"Az isteni bizonyítások Erdős-féle Nagy Könyvébe legtöbbünknek esélye sincs bejutni."

Totik Vilmos (1954) a Szegedi Tudományegyetem Bolyai Intézetének matematikusa, a Halmazelméleti és Matematikai Logikai Tanszék vezetője, a University of South Florida professzora. A Magyar Tudományos Akadémiának 1993-tól levelező, 2001-től rendes tagja. Az analízis, közelebbről az approximációelmélet nemzetközi hírű kutatója. Fél tucatnál több témában ért el kiemelkedő eredményeket, olyanokat, amelyek új kutatási irányokat nyitottak. Hazánkban jelenleg ő a legtöbb és legszebb eredményeket elérő analízis-szakember. (Négy monográfiát írt, kb. 130 dolgozatot publikált, hivatkozásainak száma meghaladja az 1300-at.)
Halk szavú, kissé zárkózott, bizalmat keltő ember. Szellemi és fizikai ereje szerencsés párost alkot. 

Totik Vilmos

– Kérlek, mondj három olyan feladatot, mely tizenéves, huszonéves korodban, majd a harmincas éveidben hagyott mély nyomot benned.

– Tizenhét éves lehettem, amikor megfogtak a Középiskolai Matematikai Lapok szép feladatai. Sokat közülük neves matematikusaink tűztek ki. A nyári szünidőre úgynevezett pontversenyen kívüli, fogósabb problémákat adtak. Ezek megoldására több időt szántak. Emlékszem az egyikre, melyben az y = x² + 1 parabola és bizonyos érintői játszották a főszerepet. Rengeteget dolgoztam a feladattal, majd bajlódásaim eredményét beküldtem a lapnak. A KöMaL, amikor megadja egy-egy probléma megoldását, alatta azt is közli, hogy hány dolgozat érkezett a kitűzött feladatra, név szerint említve azokat, akiké jó volt. Amikor később közreadták ennek a feladatnak a helyes megoldását, alatta csak két rövid mondat szerepelt. Nevesítés nélkül is tudtam, hogy rólam szólnak: „Érkezett 1 dolgozat. Nem oldotta meg, más problémára siklott át.”

– Szinte biztos, hogy Bakos Tibi bácsi írta, aki akkor a KöMaL felelős szerkesztője volt. Őt jellemezte ez a finom, bántó szavakat gondosan kerülő nyelvi megformálás.

– Lehet, hogy igazad van, az azonban biztos, hogy nem ennek a feladatnak a hatására lettem matematikus. Sokkal inkább megragadott a következő: „Egy síkon egymást keresztező egyenes utak mentén egy-egy autó halad egyenletes sebességgel. Igazoljuk, hogy ha van két autó, amelyek minden más autóval találkoznak a megfelelő útkereszteződésekben, akkor bármely autó bármely másikkal is találkozik.”

Ezt a feladatot megoldhatjuk koordinátageometriával, párhuzamos szelők tételével, s talán még több más módon is. Van azonban egy megoldás, mely rádöbbentett arra, hogy a matematika gyönyörű lehet. S ha ilyen vonzó, akkor érdemes ezt választanom.

– Hallhatnám a megoldást?

– Elmondom, bár van egy kis hibája: sajnos nem én találtam ki. Ennek a bizonyításnak a lelke az, hogy feladatunkat a síkból a térbe emeljük. Adott pillanatban minden autó fölött indítsunk útjára egy-egy madarat. Ezek a madarak emelkedjenek ugyanazzal a sebességgel úgy, hogy közben mindig a saját autójuk fölött maradjanak. Akkor, ugye, a madarak egy-egy egyenes mentén mozognak. Ezek az egyenesek már a térben vannak. Két autó találkozása azt jelenti, hogy a fölöttük repülő madarak találkoznak, ami azzal egyenértékű, hogy a madarak egyenesei metszik egymást. Ugyanis minden madár minden pillanatban ugyanolyan magasan van az autók síkja fölött. Amikor a két kitüntetett autónk találkozik egy harmadikkal, akkor az ő madaraik egyenesei metszik az új autó madarának egyenesét, ami emiatt az előző két „madáregyenes” által kifeszített S síkban van. A madarak egyenesei tehát mind az S síkban vannak, s mivel nincs közöttük párhuzamos egyenes – az autók síkjára eső vetületeik ugyanis éppen az utak, és ezek metszik egymást –, ezért a madarak egyenesei páronként metszik egymást. Ezzel bizonyítottuk a feladat állítását.

– „Szárnyaló” gondolatmenet!

– Amiből még az is látszik, hogy a madarak minden időpillanatban egy egyenesen helyezkednek el, amit az S sík és egy-egy, az autók síkjával párhuzamos sík metszésvonala határoz meg. Az autókra vetítve ez ugyanazt jelenti, vagyis azok is minden időpontban egy egyenes mentén vannak.

– A matematika tehát korán megfogott.

– Igen, de a természet is. Egy kis faluban, Magyarkimlén születtem. Tizenéves koromban Ásványráróra költöztünk. Mindkét falu kb. félúton van Győr és Mosonmagyaróvár között.

Tél a Szigetközben

– Ásványráró a Szigetközben található, varázslatos tájban. „Folyópartok, fákkal, füzesekkel kísért utak, csendes tocsogók, haragos szavú forgók, méltóságosan hömpölygő Öreg-Duna, csúfondárosan hancúrozó ágvizek...” – írják róla, s való igaz, első látásra elbűvöli az embert. Így már szinte csoda, hogy matematikus lettél.

Ásványráró melletti mellékág közepes dunai vízállásnál (Alexay Zoltán felvétele)

– Kevésen múlott. Nagyapám halász volt, rengeteg időt töltöttem a vízen, ismertem a régi Duna-mederben rejtőző szigetvilág minden rejtett zugát. Diákként nyaranta a helyi téeszben dolgoztam, vagy az erdészetben. Az erdészetnek a szigeteken kellett munkát végeznünk. Amikor kijártam az általános iskolát, két helyre adtam be továbbtanulási kérelmet: Győrbe, a Révai Gimnázium matematika–fizika tagozatára és Sopronba, a postaforgalmi szakközépiskolába. Falumban nem sok jóval kecsegtettek Győrrel kapcsolatban. Azt mondták, szebb jövőm lesz, ha Sopronba megyek és jó postás leszek.

– Hála istennek felvettek a Révaiba.

– Igen, mert közben az egyik falumbeli fiúval, Józsa Andrással megnyertük a házi matematikaversenyt, majd a járásit is. Ez akkoriban meglehetősen nagy dolognak számított egy falusi iskolában. A megyei versenyen azután már mindketten elvéreztünk, de ez is elég volt ahhoz, hogy fölvegyenek a Révaiba. 1968 nyara volt, repültek fölöttünk a helikopterek, Csehszlovákiába tartottak, nemigen értettük, miért...

– Ki volt a gimnáziumi matematikatanárod?

– Szabó Rudolfné, rendkívül jó képességű tanár, akitől nagyon sokat tanultam. Szegeden végzett és mindenben megfelelt annak a követelménynek, hogy egy emelt szintű matematika–fizika szakos osztályt irányítson. Megmondom őszintén, bár mat.–fiz. tagozatos osztályba jártam, kezdetben jobban érdekelt a futballozás, meg minden más...

– Nekem a focit említeni bocsánatos „bűn”. Sőt örülök is neki, hiszen végre idézhetem a kedvelt mondatokat Esterházy Pétertől. Így szólt a Középiskolai Matematikai és Fizikai Lapok századik születésnapján: „A számomra fontos, eddig fontosnak bizonyult terrénumokat, a futballt, irodalmat, matematikát ez köti össze, a játék, én legalábbis így fogom föl... Egy-egy játék az egy-egy megismerési mód. Mást tudok meg egy Fradi–MTK meccs esetében, s mást a Banach-terek vizsgálatakor. De a matematika nem valami távoli érthetetlenség, amelyhez külön ész kéne, ugyanavval az (egy szál) eszünkkel közelítünk a regényhez, mint őhozzá. A matematika is a létezésünkről, annak gazdaságáról ad hírt. Mindig ugyanarról beszélünk, hol Flaubert, hol Bolyai, hol Pilinszky, hol Gödel hangját halljuk.”

Esterházy Péter

– Falusi gyerekként én bizony először a labda hangjára figyeltem. A futball volt az életem. Amikor Ásványrárón a pálya felé bicikliztem és meghallottam a labda puffanásait, zakatolni kezdett a szívem, beletapostam a pedálba. Harmadik gimnazista lehettem, amikor a matematikával igazán egymásra találtunk. Akkor nyáron naponta reggel négytől este tízig dolgoztam. A téesz öntözőrendszerét felügyeltük, minden hatodik órában áttelepítettük a csöveket. Közte nagyon sok szabadidőnk volt. Unalmamban kiolvastam a falu kis könyvtárának minden könyvét, ugyanezért vettem kézbe a Középiskolai Matematikai Lapokat. Azokról a feladatokról, amiket addig csak ímmel-ámmal oldogattam, kiderült, hogy mennyire kedvemre valók. Örömöt okozott a megoldásuk, ráéreztem szépségükre. Lelkes híve lettem a matematikának. Negyedikben már nagyon keményen nekigyürkőztem, sokat dolgoztam, rengeteget tanultam, az országos középiskolai tanulmányi versenyen elég szépen szerepeltem.

– A Szegedi József Attila Tudományegyetemen tanultál tovább. Az Eötvös Loránd Tudományegyetem, Budapest nem volt közelebb?

– Két hatás ért, ami Szegedre terelt. Varga Antal, aki azóta is a Bolyai Intézet oktatója, mint minden évben, 1972-ben is végigjárta a nyugati határszélt, és a középiskolákban a szegedi egyetemre toborzott diákokat. Győrbe, a Révai Gimnáziumba is eljutott, én pedig elmentem az ismertető előadására, ahol nagyon sok szépet hallottam Szegedről. Ez önmagában még nem lett volna elég, hiszen akkor már elhatároztam, hogy az ELTE-re megyek.

– Akkor pedig mi döntött Szeged mellett?

– Mérges lettem. Éppen akkor vesztem össze jövendőbeli feleségemmel, Veronikával, akibe már általános iskolás koromtól szerelmes voltam. Ők is Ásványrárón laktak, ugyanabban az utcában, éppen velünk szemben. Ő Pestre ment a főiskolára, én pedig csak azért is a szegedi egyetemre adtam be a jelentkezésemet. Egy hét múlva kibékültünk, így aztán három évig ingáztam Szeged és Budapest között. Nem bántam meg, kapcsolatunk élve maradt, én pedig a szabadidőmet igyekeztem jól kihasználni: tanulásra, matematikára, futballra fordítottam.

– Milyen hatással volt rád Szeged, a József Attila Tudományegyetem légköre?

– Szeged emberléptékű város, itt könnyebb megkapaszkodni, mint a világváros Budapesten. Emlékszem, engem már Győr is nyomasztott. Szegeden bekerültem a kollégiumba, később a Bolyai Intézet tagja lehettem. A város, az intézet kellemes légköre, egymást tisztelő baráti viszonyai mind-mind munkára sarkalló tényezők. Ma is rendszeresen háromtusázunk a diákjainkkal, a 8-8 fős csapatok pingpongban, sakkban és futballban mérik össze erejüket. Itt elképzelhetetlen az, ami a nyolcvanas években a pesti légkört megmérgezte.

– Szeged a matematika erős vára, neves professzorok taníthattak az egyetemen. Kik hatottak rád leginkább?

– Leindler László hatása meghatározó volt abban, hogy az analízist választottam fő kutatási területemnek. Speciális kollégiumán ő adott nekem először komolyabb problémákat. Rajta kívül Tandori Károly és Szőkefalvi-Nagy Béla fordította az analízis felé érdeklődésemet. Az analízis mellett Szegeden az algebrai kutatások is nagyon színvonalasak. Rédei Lászlótól Csákány Béla örökölte az algebrát és kinevelt egy nagyon erős csapatot, Szendrei Ágnest, Szendrei Máriát, Szabó Lászlót, Czédli Gábort és másokat. Ők már velem együtt nőttek fel.

– Soha nem gondoltál arra, hogy a hangsúlyt az analízisről áthelyezd a matematika más területére?

– Bizony, nagy kísértés volt, amikor Lovász László a hetvenes évek végén a szegedi egyetemre jött. Diákként látogattam a speciális kollégiumait, végigcsináltam későbbi feladatgyűjteményének fejezeteit. Nagy iskola volt, sokat tanultam belőle. Azonban hozzám mégis közelebb áll az analitikus gondolkodásmód. Budapesten szinte minden tehetséges fiatal matematikus kombinatorikával, diszkrét matematikával kezdett foglalkozni. Ez a magyar matematika igazi sikerága lett. Engem azonban a divatos témák nem nagyon vonzanak. A saját területemen is időről időre előjönnek slágertémák, amikre sokan rámozdulnak, új területek, ahol csoportok sokasága ügyködik. Szorgoskodnak egy ideig, esetleg alaptételeket adnak és bizonyítanak, majd mennek tovább, újabb szűzföldekre. Otthagyva a nehéznek bizonyuló, esetleg csak évek munkájával megoldható problémákat.

Lovász László

– A mai világban ez bizony hasznot hajtó stratégia. Így gyorsabban nő a hivatkozásaik száma, hamarabb jutnak előre a ranglétrán, s ők kapják a díjakat...

– Lehet, de az efféle szemlélet tőlem mindig nagyon távol állt, elriasztott.

– Nekem egyszer az egyik neves kutatót úgy jellemezték, hogy mindig lázasan keresi az érintetlen almáskerteket. Amikor oda beszabadul, végigrohan és alulról lekapkodja az almákat. Amik nyújtózkodás nélkül leszedhetők. Meglehet, fönn, a fa ágain szebbek a gyümölcsök, mégsem indul értük, mert az sokáig tartana, s megvan a kockázata, hogy föl sem érné. Minek is, ha az alsó ágakról a többszöröséhez juthatunk. Aztán gyorsan tovább, más kertekbe!

– Jó a hasonlat.

– Akkor most jöhetne a szép „huszonéves” feladat.

– Az az időszak számomra a Schweitzer-versenyek korát jelentette. Az alábbi is egy Schweitzer-feladatnak lett kitűzve, bár nem az én időmben. Adott egy kétváltozós, korlátos, folytonos függvény a síkon, és tudjuk, hogy bármilyen egységsugarú kör kerületén mért átlaga a középpontban felvett értékkel egyezik. Az az állítás, hogy csak konstans függvény lehet ilyen tulajdonságú. Ez általánosítása annak, amikor olyan függvényt veszünk a síkon, melyre igaz az, hogy bármely körön vett integrálátlaga a kör középpontjában felvett függvényértéket adja. Az ilyen tulajdonsággal bíró függvények az úgynevezett harmonikus függvények, melyek a matematikán kívül fontos szerepet játszanak a fizikában és több más alkalmazási területen. Az pedig jól ismert, hogy a korlátos harmonikus függvény konstans. Az eredeti feladatban az a különleges, hogy csak az egységsugarú körre vonatkozik a feltétel. Ez egyébként egy szép diszkrét feladat folytonos megfelelője. A sík rácspontjaiba 0 és 1 közötti számokat írunk úgy, hogy minden szám a négy szomszédos rácspontban lévő szám számtani közepe legyen. Azt állítjuk, hogy ekkor minden szám egyenlő. Látható, hogy itt a négy szomszédos rácspont felel meg az egységkörnek, a bennük lévő számok átlaga az integrálátlagnak. Jópofa feladat, ami sok mindennel összefügg. Írtam is erről egy cikket a szegedi Polygon folyóirat 1992. évi májusi számában, Középérték-tulajdonságú függvények címmel.

– A harmadik évtizeded kedvenc feladatát is elmondod?

– Arról és a köré építhető problémakörről a közelmúltban cikket írtam a Mathematical Monthlyba. Hadd dicsekedjem el vele, az írás tavaly Ford-díjat kapott.

– A Monthlyban magas színvonalú ismeretterjesztő cikkek jelennek meg. A Ford-díj ezek közül a legjobbakat ismeri el?

– Így van. Apró díj, én mégis nagyon büszke voltam rá. A cikkben a kérdéskör összefüggésrendszerére is rámutattam.

– Hogyan szól az alaphang?

– A kiinduló feladat nagyon szép. Így hangzik: Adott két függvény [0,1]-en. Mindkét függvény integrálható, mindkettőnek 1 az integrálja. Akkor van egy közös intervallum, amelyiken mindkettőnek ½ az integrálja. A probléma megoldásához sokféleképpen állhatunk neki: a topológia irányából, kombinatorikusan, elemien... Egyébként kitűztem Schweitzer-feladatnak, amire Csörnyei Marianna adott egy gyönyörű tizenkét oldalas elemi bizonyítást. Tulajdonképpen magam is először elemien oldottam meg a feladatot, csakhogy az én megoldásom kínkeserves úton haladt. Mariannáé pedig olyan, mint egy szép novella, amit gyönyörűség végigolvasni.

Ennek a feladatnak is számos kapcsolódási pontja van, például a Borshuk-tétellel, a létravivési feladattal – két ember egy görbén haladva elvihet-e létrát –, a hegymászó feladattal: két ember felmászhat-e egy hegyre annak szemközti oldalain úgy, hogy mindig ugyanolyan magasan legyenek? Azután a nyaklánc-problémával is összefüggésben van. Egy nyakláncon, amit kétféle drágakő alkot – mondjuk 20-20 fekete és fehér gyöngyből áll, a legkülönfélébb elrendezésben –, hogyan osztozhat meg fele-fele arányban két rabló. Az állítás: minden ilyen nyaklánc két vágással két olyan részre osztható, melyeken ugyanannyi fehér és fekete gyöngy van.

– Szó esett a Schweitzer-versenyről. Az egyetemisták számára kiírt vetélkedő az összes létező matematikai feladatmegoldó verseny közül a legnehezebb. Totik Vilmos 1976-ban második lett a Schweitzer-versenyen, 1978-ban és 1979-ben pedig első. Ez fantasztikus teljesítmény. Az előzmények nem erre utaltak, hiszen hiába kerestelek a Középiskolai Matematikai Lapok legjobb feladatmegoldói, vagy a nemzetközi matematikai diákolimpia magyar csapattagjai között. Mitől lettél néhány éven belül ennyire jó?

– Említettem már, hogy negyedik gimnazista koromban kapcsoltam rá igazán. Azután az egyetem előtti egy év katonaság is rengeteget segített, erős intellektuális ösztönzést adott.

– Ne mondd! Ezt tőled hallom először.

– Arra gondolok, hogy ott kiéheztettek a szellemi munkára. Hódmezővásárhelyen Füredi Zoltánnal, Tuza Zsolttal és még több más nagyon okos fiúval katonáskodtam együtt. Értelmes dolgokkal múlattuk az időt, rengeteget olvastunk, nyelvet tanultunk. Emlékszem, a lövészárokban fekve német szavakat kérdezgettünk egymástól. Nem csoda hát, hogy amikor beszabadultam a szegedi egyetemre, és semmi más dolgom nem volt, csak a tanulás, olyan területen, amit szerettem, igyekeztem a tudásszomjamat oltani. Kollégista lévén a rengeteg szabadidőmet megpróbáltam jól kihasználni. Rájöttem, szükségem van az angolra, elkezdtem rendszeresen tanulni. Fél év múlva már könyveket olvastam angolul, persze matematikát, azt könnyű.

– Kérlek, beszélj kicsit a Schweitzer-versenyről.

– Ez a feladatmegoldó verseny tényleg különleges, egyedülálló a világon. Nincsenek korcsoportok, a versenyzők hazavihetik a feladatokat. Tíz napra tíz-tizenkét feladatot tűznek ki a rendezők. Megoldásukhoz minden segédeszköz felhasználható. Egyedül az nem megengedett, hogy a hallgatók másokkal konzultáljanak. Olyan tiszta a verseny, olyan jó a versenyszellem, hogy ez eszébe sem jut senkinek, az pedig még kevésbé, hogy a tanárjához forduljon segítségért.

– A kitűzött feladatok, gondolom, a matematika más-más területéről származnak.

– Igen. Mindig van analízis, kombinatorika, algebra és geometria feladat. Általában kitűznek valószínűség-számítási és halmazelméleti feladatot. Annak idején volt logika is, ami korábban ritkaságszámba ment. Azért akadnak olyan feladatok, amelyek a matematika legkülönbözőbb területéről származnak.

– Fogalmazhatunk úgy, hogy a Schweitzer-verseny feladatai majdhogynem kutatói szintű problémák?

– Közülük két-három mindenképpen ilyen. A tíz feladat közül azért van három-négy olyan, ami viszonylag könnyebben megfogható, valamilyen nem triviális trükkel, ötlettel megoldható. A két-három súlyos probléma megoldásához soklépéses út vezet, megfelelő segédtételeket kell hozzájuk találni, azokat is bizonyítani. A versenyzők végső sorrendjét többnyire ezek döntik el. A jobb, rutinosabb megoldók az első két napon túljutnak a könnyebb feladatokon, újabb két-három nap alatt átvergődnek a közepeseken, azután öt-hat napon át egy-két feladattal birkóznak. Ha azokat megcsinálják, nyernek.

– Azon a tíz napon számodra megszűnhetett a világ.

– A többiek számára is. Ezért a rendezők igyekeznek szünethez igazítani a Schweitzer-versenyt, amikor nincsenek előadások az egyetemen. A tíz nap végére iszonyúan elfárad az ember. Nehéz egyhuzamban ennyi ideig intenzíven gondolkozni, ezért a nagy stresszt oldandó ilyenkor is eljártam focizni.

– Nyilván van több olyan feladat, amikhez az elején hozzá se tudsz szólni, hiszen nem hallgattál még előadásokat az egyetemen erről a területről. Akkor kézbe veszel egy monográfiát, esetleg többet, és két nap alatt igyekszel elsajátítani egy kurzusnyi tudásanyagot?

– Körülbelül így van. Kikeresed a róla szóló könyvet és elkezded olvasni. Igazság szerint így könnyebb matematikát tanulni; amikor az ember a problémához keresi a megoldásához szükséges tudásanyagot, eszközrendszert. Ha csak úgy elolvasunk egy könyvet, nehéz megítélni egy-egy tétel jelentőségét. A fontos tétel sokszor elvész a kevésbé lényeges mellett. Amikor egy konkrét feladat vezeti a tekinteted, a gondolkodásod, könnyebb megérteni a lényeget, hamarabb rálelsz az alaptételekre. Emlékszem, volt egy Schweitzer-feladat, mely a komplex számok hatványösszegeiről szólt. Bementem a könyvtárba, megkerestem azt a könyvet, melyet Turán Pál a hatványösszeg módszeréről és annak egyes alkalmazásairól írt. Nekiültem, olvasni kezdtem, végül megoldottam a problémát. A Schweitzer-versenyek nagyon nemesek, hangulatuk semmi máshoz nem hasonlítható.

– Azt mondják, a Schweitzer-versenyen elért jó eredmény megalapozhatja a matematikus jövőjét.

– A jó versenyeredmények még nem jelentik azt, hogy biztosan jó matematikus leszel. Persze, van rá példa, de ellenpélda is.

– Ma is különös figyelmet fordítasz a Schweitzer-versenyekre. Mondják, évről évre négy-öt feladatot adsz kitűzésre a versenybizottságnak. Miért olyan fontos ez neked?

– A feladatszámban van némi túlzás. Amikor mi rendezzük a versenyt, akkor van négy-öt javaslatom. A matematikaversenyek nagyon fontosak. Matematikaoktatásunk színvonalát emelik, tehetségeink kiválasztását segítik. Döntő szerepe van ebben a világon egyedülálló Középiskolai Matematikai és Fizikai Lapoknak és nagy hagyományú matematika versenyeinknek. Az oroszokat kivéve sehol másutt nem fordítanak ekkora figyelmet a versenyekre.

– Szakmai életrajzodban olvasni, hogy fő kutatási területed az analízis, ezen belül a harmonikus analízis, az approximációelmélet, az ortogonális sorok elmélete és a potenciálelmélet. Szegeden ugyanakkor a halmazelmélet és matematikai logika tanszék vezetője vagy. Pályaelhagyás ez, vagy kényszerűség?

– A status quo elfogadása. A Bolyai Intézet öt tanszéket foglal magába, a geometriát, az algebrát, az analízist, az analízis alkalmazásait, ami a valószínűség-számításnak felel meg, és a halmazelméletet. A halmazelmélet tanszéket Fodor Gézának hozták létre. Fodor halála után a halmazelmélet és a logika gazdátlan maradt Szegeden. Hajlandó voltam e tárgyakat tanítani, így lettem a tanszék vezetője. Magyarország egyetlen ilyen tanszékének. Ez azért poén! Hiszen vannak egészen kiváló, rendkívüli matematikusaink, akiknek a halmazelmélet a fő kutatási területük. Elég csak Hajnal Andrást, Juhász Istvánt és Komjáth Pétert említenem.

– Hajnal András már jó ideje Amerikában dolgozik, Komjáth Péter pedig az Eötvös Loránd Tudományegyetem számítógép-tudományi tanszékének vezetője. Amit Lovász Lászlótól örökölt...

– Így van. Nézd, az egyetemi struktúra tanszékekre épül, azok felelnek egy-egy tudományterület oktatásáért. Ezeknek tehát formálisan a mi intézetünkön belül is meg kell lenniük. Sohasem kedveltem a mereven értelmezett, falakkal körülbástyázott tanszéki szerkezetet. Nálunk ez nincs is így. Mi bizony többszörösen „áttanítunk” egymás területeire. A halmazelmélet különösen jó terep ehhez, mivel a matematika szinte minden részével összekapcsolódik: analízissel, kombinatorikával, geometriával és sereg más területtel.

– A szegedi Polygon kiadónál megjelent halmazelméleti feladatgyűjteményed is ezt példázza.

– Nagyon szeretem a halmazelméleti feladatokat, ezért az előadásaimhoz kapcsolódó gyakorlatokat is mindig én tartom. Komjáth Péterrel most írunk egy angol nyelvű halmazelméleti feladatgyűjteményt.

– Mindez azt mutatja, hogy nem veszítetted el az érdeklődésedet a matematika szűkebb szakterületeden kívül eső ágai iránt sem. Mondják is rólad, hogy azon kevesek egyike vagy, akiket a matematika egésze izgat. Látókörömben rajtad kívül még Laczkovich Miklós ilyen.

– Odafigyelek persze más területekre, így is csak a nagy egész töredékét láthatom. Képtelenség annyi mindent elolvasni. A halmazelmélet legújabb eredményeit például Komjáth Pétertől gyűjtöm be, ő mondja el nekem.

– Péter pedig többek között Saharon Shelahtól, tehát jól ismerheted a mindenkori halmazelméleti toplistát. Ami szintúgy nagyon érdekel.

– Igen, mert mindegy, hogy honnan jön a probléma, ha az érdekes. Laczkovich is nagyon szereti a feladatok által teremtett kihívásokat. Hagyománya van problémamegoldó szakköreinek.

– Akadémiánk rendes tagjának többek között e mondatokkal ajánlottak. „Az 1993 óta eltelt időszakban elért számos eredményéből az alábbi nagyobb témakörök emelendők ki, amelyekben sikerült új irányokat nyitnia, illetve új módszerrel áttörést elérnie megoldatlan problémákkal kapcsolatban: a Bernstein-polinomokkal történő approximáció teljes leírása, polinomegyenlőtlenségek duplázó súlyokkal, változó súllyal vett polinom approximáció, polinomegyenlőtlenségek általános halmazokon. Fellebbentenéd valamelyikről a fátylat, ami – előlem legalábbis – eltakarja a kérdéskört?

– Elsőként a Bernstein-polinomokat említetted. Beszéljünk erről. Weierstrass annak idején igazolta, hogy adott véges intervallumon folytonos függvény approximálható, vagyis tetszőlegesen megközelíthető polinomokkal. Tehát akárhogyan is adunk meg a függvény görbéje körül egy sávot, mindig találhatunk olyan polinomot, amelynek a görbéje ebben a sávban halad. Ez az approximáció alaptétele, de a fenti polinomoknak csak létezését állítja, azt nem mondja meg, hogyan lehet őket megtalálni. Bernstein ezután 1912-ben fölírta a róla elnevezett polinomokat. Legyen f egy folytonos függvény a [0,1] intervallumon, és n egy természetes szám. Akkor az f függvény n-edik Bernstein-polinomja a következő:

B_n(f,x) = Sf(k/n)(ⁿ_k)x^k(1–x)^n–k.

Megmutatta, hogy ez a polinomsorozat konvergál a függvényhez. Ezen túl nagyon hasznos az alakmegőrzési tulajdonsága. Ha a függvény konvex, akkor a Bernstein-polinoma is konvex lesz. D. J. Newman szokta mondani, hogy amikor például egy autótetőt tervezünk, az azt leíró függvény nagyon bonyolult lehet. A függvényt közelítő approximációs polinom pedig rendkívül sokat oszcillálhat körülötte, a tervezőmérnök számára kezelhetetlen módon. Szükség van tehát olyan approximációra, mely megtartja az alakot is, a Bernstein-polinomok pedig rendelkeznek ezzel a tulajdonsággal. Így azután a matematika számos területén rendkívül fontosak, a valószínűség-számításban, a geometriában, a számítógépekben is gyakran használt Bezier-görbék például ezekre épülnek stb.

Adott a kérdés: mennyire közel lesz a függvényhez az n-edik Bernstein-polinomja? Az approximáció feladata, hogy a függvény tulajdonságaiból leírja, mennyire közelítheti meg őt az adott polinom. A huszadik század eleje óta ennek elméletét elég jól kidolgozták. Minél simább egy függvény, hozzá annál közelebb kerülő approximációs polinomot találhatunk. A teljes leírás azonban 1993-ig váratott magára. Akkor sikerült azt megadni, hogy a Bernstein-polinom milyen rendben közelíti a függvényt. Ennek kifejezése a függvény egy újfajta simasági modulusával kapcsolatos.

– Ami pedig Totik Vilmos nevéhez fűződik.

– Igen. Z. Ditzian kanadai matematikussal már korábban írtam egy könyvet a simasági modulusokról. Ez a monográfia 1987-ben jelent meg a Springer Kiadónál, Moduli of Smoothness címmel. Az általunk adott simasági modulussal egész sereg problémát sikerült megoldanunk. A simaság azt jelenti, hogy a független változó kis mozgatására mennyire változik, amennyire oszcillál a függvény. A klasszikus módszer tökéletesen működik periodikus esetben, ahol nincs különbség pont és pont között, minden eltolásinvariáns. A véges intervallumoknál világos, hogy az intervallum középpontja és végpontja nem ugyanazt a szerepet játssza. Ilyenkor az eltolás kivezethet az intervallumból. A probléma megoldása az eltolás fogalmának módosításában rejlett: változtatni kellett az eltolás nagyságát attól függően, hogy milyen messze vagyunk a végponttól.

– Mikor és hogyan jött ez a gondolat?

– A Bernstein-polinommal való közelítésre korábban csak becsléseket, adtunk meg, alsó és felső becsléseket, melyekben bizonyos átlagok szerepeltek. Később Ditzian és Ivanov úgy javította, hogy csak két tagra volt szükségük. Éppen Amerikában voltam 1992-ben, amikor felhívott Ditzian. Azt sejti – mondta –, hogy nincs is szükség a második tagra, a közelítés nagyságrendje egyszerűen ezzel az egy taggal, a simasági modulussal azonos nagyságrendű. A kettő tehát ugyanaz, mindössze egy konstansban térhetnek el egymástól. Ez nem igaz, mondtam a telefonba, és azonnal diktálni kezdtem neki egy ellenpéldát. Az ellenpélda azonban nem működött. Karácsony előtti napok voltak, az ilyen feladatok nem hagyják nyugodni az embert. Jó három hónapig dolgoztam, amíg végre sikerült bebizonyítanom Ditzian sejtésének igazát. Ezzel a Bernstein-polinomokkal történő approximáció kérdésköre bizonyos értelemben lezárult.

– Milyen ötlet kellett a megoldáshoz?

– Érdekes, hogy egy teljesen elemi módszer adott hozzá kulcsot. Két szerb matematikus, Bajshanszki és Bojanics 1963-ban nagyon szép és szellemes bizonyítást adtak egy Lorentz-tételre. Parabolamódszerük olyan hatásos trükk volt, mellyel egyszerűvé és röviddé tették Lorentz bizonyításának bonyolult, kacskaringós útját. Rájöttem, nekem is ezt a parabolatechnikát kell használnom. Így jutottam célba elemi úton, megoldásom hátránya viszont az, hogy csak szuprémum normában működik, tehát például integrál normában, ami hasonló típusú operátoroknál egy másik kérdés, már nem. Azóta már találtak más módszert is, mellyel ugyanezt be lehet bizonyítani.

– Megvallom, kezdek leszakadni, ne menjünk ebben tovább. Amit elmondtál, számomra azt is bizonyítja, nem elég egy matematikusnak okosnak lennie, mások kisebb-nagyobb ötleteinek sorát is el kell raktároznia agyában. Az „isteni szikra” kipattanását ez nagyban elősegítheti.

– Nagyon sok okos ember járt előttünk, nem kell mindent nekünk kitalálnunk. Ezért haragszom egyik tehetséges tanítványomra, aki keveset olvas, és mindent maga akar kitalálni. Meglehet, ha ezer évig élnénk, rálelnénk sok olyan eredményre, amelyek már a matematikai tudásunk, kultúránk részeivé váltak. De még száz évig sem élünk, és az sem valószínű, hogy olyan okosak vagyunk, mint nagy matematikus elődeink voltak.

– Erdős Pali bácsi gyakran így búcsúzott matematikus barátaitól: örökké éljenek tételeid! Melyik munkádnak van erre esélye?

– Olyan nagy problémákat, melyek a matematikai intelligencia kitörölhetetlen részét képeznék, nem oldottam meg. Az isteni bizonyítások Erdős-féle Nagy Könyvébe legtöbbünknek esélye sincs bejutni.

– Túl szerény vagy.

– Nem, nincs igazad. Nézz rá az American Mathematical Society honlapjára és meglátod, mennyien vagyunk, közülük számosan kiemelkedő képességű matematikusok. Vagy tekintsd meg a Mathematical Reviews egy évfolyamát. Tömérdek publikáció, komoly és szép eredmények sokasága lát napvilágot évről évre. Korlátos időben, behatárolt területen dolgozunk, csak néhányan alkothatnak örökké emlékezeteset.

– A Bernstein-polinommal kapcsolatos eredményed azért nyomot hagyó, igazi „férfimunka” volt.

– Ezt talán a saját hatókörében elmondhatjuk, hiszen lezárt egy megoldatlan kérdést, egy régóta nyitott területet.

– Kutatóként mi az erősséged?

– Remélem, nem hangzik szerénytelenségnek, amikor azt mondom, hogy az elméletalkotásban vagyok jó. Amikor a probléma megoldásához kiépítek egy addig nem használt utat.

– Gondolom, ezt példázza a Springer Kiadónál 1997-ben megjelent Logaritmic Potentials with External Fields című monográfiád, melyet E. B. Saff amerikai matematikussal közösen írtál.

– Igen, munkánk a kiadó Grundlehren der Mathematischen Wissenschaften című híres régi sorozatában jelent meg. Tulajdonképpen egy potenciálelméleti könyv. Az alapkérdést a fizika szolgáltatja: a vezető töltésének egyensúlyeloszlását miként befolyásolja mondjuk egy külső mágneses erőtér. A fizikai modell matematikai leírása analízisbeli problémákhoz vezet. Kiderült, hogy e kérdéskörre szép elmélet építhető. Tíz évünk ment rá, de megérte.

– Ugrásszerűen nőhetett a hivatkozásaitok száma.

– Az igazán jó érzés persze az, amikor látjuk, mennyien használják eredményeinket. A Courant Intézetben P. Deift és csoportja kapcsolatot talált az ortogonális polinomok és a Riemann–Hilbert-probléma között. Deift később elmondta, sokáig sötétben tapogatóztak, monográfiánk mutatta meg nekik a helyes irányt. Olyan volt, mint amikor egy sötét szobában felkapcsolják a villanyt. Az ortogonális polinomokra egyszerűen alkalmazható módszerükkel ezután egy csomó problémát „lelőttek”.

– Fontos neked, hogy egy megoldás szép legyen?

– Természetesen, az esztétikának nagyon fontos szerepe van a matematikában. Nem jó matematika az, ami nem szép. Az izzadságszag legtöbbször azt is jelzi, hogy rossz úton járunk.

– Mitől szép a matematika?

– Attól, hogy csodálatos belső harmóniája van. Végtére is a matematika egy játék, pontosan definiált szabályokkal. Ezek betartásával kell eljutnunk egyik pontból a másikba: feltevésektől az állításig. Én pedig mindenféle játékot szeretek, ilyen a természetem.

– Az approximációelmélet mintha rejtegetné ezt a szépséges királylányarcát.

– Azért ott is felfedezheted a szépséget, ami egy elegáns kombinatorikus bizonyításban vagy egy elmés geometriai feladatnál esetleg jobban megmutatja magát.

– Több, mint tíz éve már professzori állásod van Amerikában a Dél-Florida Egyetemen. Az év egyik felét ott töltöd, a másikat Szegeden. Matematikus szemmel jobb vagy rosszabb az amerikai oktatási rendszer a miénknél?

– Amerika nagyon nagy ország. Ott működnek a legjobb egyetemek, de nagyon gyengék is. A University of South Florida viszonylag új egyetem, nem egészen négy évtizedes múltra tekint vissza. A közép-floridai régió és maga az egyetem is hihetetlenül dinamikusan fejlődik.

Amikor a szovjetek az első szputnyikot fellőtték, az amerikaiak nagyon megijedtek, hogy lépéshátrányba kerülnek. Rengeteg pénzt fordítottak az oktatásra. Ebben a korszakban került az amerikai egyetemek matematikai tanszékére sok olyan ember, aki nem igazán oda való. Az oktatást ugyan ellátták, de a szakmát nem művelték, a matematika nem érdekelte őket. Ugyanakkor Amerikában évről évre sok tehetséges matematikus végez, szerez doktori fokozatot, PhD-t. Ők évekig nem tudnak elhelyezkedni a szputnyikkorszakból itt maradt emberek miatt. Néhány éve ez a trend megváltozni látszik. Részben emiatt is, a kinti egyetemem matematikai intézete nem kiemelkedő, ugyanakkor approximációelméletben az egyik legerősebb centrum a világon. Természetesen nem hasonlíthatjuk magunkat a nagy egyetemek, a Yale vagy a Cornell matematikai tanszékeihez. Ott jobbak a hallgatók és a PhD-s diákok is, mint nálunk. Különben a doktori ösztöndíjasok elenyésző része amerikai. Matematikából a legtöbbjük Kínából származik, egy részük kelet-európai, bolgár, cseh, lengyel, magyar és oroszok is vannak.

Sajnos Magyarországon kezdjük átvenni az amerikai oktatási rendszert. Megszüntettük a lépcsőfokokat, az egyetemi doktori, a kandidátusi és a nagydoktori fokozatot. Kár volt. Azt kérdezted, van-e különbség a mi oktatási rendszerünk és az amerikai között. Nagy különbség van. A mi matematikaoktatásunk sokkal jobb az övéknél. A hallgatóink sajnos már meglehetősen gyengék. Kevés, egyre kevesebb az érdeklődő diák. Esik a színvonal az egyetemeinken.

– Az egyetemi tanárok megbecsülése közti párhuzam milyen?

– Az amerikai professzorok jövedelmüket tekintve a társadalom felső tíz százalékába tartoznak. Nem tudom, Magyarországon hány százalékában vagyunk benne, az utóbbi időben a Széchenyi-ösztöndíjjal kissé javult a helyzetünk, most pedig éppen visszaléptünk. Viszont a presztízsünk idehaza nagyobb. Nálunk egy egyetemi professzor az professzor úr! Ha például a gazdasági hivatalunkkal van dolgunk, ott tudják, hogy egy egyetemi tanárral beszélnek. Amerikában nincs ilyen tekintélyed. Ott csak egy kis fogaskerék vagy a gépezetben. Az a valaki, aki hozza a pénzt, vagyis az adminisztrációs vonal. Félek, ezt a szemléletet is szép lassan átvesszük tőlük. S akkor megszűnik az az évszázados európai egyetemi modell, miszerint egy egyetemet a professzorai tesznek egyetemmé.

– Bár vannak idehaza tiszteletre méltó próbálkozások neves kutatóink, professzoraink idehaza tartására, a kinti tíz-húszszoros fizetések elszívó erejéhez ezek kevesek.

– A szorzószámod kicsit magas, de amit mondasz, az lényegében igaz. Az anyagiak fontosak, bár egy idő után az embert nem azok mozgatják. A legnagyobb kihívás előtt tehetséges fiataljaink állnak. A legjobbjainkat tárt karokkal várják a neves amerikai egyetemek, könnyen kijuthatnak doktori képzésre. Megszerzik a PhD-t, a doktori címet, s ha kinn maradnak, kezdő fizetésük évi negyven-negyvenötezer dollár lesz. S ha megnézik, mi van ezzel szemben idehaza...

– Akkor nem nehéz dönteniük. Dilemmát az okozhat, ha gyermekeik vannak.

– Érdekes, amit mondasz. A gyerek nagy visszahúzó erő. Saját gyermekeimen látom, hogy diákként élni, felnőni sokkal jobb Magyarországon, mint Amerikában. Sokkal felszabadultabban érzik magukat idehaza, tartalmasabb, színesebb programjaik vannak.

– A fiatal kutatót még visszatarthatná a pezsgő hazai matematikai közélet.

– Ami sajnos megszűnőben van.

– Miért?

– Több minden miatt. A hatvanas, hetvenes évek nagy matematikusai meghaltak, a maiak közül többen külföldön dolgoznak... De megváltozott a világunk is, eltolódtak az emberi értékek súlypontjai. Halódik magyar nyelvű szakmai folyóiratunk, a hajdan híres Matematikai Lapok, a legjobbak Schweitzer-versenyén is egyre kevesebben méretik meg magukat. Egyetemeinkre hármas-négyes szaktárgyi jegyekkel kerülnek be a hallgatók, képtelenség megtartani az oktatás egykori színvonalát. Ezzel együtt a tanárpályákra egyre kevesebben jelentkeznek. Ki jön el ma tanárnak? Mi lesz 20-30 év múlva, ha kifogynak a jó középiskolai tanáraink? A tanári pályának egykor presztízse volt, a hallgatókat világhírű matematikusok tanították egyetemeinken. Ma az egész oktatási rendszerünk a feje tetejére állt. Mindenféle programokat támogatnak, újabb és újabb szakok indítását pénzelik. Lassan oda jutunk, hogy nekünk már csak felcserképzésünk nem lesz, minden más megtalálható a képzési rendszerben. Ugyanabból a pénzből egyre többen igyekeznek markolni maguknak. A társadalom számára alapfontosságú tanárszakjaink pedig szép lassan kiürülnek. Nem tudom, miféle piac szabályozza majd például a matematika–fizika szakos tanáraink elfogyását.

– Úgy látom, él benned a matematika iránti szenvedély.

– Az biztos!

– Szenvedély nélkül nincs alkotás, de szenvedélyben nem lehet sokáig élni – mondta Márai Sándor. Szerinted a matematika szenvedélye meddig tarthat ki az emberben?

– Idővel változik a szenvedély, ez igaz. Emlékszem, amikor középiskolásként beleszerettem a matematikába, annak tüze egész nap lázban tartott. Problémákon gondolkoztam, amikor utaztam a buszon, de gyakran még udvarlás közben is. A női lélek ezt azonnal megérzi. – Te most töröd valamin a fejed – állapította meg Veronika. Akkoriban, ha késő éjjel jött egy ötlet, találtam valamit, az ébren tartott. Ma már van erő, hogy megálljak. Tapasztaltam, fáradtan nagyobb a hibázás lehetősége. Majd másnap reggel ellenőrzöm. Aludjunk rá egyet!

Vilmos és Veronika között Orsi és Zoli (Svájc, 1992 nyarán)

– A matematikán kívül mik a kedvedre való foglalatosságok?

– A sport ma is hozzátartozik életemhez. Futballozni sajnos már nem nagyon merek, nem bírja a térdem, de rendszeresen teniszezem, pingpongozok, túrázom…

– Vámos Miklós, aki szintúgy imádja a teniszt, könyvet is írt róla, említette Lehetetlen? műsorában, hogy ez a játék a gonoszság kiélésének legfőbb terepe. Az ember minden ravasz trükköt bevet, csak hogy átverje ellenfelét, miközben élvezi, hogy a másik szenved, amint kétségbeesve rohan az alattomosan a háló mögé ejtett labda után. Kedves Vilmos, pedig te olyan jámbor embernek nézel ki!

– Na, én nem ezt látom a teniszben. A tenisz sokkal inkább önkritikára nevel. Egyik sportpályán sem hallasz annyi önkritikus megnyilatkozást, mint a teniszben. Egy-egy elrontott labdamenet után soha sem az ellenfelünket szidjuk, hanem magunkat kárhoztatjuk.

– Megcsodáltam gyönyörű kertedet. Itt minden négyzetméter a gazda szeretetéről, gondos kezek munkájáról árulkodik.

– Jól látod, a kert sokat jelent nekem. Amikor ásom, túrom a földet, gondozom fáimat, szőlőtőkéimet, még a matematikáról is megfeledkezem. Ez a munka teljesen kikapcsol. A kert különben rendkívüli sikerélmény forrása. Amikor elültetsz valamit, majd gondozod, figyelemmel kíséred, hogyan lesz belőle fél év múlva paprika, borsó, sárgarépa, gyümölcs, ez semmihez sem hasonlíthatóan jó érzés. A tanítás sem ad ilyent. Elmondasz egy szép tételt, egy ügyes bizonyítást, rámutatsz a módszer alkalmazásának lehetőségeire, de nemigen tudhatod meg, hogy az elvetett maggal mi lesz. Az oktatásban elért eredmények áttételeken, gyakran csak évek múltán mutatkoznak meg.

– A sporton, a kertészkedésen kívül…

– … még horgászni szeretek.

– Azt hol szoktál?

– Leginkább Szarvas mellett, a Körösökben. Régebben Ásványrárónál is, sajnos mára ott a Duna tönkrement.

– Pedig az a vidék kedvezett a halaknak.

– A Duna elterelése óta pusztulóban van a Szigetköz vízivilága, eltűnnek mocsári búvóhelyei, ahol eddig víz volt, ott a meder alját látni. A Szigetköz ökológiailag halottá válik, a politika áldozata lett. Mára mindenki leírta, a hajdani nagy zászlóvivők, a korábban hangos természetvédők is. Ez engem mélyen elszomorít.

– Nem akarom, hogy így érjen véget beszélgetésünk. Úgyis mindig van, amit elfelejtek megkérdezni. Tehát folytatom. Visszatérve a szakmádhoz, az analitikus gondolkodásmódnak mi a jellegzetessége?

– Nehéz ezt pontosan megfogalmazni. Az analízis szerteágazó tudományterület, számos helyen alkalmazzák, Newton óta folytonos sikertörténet. Hatékonyságát erős eszközrendszere adja, az elmélet itt egy nagy masinéria, amit az ember rázúdíthat a problémákra. A diszkrét matematikához, a kombinatorikához valószínűleg másfajta szemlélet kell. Ott az ügyes ötletek, a briliáns meglátások dominálnak. Az analízisben inkább a módszer uralkodik, amivel sok irányból közelítheted, össztűz alá veheted a problémát.

– Érdekes világ a matematika. Mondod, az analízis sikertörténet. S akkor készül egy ketyere, amit számítógépnek neveznek és íródni kezd egy újabb sikertörténet.

– Sokkal gyorsabban és nagyobb sikerekkel. Látod, ezért is volt félelmetesen nagy elme Neumann János. Ő már a negyvenes években meglátta, hogy pusztán a számolásból mennyi minden kijön. Ma, ha megnyitunk egy ablakot a Windowsban, a képernyőn megjelenítünk egy grafikát, az internetre kapcsolódunk, e mögött millió számolási művelet, vagyis matematika van. A legcsúnyább matematika, ami létezik, de a gép iszonyú gyorsasága mégis hatékonnyá teszi. Amire talán Neumann sem gondolt, hogy a komputerek a nyomtatás és a kommunikáció legnagyobb forradalmát is magukkal hozzák és ez valóban csak Gutenberghez mérhető forradalom. A számítógépeket nagy részben ma arra használják, amire te is, a szövegszerkesztésre és információ továbbítására.

– Mi annyi érdekes új fejleményt, annyi változást megéltünk…

– Mondd ki nyugodtan: ebben szerencsések vagyunk!