználásra. Bármely új kulturális gyarapodás csak annyiban lehetséges, amennyiben egy már létező idegi architektúrán alapul, s ezt hasznosítja újra. Az oktatásnak ugyan figyelembe kell vennie idegrendszeri korlátainkat, de segítségére van a velünk született hálózatok sokfélesége, és hogy az agy érése fajunk esetében hosszú évekig eltart.

Ahhoz, hogy újrahasznosítsuk agyi látókérgünket, és így kiváló olvasókká váljunk, a maximális agyi képlékenység kora gyermekkori időszakát kell kihasználnunk. De ugyanez igaz a kottára is: egy olyan muzsikus látókérgében, aki megtanulta a partitúrák olvasását, a kották gyakorlatilag dupla akkora területet foglalnak el, mint annál, aki soha nem tanult zenét. Ez a nagy mértékű, korai növekedés tehát helyet igényel az agykéreg felületén, és úgy tűnik, elmozdítja a szavak vizuális alakjának felismeréséért felelős területet: zenészeknél a betűkre reagáló kérgi régió – az agy postaládája – csaknem egy centiméterrel kerül arrébb szokásos helyétől.

Stanislas Dehaene Agy-díjas neurobiológus

Mi a helyzet a matematikai egyenletek felismerésével? A jó matematikusnak képesnek kell lennie arra, hogy első pillantásra elemezzen olyan rejtélyes kifejezéseket mint: π = 3.141592 ...., φ = 1.611803394 ..., f (x) = a0 + Ʃn k = 1 (ak cos kx + bk sin kx) vagy e^x = 1 + x1 / 1! + x2 / 2! + x3 / 3! +…, éppolyan természetességgel, mint ahogy mondatokat olvasunk. Magas szintű vizuális szakértelemről van szó. Egy kis történet: egyszer részt vettem egy konferencián, ahol Alain Connes Fields-érmes matematikus olyan egyenlet-katedrálist mutatott be, amely 25 rendkívül sűrűn teleírt sort tartalmazott. Azt magyarázta, hogy ez magában foglalja az összes ismert elemi részecske összes fizikai hatásának matematikai kifejezését. Egy másik matematikus felemelte a kezét: hiba van a 13. sorban ... Nem, válaszolt azonnal Alain Connes, anélkül, hogy kizökkent volna: azt egy másik kifejezés ellensúlyozza a 14. sorban!

Alain Connes

Hogyan tükröződik a matematikusok fejében a képletek ilyen könnyed kezelése? Az agyi képalkotás azt mutatja, hogy a matematikai tárgyak elárasztják kérgüket, elfoglalva mindkét félteke oldalsó nyakszirti területeinek jó részét – sokkal többet, mint egy nem matematikusnál. És ezzel párhuzamosan látjuk szamárbőrként összezsugorodni az arcok számára fenntartott kérgi felületet – ugyancsak mindkét féltekén. Más szavakkal, míg az írni-olvasni tudás elűzi az arcokat a bal féltekéből, áthelyezve őket a jobb féltekébe, úgy tűnik, hogy a számok és az egyenletek gyakorlása mind a bal, mind a jobb féltekében összeütközésbe kerül az arcfelismeréssel.

Csábító összefüggést találni a szórakozott professzor szindrómájával, aki képtelen arra, hogy egyenletein kívül más iránt is érdeklődjön, és aki még a szomszédját, a kutyáját vagy saját tükörbeli képmását is alig ismeri fel. Rengeteg anekdota szól matematikusokról; talán ön is ismeri ezt: „Miről lehet felismerni az extravertált matematikust? Arról, hogy az ön cipőjét nézi...”

Valójában még nem tudjuk, hogy az agykéreg csökkent reagálása az arcokra közvetlen szerepet játszik-e abban a gyakori benyomásban, hogy a matematikusoknak nem erőssége más emberek felismerése. Az ok-okozati összefüggést még meg kell határozni: vajon a matematikai képletek között eltöltött élet csökkenti az arcokra való reagálást? Vagy fordítva, az illető azért merül el a számításokban, mert kezdettől vonzóbbnak találja őket, mint a társas interakciókat? Mindenesetre a versengés bizonyított, és az arcok agykérgi képviselete rendkívül érzékeny az iskolai tanulásra: egyértelműen tükrözi a gyermek által kapott oktatást, legyen szó olvasásról, matematikáról vagy zenéről.

A matematika újrahasznosítja a számok idegi hálózatait

Ahogyan A számérzék című könyvemben elmagyaráztam, az aritmetika esetében sok bizonyíték van arra, hogy a fejszámolás nem úgy vésődik be az agyba, mint egy üres viasztömbbe: ellenkezőleg, a numerikus mennyiségek velünk született képviseletén alapul, amelyet kibővít és finomít.

Embernél és makákó majomnál egyaránt a fali és a prefrontális lebeny ad otthont egy, a számokat megközelítő módon reprezentáló idegi hálózatnak. Ez a hálózat bármiféle tanulást megelőzően már tartalmaz a tárgyak számosságára érzékeny idegsejteket, egy spontán mentális számegyenest. Mit jelent a tanulás? A mennyiségek összehasonlítására kiképzett állatoknál a frontális lebenyben megnövekszik a számérzékelő idegsejtek száma. A számszimbólumok gyakorlásával ezek egy része szelektívvé válik, csak az arab számokra reagál. Ez jó példa a neurális újrahasznosításra: egy hálózat (részleges) átállításáról van szó, minthogy az egy új kulturális találmányt, a számok szimbólumait fogadja be. 

A számoláshoz a fali lebenynek azokat a területeit is újrahasznosítjuk, amelyek a figyelem irányát határozzák meg: az összeadás a figyelmünket jobbra, a nagy számok felé irányítja, míg a kivonás a figyelmet balra áthelyező hálózatokat használja fel. Mindannyiunk fejében létezik egyfajta számegyenes, a számok elmebeli térképe, amelyen megtanultunk precízen mozogni a számítások elvégzéséhez.

A közelmúltban kutatócsoportom ennél jóval tovább jutott: egy fiatal matematikus kutatóval, Marie Amalrickal megvizsgáltuk, vajon ugyanezeket a hálózatokat használjuk-e, amikor magasabb matematikai fogalmakra gondolunk.

Marie Amalric neurobiológus

E célból tizenöt élvonalbeli matematikust verbuváltunk, majd vizsgáltunk MRI-vel, miközben olyan elvont matematikai kifejezéseket mutattunk nekik, amelyeket csak ők értettek, például ∫_S ∇⨯F⦁dS, vagy olyan kijelentéseket, mint „bármely négyzetes mátrix, amelynek együtthatói egy testben vannak, három projektor lineáris kombinációja”. Amint megjósoltuk, ezek a magas szintű matematikai objektumok továbbra is ugyanazt az agyi hálózatot aktiválták – azt, amely akkor jön működésbe, amikor a csecsemő három tárgyat lát, vagy amikor a gyermek számolni tanul. A kettős integrálok, a martingálok, a komplex számok, a végtelen dimenziójú függvények és variációk is olyan fogalmi konstrukciók, amelyek végső soron a gyermekkorban meglévő elemi idegi hálózatok újrakombinálásában gyökereznek. A matematika kulturális felépítése során, az iskolás kortól a Fields-éremig, egyre csak ugyanazon agyi hálózat idegi kódját finomítjuk.

"Mindaz, ami a geometriában alapvető, a szemnek láthatatlan" - vak matematikusok agyműködése

És ezt a hálózatot  erősen korlátozzák a gének: a tanulás minden bizonnyal lehetővé teszi számára, hogy új fogalmakat fogadjon be, de a felépítése nagyjából változatlan marad. Ezt bizonyítottuk olyan matematikusok tanulmányozásával is, akiknek érzékszervi tapasztalatai gyerekkoruk óta gyökeresen eltérőek voltak: vak hivatásos matematikusokról van szó. Kevéssé köztudott tény, hogy vak emberekből az átlagosnál gyakrabban lesz kiváló matematikus. A vak matematikusok közül talán legismertebb Nicholas Saunderson (1682–1739), aki Isaac Newton katedráját foglalta el a Cambridge-i Egyetemen, és nyolcéves korában vesztette el a látását.

Nicholas Saunderson matematikus

Marie Amalric és jómagam három vak kortárs matematikussal léptünk kapcsolatba, mindhárman egyetemi tanárok Franciaországban. Egyikük, a 11 éves kora óta vak Emmanuel Giroux, kiemelkedő matematikus, hatvanfős laboratórium igazgatója a Lyoni École Normale Supérieure-ben. Különösen a kontakt geometria nagy tételének bizonyításáról híres. A hozzá hasonló vak matematikusok létezése megcáfolja az empirista víziót, miszerint az agy üres lap, amely az érzékszervi tapasztalatok hatására telik meg. Hogy is tudná egy vak ember a maga korlátozott tapasztalataiból megalkotni ugyanazokat az absztrakt fogalmakat, ha nem rendelkezne az agyában azokkal a hálózatokkal, amelyek – legalábbis elméletileg – képesek ezeket létrehozni? Ahogy Emmanuel Giroux mondja A kis herceget parafrazeálva: „mindazt, ami a geometriában alapvető, csak a szellem látja jól, a szemnek láthatatlan”.

Ha az agykéreg szerveződését az érzékszervi tapasztalatok határoznák meg, akkor a vak matematikusnak, aki mindent tapintás révén tanult meg, a matematika művelése közben egészen más agyterületeket kellene aktiválnia, mint egy látó matematikusnak. Ezzel szemben a neurális újrahasznosítás elmélete azt jelzi előre, hogy a matematika idegi hálózatai rögzítettek. És éppen ez utóbbit figyeltük meg három vak matematikusunk agyának szkennelésekor. Elvárásunknak megfelelően, amikor „látják”, mit jelent egy matematikai tétel, ugyanazokkal a fali és homloklebenyi hálózatokkal teszik, mint egy látó matematikus.

Emmanuel Giroux matematikus

Az érzékszervi tapasztalatok itt nem játszanak szerepet: csak ez a hálózat képes újrahasznosulni a matematika művelésére.

Az egyetlen különbség az, hogy három vak emberünk, amikor választott szakterületéről gondolkodik, a látókéreg területeit is igénybe veszi. Ez volt Cédric Villani (egy másik nagy, Fields-érmes matematikus) intuíciója. Amikor a fenti kísérletről beszélgettünk, a következő ötlettel állt elő: „Tudod, Emmanuel Giroux nagyon nagy matematikus, de ebből a szempontból szerencséje is van: mivel vak, agykérgének még nagyobb részét szentelheti a matematikának!” Igaza volt, és ez egyben a neurális újrahasznosítás újabb csodálatos példája. Vakoknál az általában a látásnak szentelt okcipitális kéreg nem marad inaktív: új feladatoknak szenteli magát, beleértve a fejszámolást és a matematikát is. Született vakok esetén az átszervezés még nagyobb fokú, mivel látókérgükben, teljesen váratlanul, a beszélt nyelv grammatikájára adott válaszok is megfigyelhetők, éppúgy, ahogy a Broca-területen.

Cédric Villani Fields-érmes matematikus

Az absztrakt válaszok jelenléte a vakok látókérgében továbbra is elméleti vita tárgya: valóban újrahasznosításról van szó, vagy a plaszticitás rendkívüli bizonyítékáról, amely az agykéreg teljes újjászervezéséhez vezet? Úgy tűnik számomra, hogy a mérleg nyelve az idegsejtek újrahasznosításának hipotézise felé leng ki, különösen azért, mert a gyökeresen megváltozott körülmények nem törlik el úgy e terület korábbi szerveződését, mint mondjuk egy szivacs a táblára írottakat. ...

Az idegsejtek újrahasznosításának feltevését nemcsak a legelemibb fogalmak (1 + 1 = 2) és a legfejlettebb matematikai elképzelések (e^–iπ + 1 = 0) azonos agyi lokalizációja támasztja alá a látó és a vak embereknél. Más, tisztán pszichológiai felfedezések is azt jelzik, hogy az iskolában tanult matematika szintén a régi, a hozzávetőleges mennyiségekkel foglalkozó áramkörök újrahasznosításán alapul.

Gondoljunk az 5-ös számra. Agyunk máris újraaktiválja a mennyiségek képviseletét, ugyanazt, amellyel a többi főemlőssel is osztozunk. Most próbáljuk meg eldönteni, hogy az 5 nagyobb vagy kisebb, mint a 6. A tapasztalat azt mutatja, hogy sokkal lassabban döntünk egymáshoz közeli számoknál, amilyen az 5 és a 6, mint távoliaknál, amilyen az 5 és a 9. A távolsághatás a számok ősi reprezentálásának egyik lenyomata, amelyet az emberek akkor hasznosítanak újra, amikor megtanulnak számlálni és kiszámítani valamit. Megpróbálunk összpontosítani a szimbólumokra, de nem tudjuk nem aktiválni a megfelelő mennyiségek agyi képviseleteit, és ezek annál jobban átfedik egymást, minél közelebbiek egymáshoz a számok. Még akkor is, ha azt kell eldöntenünk, hogy két szám, például a 8 és a 9, különbözik-e egymástól, befolyásol minket az őket elválasztó távolság, és ugyanez igaz azokra a majmokra, akik megtanulták felismerni az arab számok szimbólumait. 

És még sorolhatnám a példákat. Ha két számot kivonunk egymásból, az erre fordított idő együtt változik a kivont szám nagyságával. Olyan ez, mintha agyunkban mentálisan mozognánk egyiktől a másikig: minél tovább megyünk, annál több időre lesz ehhez szükség. Ugyanígy, amikor egy árra gondolunk, az elkerülhetetlenül annál pontatlanabb lesz számunkra, minél nagyobb számról van szó: a legmagasabb számok egyben a leghomályosabbak is. Ezért tárgyalás során minden észszerűség ellenére készen állunk néhány ezer eurót elengedni egy lakás túl magas árából, és még aznap alkudozni egy kenyér túl magas árán: a számunkra elfogadható pontatlanság a képviselt számmal arányos, és ebben éppen olyanok vagyunk, mint a makákó majmok.

A lista folytatható: páros-páratlan, negatív számok, törtek… ezek a fogalmak a mennyiségek eredeti reprezentációján alapulnak. Eltérően a digitális számítógépektől, mi nem tudjuk absztrakt módon manipulálni a szimbólumokat, hanem mindig a konkrét mennyiségekhez kötjük őket. Hogy ilyen analóg hatások a képzett agyban is fennmaradnak, számfogalmunk ősi kötelmeiről árulkodik.

A hozzávetőleges szám az egyik pillér, amelyen a matematika felépítése nyugszik. De az oktatás is gazdagítja azt. A matematikai akkulturáció, amikor megtanulunk számlálni és kiszámítani valamit, pontos szimbólumokat vezet be ott, ahol az evolúció már évmilliók óta elvolt a hozzávetőleges mennyiségekkel. Ez a változás erőteljes tényezője: aritmetikai áramköreink mindegyike minimálisan módosul, hogy a szimbólumok kezelése lehetővé váljék. Sőt, ez a velünk született mennyiségérzékelés, még ha viccesen „matematikai dudornak” neveztem is, nem egyetlen alapja a matematikának. Evolúciónk során térérzéket is örököltünk, annak saját idegi hálózataival, valamint hely-, rács- és iránysejtjeivel. Van egyfajta alakérzékünk is, amely már kisgyermek korban lehetővé teszi számunkra a négyszög vagy a háromszög felismerését. A szavak és számok szimbólumainak hatására, még nem teljesen érthető módon, mindezek a fogalmak újrahasznosításra kerülnek, amikor megtanuljuk művelni a matematikát: a gondolkozás nyelvén folyamatosan újrakombináljuk őket, hogy új fogalmakat alkossunk. Az evolúció által nekünk adott alapvető primitívek olyanok, mint egy új, produktív nyelv szavai, amelynek a matematikusok minden nap új oldalait írják. 

Fordította: Jakabffy Éva, Jakabffy Imre

A könyv, színes ábrákkal, kedvezményesen megrendelhető a Typotex Kiadó oldalán

Kapcsolódó poszt: A tanulás tanulása