„A matematika természetére vonatkozó bevett elméletek közül számomra az intuicionizmus ad legjobban számot a számtan és az emberi agy közötti kapcsolatról. A számtan pszichológiai kutatásának utóbbi éveiben olyan új érvek születtek az intuicionista nézet mellett, amiket sem Kant, sem Poincaré nem tudhatott. Az empirikus eredmények megerősítik Poincaré feltevését, miszerint a szám ’a gondolkodás természetes tárgyai közé tartozik’, vagyis az olyan velünk született kategóriák közé, amelyek szerint felfogjuk a világot. Mit tudunk erről a számérzékről?

– Azt, hogy az emberi csecsemők a tárgyak elkülönítésére és a kis halmazok számosságának megállapítására szolgáló öröklött mechanizmussal születnek;

– ez a számérzék az állatokban is jelen van, azaz a nyelvtől független, és hosszú evolúciós történettel rendelkezik;

– a gyerekeknél a számtani becslés, összehasonlító számlálás, az egyszerű összeadás és kivonás mind-mind önmagától, explicit utasítások nélkül fejlődik ki;

– mindkét agyfélteke alulsó fali területe a számszerű mennyiségek mentális manipulációjára szolgáló idegi hálózatokat tartalmaz.

A számokra vonatkozó intuíciónk tehát mélyen agyunkba van ültetve. A szám feltehetően azon alapvető dimenziók egyike, amelyek mentén idegrendszerünk feldolgozza a külső világot. Éppúgy, ahogy nem tudjuk elkerülni, hogy színesben (ez a tulajdonság a nyakszirti lebenyünk hálózataihoz köthető) és a tér meghatározott helyeihez kötötten lássunk, úgy a számszerű mennyiségeket is alulsó fali lebenyünk specializált hálózatainak erőfeszítést nem igénylő működése révén észleljük. Agyunk szerkezete határozza meg azokat a kategóriákat, amelyekre építve a matematikán keresztül értjük meg a világot. 

A matematika megalkotása és szelekciója 

Habár a neuropszichológiai adatok alátámasztják a Poincaré által képviselthez hasonló intuicionizmust, ezt a felfogást egyértelműen el kell különíteni az intuicionizmus szélsőséges formájától, a Luitzen Brouwer holland matematikus által hevesen védelmezett konstruktivizmustól. Számos kollégája szerint Brouwer túl messzire ment abbéli buzgalmában, hogy tisztán intuitív alapokra helyezze a matematikát. Elvetett olyan logikai elveket, amelyeket bár gyakran használnak a matematikai demonstrációkban, de nem érezte úgy, hogy ezek megfelelnének bármiféle egyszerű intuíciónak. Különösen azt emelném ki, hogy itt feltehetően teljesen ki nem fejthető okokból elutasította a „nincs középút" elvének végtelen halmazokra való alkalmazását. A klasszikus logika ezen ártatlan kinézetű elve azt állítja, hogy bármely értelmes matematikai kijelentés vagy igaz, vagy hamis. E feltevés elutasítása a matematika új, konstruktivista matematika néven illetett ágának a kifejlődéséhez vezetett.

Henri Poincaré

Nyilvánvalóan nem én fogom eldönteni, hogy a klasszikus matematika vagy Brouwer konstruktivista matematikája a legkoherensebb és a legtermékenyebb módja-e a kutatásnak. A döntés végső soron a matematikai közösségre tartozik, a pszichológusnak a megfigyelő szerepére kell szorítkoznia. Mindazonáltal véleményem szerint mindkét elmélet összeegyeztethető azzal az általánosabb feltevéssel, hogy a

A matematika alapvető intuícióink formalizálásából és folyamatos finomításából áll. Az emberek a számokra, halmazokra, folyamatos mennyiségekre, ismétlődésekre, logikára és a tér geometriájára vonatkozó számos intuícióval születnek. A matematikusok arra törekednek, hogy ezeket az intuíciókat formalizálják, és logikailag koherens axiómarendszerekbe rendezzék őket, de semmi sem garantálja azt, hogy ez lehetséges. Valójában az evolúció valamennyi, intuícióink alapját képező agyi modulunkat egymástól függetlenül alakította ki, és nagyobb gondja volt arra, hogy azok jól működjenek a való világban, mint arra, hogy egymással koherensek legyenek. Ez lehet az oka annak, hogy a matematikusok nem mindig értenek egyet abban, hogy mely intuíciókat fogadják el, és melyeket kellene elvetniük.

A klasszikus matematika az igaz és a hamis közötti kettősség intuíciójára épül (és ennyiben, mint azt Brouwer megjegyezte, valóban azt kockáztatja, hogy túlmegy a véges és végtelen halmazokkal kapcsolatos intuícióinkon). Brouwer ezzel szemben alapelvként fogadja el a véges konstrukciók vagy érvelések elsődlegességét. Végső áttekintésben a matematikáról vallott nézete – habár azt időnként „intuicionizmusnak" nevezik – biztosan semmivel sem intuitívebb, mint másokéi. Pusztán csak intuíciók részben különböző halmazára épül.

E keretben már csak azt kell megmagyaráznunk, hogy intuícióik, veleszületett kategóriájuk révén a matematikusok miképpen képesek egyre elvontabb szimbolikus konstrukciókat kidolgozni. A francia neurobiológussal, Jean-Pierre Changeux-vel egyetértésben úgy vélem, hogy a matematika az alkotást követő szelekció révén fejlődik. A matematika evolúciója történetileg igazolt tény. A matematika nem merev tudásanyag. Tárgyai, de még érvelésmódjai is sok nemzedék alatt fejlődtek ki. A matematika épületét is próba-szerencse módszerrel emelték. A legmagasabb állványok időnként csaknem leomlanak, és a pusztulást végeérhetetlen körben követi az újjáépítés. Valamennyi matematikai konstrukció alapjai a halmaz, a szám, a tér, az idő és a logika alapvető intuícióiban gyökereznek. Ezeket szinte sohasem kérdőjelezik meg, olyan mélyen az agyunkban lévő, redukálhatatlan reprezentációk közé tartoznak. A matematika ezen intuíciók fokozatos formalizációjaként határozható meg. Célja az, hogy koherensebbé, kölcsönösen kompatibilissé és a külső világban szerzett tapasztalatainkhoz jobban alkalmazkodóvá tegye azokat. 

Több döntő mozzanat irányítja a matematikai objektumok kiválasztódását és későbbi nemzedékekre való hagyományozását. A tiszta matematikában az ellentmondás-mentesség, valamint az elegancia és az egyszerűség azok a legfontosabb tényezők, amelyek szavatolják az egyes matematikai alkotások fennmaradását. Az alkalmazott matematikában van még egy fontos tényező: a matematikai konstruktumoknak összhangban kell lenniük a fizikai világgal. A fentiek szerint az önellentmondó, nem elegáns vagy haszontalan matematikai alkotásokat könyörtelenül kiselejtezik. Csak a legerősebbek állják ki az idő próbáját. 

Példa a matematikában végbemenő kiválasztódásra: távoli őseink feltehetően csak az 1, 2 és 3 számokat nevezték el. Később újítások egész sora jelent meg: a testre mutogató számolás, a tízig terjedő számnevek, majd végül az összeadási és szorzási szabályokon alapuló összetett számnyelvtan. Írásban előbb a rovás alapú számjelek, majd az összeadó számjelek, végül pedig a 10-es alapú helyiértékes jelölés bontakozott ki. Minden egyes lépéssel kissé, de határozottan javult a számok olvashatósága, tömörsége és kifejező ereje. 

Püthagorasz

Hasonló evolúciós történetet lehet felvázolni a valós számok tartományára is. Püthagorasz idejében a számok csak az egész számok és két egész szám arányai lehettek. Később jött a döbbenetes felfedezés, hogy a négyzet átlóját nem lehet meghatározni: a gyök(2)-t nem lehet két egész szám arányaként kifejezni. Hamarosan ilyen irracionális mennyiségek egész sorát állították elő. A matematikusok több mint húsz évszázadig küzdöttek, hogy megfelelő formális keretbe illesszék őket. Voltak elhibázott próbálkozások – az infinitezimálisok –, ellentmondásoktól szenvedő és túl sokszor az egy négyzetére hivatkozó látszólagos megoldások. Végül mindössze egy évszázaddal ezelőtt Dedekind kezdte munkássága során kidolgozni a valós számok halmazának kielégítő definícióját. 

Az általam védelmezett evolúciós nézőpont szerint a matematika emberi alkotás, azaz szükségszerűen tökéletlen és korrekciókra szoruló vállalkozás. Ez a következtetés talán meglepőnek tűnik. A gyakran a „pontosság templomának” nevezett matematikát a tisztaság aurája övezi. A matematikusok maguk is – jogosan – elcsodálkoznak tudományuk erején. Nem vagyunk-e azonban valamennyien hajlamosak elfelejteni, hogy mindez öt évezred erőfeszítésein alapszik? 

A matematikát gyakran az egyetlen kumulatív tudománynak tekintik: a már megszületett eredményeket sohasem kérdőjelezik vagy változtatják meg. Elég azonban egyetlen pillantást vetni a régebbi matematikai könyvekre, hogy számos, e nézettel ellenkező példát találjunk. Hatalmas kötetek avultak el akkor, mikor kitalálták a másod-, harmad- és negyedfokú többtagú egyenletek megoldásának általános módszereit. A korábban érvényesnek tartott levezetéseket a matematikusok következő nemzedéke elégtelennek vagy egyenesen hibásnak találhatja. Megdöbbentő például, hogy az l - l + l - l + 1..., azaz az egy végtelen sorban váltakozó összeadásával és kivonásával több mint egy évszázadig hiába küzdöttek a matematikusok. Napjainkban bármely egyetemi hallgató bizonyítani tudja, hogy ennek az összegnek nincs értelmes értéke (0 és 1 között változik). 1713-ban azonban még a rendkívüli tehetségű Leibniz is azt bizonyította – természetesen tévesen –, hogy a végtelen összeg 1/2-del egyenlő. 

Mit mondjunk akkor a manapság megjelenő, a matematikai újságok több száz oldalát kitöltő bizonyításokról? Az akadémiák világszerte Fermat sejtésének többtucatnyi téves bizonyítását kapták meg. 

Még Andrew Wiles első meggyőző bizonyítása is tartalmazott egy hibás állítást, aminek a kiigazításához több mint egy évre volt szükség. És mit gondoljunk az újabb bizonyításokról, amik azon alapszanak, hogy számítógéppel kiértékelik a lehetséges többmilliárdnyi kombinációt? Egyes matematikusok elvetik ezt a gyakorlatot, mivel attól tartanak, hogy nincs bizonyíték a számítógépprogram hibátlanságára. Napjainkra a matematika épülete még nem stabilizálódott teljesen. Nincs garanciánk arra, hogy egyes részleteket, Leibniz végtelen összegéhez hasonlóan, néhány generáció múlva nem fogunk kihajítani belőle.

Folytatás

Forrás: Számérzék, ford.: Szűcs Dénes