Neumann János

Bolyai János 1802-ben Kolozsváron született, és elsőként tartjuk számon a legnagyobb magyar matematikusok között. Nemeuklideszi, hiperbolikus geometriája – melyet egyidejűleg tőle függetlenül az orosz Lobacsevszkij is felfedezett – manapság mindenki előtt ismert kell legyen, aki matematikával foglalkozik. A Bolyai-Lobacsevszkij-féle geometria ma is alapvető modell és eszköz a fizikában, illetve a mérnöki tudományokban. Azonban Bolyai János, mint az első, világviszonylatban is kiemelkedő magyar tudós, magyarországi kortársai előtt teljesen ismeretlen volt, sőt sosem rendelkezett matematikusi állással. A XIX. század elején – néhány nagyon ritka kivételtől eltekintve, mint például Bolyai János apja – még a legjobb magyar matematikusok sem voltak tisztában saját tudományuk világviszonylatban aktuális kérdéseivel. Bizonyos értelemben Magyarország fehér foltként szerepelt Európa – vagyis az akkori világ – matematikájának palettáján.

Egy évszázaddal később Budapesten, 1903. december 28-án született Neumann János, aki szüleitől bizonyosan rendkívüli géneket örökölt. Családja a város, sőt az ország elitjéhez tartozott, és mindkét ág meglehetős jómódban élte intellektuálisan, érzelmileg és szociális szempontból is teljes életét. Mindezen körülményeken túl Magyarország is drámaian megváltozott a Bolyai születése óta eltelt 101 évben. Bolyai 1832-es felfedezését apján kívül senki sem értette meg az országban. Ezzel szemben Neumann János kivételes adottságai már nagyon korán kibontakoztak, és a legjobb matematikusok sora viselte gondját – nehéz lett volna ennél jobb környezetet elképzelni e csodálatos tehetség számára.
 

Neumann János matematikája

Neumann Jánosról természetesen rengeteget írtak, és természetesen rengeteget tudunk. Jelen írásom célja, hogy nyomon kövesse és áttekintse Neumann János tudományos érdeklődési körének, illetve matematikai munkásságának főbb állomásait. Már csak terjedelmi okokból sem vállalkozhatunk azonban arra, hogy eredményeinek e cikk keretén belüli bemutatása és a neumanni gondolatok messze ható következményeinek feltárása teljességre törekvő legyen. Mindössze azt követjük nyomon, hogy milyen kihívásokkal kellett Neumann Jánosnak szembenéznie, illetve karrierje során hogyan változtak és bővültek matematikai motivációi. Hangsúlyozom azonban, hogy az alábbi válogatás egyéni, és saját ismereteimet, véleményemet tükrözi.

A Neumann Jánosról festendő kép – Neumann széles és változatos érdeklődési köre ellenére – nem olyan bonyolult, mint ahogyan előszörre ígérkezik. Ez a megállapítás kifejezetten igaz a háború előtti időkre. Általában egyszerre egy fő dologra összpontosított, más problémákon csak mellékesen dolgozott. Ez persze semmi esetre sem jelenti azt, hogy a többi eredménye ne lenne éppoly fontos; pusztán azt állítom, hogy még a zseniális elmék is alá vannak vetve a természet törvényeinek: egy szélesebb problémakörben (és nem csak egy konkrét kérdésben, vö. Poincaré jól ismert gondolataival) ismételt áttöréseket csak úgy lehet elérni, ha az ember hosszú ideig teljes mértékben és kitartóan az adott problémákra koncentrál. Némileg túlegyszerűsítve, az általa teljes (illetve esetleg kevésbé kitartó) koncentrációval megoldható problémák nehézsége mutatja géniuszát.

Axiomatikus halmazelmélet

Az imént már elhangzott, hogy Neumann János pályája gyakorlatilag optimálisan indult. A kitűnő matematikai háttér mellett a tudóssá és kutatóvá éréshez is megfelelő támogatást kapott Budapesten. A Fekete Mihállyal írott, első dolgozatától eltekintve első fő érdeklődési köre a halmazelmélet axiomatizálása volt. Erre a témára – minden valószínűség szerint – valamelyik budapesti tanára hívta fel figyelmét. (Kőnig Gyula, a gráfelmélész Kőnig Dénes apja, aki maga is a halmazelméleten, különösképpen a kontinuumhipotézisen dolgozott, Neumann középiskolába lépése előtt egy évvel, 1913-ban meghalt. A budapesti matematikusok azonban nyilván ismerték ezeket a kérdéseket és az elért eredményeket; sőt Kürschák József, Neumann egyik mentora, egyben Kőnig Gyula kollégája is volt a Műegyetemen.) Neumann egyik életrajzírója így fogalmaz: "Neumann második cikke (a transzfinit rendszámokról) 1921-ben készült el, amikor János még középiskolás volt, de az eredményt 1923-ig nem publikálta" [M]. Halmazelméleti és logikai témájú dolgozatait 1923-ban (1), 25-ben (1), 27-ben (1), 28-ban (2), 29-ben (1) és 1931-ben (2) közölte. (Ízelítőül zárójelben szerepel, hogy az adott évben, az említett témakörben, hány munkája jelent meg; természetesen a kategóriák nem mindig egyértelműek.) Ismert tény, hogy amikor 1931-ben a Gödel-féle eldönthetetlenségi tételről olvasott, egyszer s mindenkorra felhagyott a témával. Ebben részben közrejátszott 1926-os göttingeni ösztöndíja is: figyelme ekkortól a kvantummechanika matematikai megalapozása, különösen a funkcionálanalízis felé fordult.

A kvantumfizika matematikai megalapozása

Hilbert bizonyára elég korán értesült a magyar csodagyerekről, és nagyon tisztelte Neumann-nak a halmazelmélet és a Hilbert-féle bizonyításelmélet terén elért eredményeit. Ám a húszas évek közepén, különösen Göttingenben, Hilbert érdeklődésének középpontjában is az akkoriban még kiforratlan, homályos és sokat vitatott kvantummechanika állt. (Nem szabad elfelejtenünk, hogy talán Göttingen volt a kvantummechanika egyik fő központja, ahol a Nobel-díjas J. Franck 1920 és 1933 között professzorként működött, de W. Heisenberg és W. Pauli is eltöltött néhány évet.) 1927-ben jelent meg Neumann Hilberttel és L. Nordheimmel közösen írt hosszú és fontos cikke ([HNvN27]) a kvantummechanika megalapozásáról. Ebben többek között megfogalmazták azt a programot, melyet később Neumann 1932-es könyvében ([vN32b]) valósított meg. Neumann további dolgozatai a kvantummechanikáról és a funkcionálanalízisről 1927-ben (4), 28-ban (5), 29-ben (6), 31-ben (2), 32-ben (2), 34-ben (2), 35-ben (3) és 1936-ban (1) jelentek meg. Hozzáteszem, hogy a fizikusok főleg a rejtett változókról (pontosabban, ezek nem létezésének bizonyításáról), a kvantumlogikáról, valamint a mérési folyamatról szóló elméleteit méltányolják (vö. [BV], Geszti Tamás cikke).

Kitérő: egy matematikus ihlete és motivációi 

Neumann - igazi matematikusként - szintén tudatában volt a matematika és a matematikus alapvető motivációinak. A fent már idézett, 1947-es gondolatának átfogalmazásaként így folytatja: "Azt hiszem, viszonylag közel áll az igazsághoz, hogy a matematikai ötletek a tapasztalatból erednek, noha származtatásuk gyakran hosszadalmas és rejtett. De amint ezeket a gondolatokat ily módon formába öntöttük, a téma önálló életre kel, és egy kreatív, csaknem egészében esztétikai motivációk által vezérelt folyamathoz válik hasonlíthatóvá, mely semmi máshoz nem fogható - különösen egy tapasztalati tudományhoz nem." Ezen a ponton nem állhatom meg, hogy ne idézzem Neumann kedvenc kritériumát az eleganciáról: "Egy matematikai tételtől vagy elmélettől nem csak azt várjuk el, hogy egyszerű és könnyed módon írjon le és osztályozzon számos a priori speciális esetet. Az eleganciának az elmélet szerkezeti és strukturális alakjában is meg kell mutatkoznia. Az elegancia jellemzője, hogy könnyű megfogalmazni a problémát, nagyon nehéz azonban jól megfogni és megközelíteni, ám egy váratlan csavarral a megközelítés mégis leegyszerűsíthető. Ha a levezetések hosszadalmasak és komplikáltak, akkor valami általános, egyszerű elvnek kell a háttérben állnia, ami megmagyarázza a nehézségeket és kitérőket, valamint a látszólagos önkényességet néhány egyszerű irányelvre csökkenti le."  

Neumann-algebrák

Neumann kezei között az operátorok elmélete 1929-től sajátos, önálló életet kezdett élni. Egyik 1929-es, hosszú dolgozatának ([vN29]) első felében kezdte meg az operátorok algebrájáról szóló munkáját, amellyel a matematikában teljesen új fejezetet nyitott és amely számos későbbi dolgozatában folytatódott: 1936 (3), 37 (1), 40 (1), 43 (2); ezek között megtalálhatjuk az F. J. Murray-vel közösen írt, klasszikus, négyrészes munkáját is. A témát valószínűleg nem külső (például a fizikából jövő) igény motiválta - legalábbis Neumann nem beszél ilyenről. A Neumann-algebrák megteremtése azt mutatja, hogy Neumann páratlan tudása, gondolkodásának sebessége és intuíciója hogyan vezette őt olyan felfedezésre, melynek igazi értéke csak három évtizeddel később vált nyilvánvalóvá. A Neumann-algebrák elmélete a 60-as években kezdett virágozni, elmélyülni, és azóta az elmélet matematikán belüli teljesen új kapcsolódási pontjait és alkalmazásait tárták fel. Legalább négy Fields-érmet is odaítéltek a Neumann-algebrákkal kapcsolatos, illetve a rájuk vonatkozó, gyökeresen új felfedezésekért: 1982-ben A. Connes, 1990-ben V. F. R. Jones és E. Witten, valamint 1998-ban M. Kontsevich kapta ezt az egyik legrangosabb matematikai kitüntetést.

Annak ellenére, hogy a Neumann-algebrák elméletében a Neumann utáni forradalmi fejlődés csak a 60-as években indult újra, Neumann tudatában volt az elmélet jelentőségének. 1954-ben az Amerikai Tudományos Akadémia (National Academy of Sciences) kérdőívén a legfontosabb tudományos eredmények rovatában az alábbiakat tüntette fel: 1. a kvantummechanika matematikai megalapozása, 2. az operátoralgebrák elmélete, 3. az ergodelméletben elért eredményei.

Ergodelmélet, játékelmélet és egyebek

Ergodelmélet. Neumann szintén tudott arról, hogy az ergodelmélet döntő szerepet játszik a statisztikus mechanika megalapozásában. Ő találta meg az első ergodtételt: 1931-ben az ún. L₂-ergodtételt bizonyította be (mely csak 1932-ben jelent meg [vN32a]), 1932-ben pedig George Birkhoff látta be az ún. individuális ergodtételt. Két okból is meglepő azonban, hogy Neumann felsorolásában az ergodelmélet is helyet kapott: noha Neumann számos későbbi írásának volt témája az ergodelmélet (1927 (1), 32 (3), 41 (1), 42 (1) és 45 (1)), számomra úgy tűnik, hogy ez nem tartozott kifejezetten Neumann érdeklődésének fő sodorvonalába; másrészt, amikor értesült Birkhoff eredményéről, "Neumann örömét és nem sértődését fejezte ki, bár haragudott magára, hogy saját gondolatmenetében nem bukkant rá azokra a lépésekre, ahonnan Birkhoffnak sikerült továbblépnie"[M].

Később igencsak sokat váratott magára az ergodicitás fogalmának a statisztikus mechanikában való alkalmazása - vagyis annak megmutatása, hogy az érdekes mechanikai rendszerek ergodikusak. Csak 1970-ben sikerült Sinainak [S] olyan igazi mechanikai rendszert mutatnia (két rugalmasan ütköző körlemez a kétdimenziós tóruszon), amelyről be tudta látni, hogy ergodikus, továbbá megfogalmazta azt a sejtést, hogy hasonló állítás igaz akárhány golyóra tetszőleges dimenzióban. (Ez utóbbi kérdés megválaszolásában csak nemrég, nevezetesen 2002-ben jutott lényegében végleges eredményre Simányi Nándor közös módszerünk² szellemes továbbfejlesztésével.)
 
 

Neumann János könyvei

Egyéb érdeklődési körök. Intelligenciájának, kultúrájának, gyorsaságának, motivációjának és kommunikációs készségének következtében Neumann érdeklődési köre a kezdetektől fogva roppant széles volt. Érintette az algebrát, a valós függvénytant, a mértékelméletet, a topológiát, a folytonos csoportokat, a hálóelméletet, a folytonos geometriát, a majdnem periodikus függvényeket, a csoportreprezentációkat, a kvantumlogikát stb. Gyanítom, hogy ezekkel bizonyos értelemben mind csak "mellékesen" foglalkozott. Hogy mégis illusztráljuk gondolatainak erejét, hadd említsem meg, hogy a majdnem periodikus függvényekről és csoportokról szóló 1934-35-ös írásaiért ([vN34] és [BvN35]) 1938-ban megkapta a tekintélyes Bôcher-díjat. Korábban szerette volna a csoportokhoz tartozó invariáns mértéket megkonstruálni - ez ténylegesen 1932-ben sikerült Haar Alfrédnak. Mindenesetre Neumann számos alkalommal visszatért ehhez a kérdéshez, és a konstrukció alapötletét szintén kihasználta az operátoralgebrák dimenziójának meghatározásában.

Játékelmélet és matematikai közgazdaságtan. Eddig még nem említettem két, hangsúlyt érdemlő melléktémát: a játékelméletet és a matematikai közgazdaságtant. Jól ismert, hogy 1928-ban Neumann két cikket is írt a játékelméletről (a kettő közül [vN28] a részletesebb), amelyek a minimax tétel megfogalmazását és bizonyítását tartalmazták. (Émile Borel 1921-ben ugyan javasolt egy modellt szimmetrikus, kétszereplős játékokra, de kétségei voltak a minimax tétel érvényességét illetően.) 1937-ben Neumann publikálta az általános közgazdasági egyensúlyra vonatkozó modelljét [vN37], amelyet ma Neumann-modell néven tartunk számon. E két fő forrásból táplálkozott az O. Morgensternnel közösen írt nagyszabású, alapvető monográfiája, A játékelmélet és gazdasági magatartás [vNM44], amely 1944-ben jelent meg. Neumann az 50-es évek folyamán számos további dolgozatot is publikált e témában (1950 (1), 53 (3), 54 (1), 56 (1), valamint két, befejezetlen, 1963-ban kiadott kézirat). Azóta a játékelmélet és a matematikai közgazdaságtan roppant sokat fejlődött. Abból a tényből kiindulva, hogy 1994-ben három közgazdaságtani Nobel-díjat is odaítéltek a játékelméletben elért eredményekért (Harsányi Jánosnak, John Nashnek és Reinhart Seltennek), talán nem túlzás azt állítani, hogy ha Neumann megélte volna e díj 1969-es alapítását, akkor bizonyára őt jelölték volna az elsők egyikeként közgazdaságtani Nobel-díjasnak.

Röviden összefoglalva tehát azt mondhatjuk, hogy a múlt század 20-as éveiben Neumann fő érdeklődési területét a halmazelmélet, később a kvantummechanika és az operátoralgebrák alkották. Ez utóbbiak kutatását pedig - régi, illetve új témákkal kiegészítve - a 30-as években is folytatta.
 
 

Költözés az Egyesült Államokba (1930-31)

Neumann 1930-31-ben az Egyesült Államokba költözött, ami látszólag nem hozott lényeges változást matematikájában, bár egy darabig nem került szembe a göttingenihez hasonló kihívásokkal. Ismert viszont, hogy nehezére esett megszokni az amerikai matematikustársadalom nagyobb mérvű publikáció-központúságát, amely az európai gyakorlattal szemben kevesebb kötetlen kommunikációt jelentett. Részben ezt ellensúlyozták a Neumann család princetoni otthonában rendszeresen megtartott híres összejövetelek, ahol élénk matematikai és intellektuális párbeszéd zajlott. Magánéletének eseményei befolyásolhatták munkáját. Válása, illetve második házassága környékén matematikai aktivitása az átlagosnál kisebb mértékű volt (1938-ban egy munkát közölt, 1939-ben pedig egyet sem), ám ez nem tekinthető lényegi kérdésnek. A háború közelsége, majd kezdete hozott drámai változást Neumann matematikai érdeklődésében, sőt talán stílusában is. A fasiszta Németországgal szemben érzett gyűlölete és a győzelem előmozdítása iránti elkötelezettsége Neumann gondolkodását lényegesen új kérdések felé terelte. Ezen új területek és problémák bármelyikének megoldása reményei szerint hozzájárult a nagy cél eléréséhez - ugyanakkor ezek a problémák új, sőt újfajta típusú kihívásokat jelentettek a kutatóknak.

A háború küszöbén: ballisztika és lökéshullámok

Mivel technológiai szempontból az első világháború utáni háborúról azt gondolták, hogy az előbbi folytatása lesz, a lövedékröppálya-táblázatok fejlesztését egy pillanatra sem szüneteltették. (Krámli Andrástól hallottam, hogy a második világháború idején Kolmogorov szintén hasonló munkában vett részt.) Oswald Veblen - aki 1932-ben a PrincetonInstitute forAdvanced Studies első professzora volt, és nagy szerepet játszott abban, hogy Neumann Princetonba került - 1917 és 1919 között Marylandben szintén vezetett lövedékröppályával kapcsolatos kutatásokat. (Többek között irányítása alatt dolgozott itt két kiváló matematikus, J. W. Alexander és H. C. M. Morse is.) Neumann különleges történelmi jártassága és tapasztalatai alapján már előre sejtette az európai háború kitörését, így 1937-ben elhatározta, hogy csatlakozik Veblenhez. A munkában való fokozatos elmélyülését nagyon szépen mutatja be például egyik életrajzírójának, Macrae-nek a könyve ([M]), így ennek ismétlésétől most eltekintek. A dolog matematikai lényege az, hogy mivel a magassággal a levegő sűrűsége fokozatosan csökken, a lövedékek pályáját leíró egyenletek nemlineárisakká válnak, s így általában nem oldhatók meg egzakt módon, sőt új típusú megoldások is felléphetnek. Neumann - elsősorban angliai tanulmányútja során - kapcsolatba került a mágneses aknák pályáinak kutatásával is. Első publikációi a lökéshullámokról 1941-ben jelentek meg (részletesebben l. [vN43]). Ahogyan megszoktuk, Neumann matematikája már ezekben az első munkákban is mély megértésről és széles áttekintésről adott számot, érdekes új eredményeket bizonyított be, valamint további kutatási irányokat készített elő. Neumann a 40-es, majd az 50-es években több hasonló munkát írt a detonációs hullámokról (1942 (1), 43 (3), 45 (2), 47 (1), 48 (1), 50 (1), 51 (1), 55 (1), melyekről szép összefoglalást ad [BV]).

Előadás közben

Meteorológia és hidrodinamika. Neumann egyik kedvenc érdeklődési területe a meteorológia volt. Azt várta, hogy a levegő-, illetve a folyadékok áramlási egyenleteinek és megoldásainak jobb megértésével, valamint a számítástechnika fejlődésével gyakorlatilag kielégítő időjárás-előrejelzések válnak lehetővé. Reményei azonban csak részben teljesültek. Bizonyára tudta, hogy a hidrodinamikai egyenletek megoldásai kaotikus természetűek lehetnek, de valószínűleg nem látta elég tisztán a káosz által okozott korlátokat. (Ne felejtsük el, hogy E. Lorentz forradalmi munkája ([Lor]) csak 1963-ban jelent meg, és még sokáig nem értették meg igazi jelentőségét.)

Mindenesetre a lövedékröppályák tanulmányozása, a mágneses bombák dinamikájának 1943-as angliai vizsgálata, a hidrodinamikai egyenleteken való munkája és később, 1943-tól a Manhattan-tervben való részvétele nyilvánvalóvá tette számára a számítások alapvető fontosságát és később a számítógépek fejlesztését. A variációs módszerek hidrodinamikai alkalmazásáról 1945 márciusában Veblennek írott jelentése ([vN45b]) ezzel a mondattal kezdődik: "A numerikus számítások nagyon fontos szerepet játszanak a hidrodinamikában."

Mindezzel azt szeretném érzékeltetni, hogy a gyakorlati problémák megoldásának szükségessége a háborús évek alatt új típusú kihívásokat jelentett Neumann számára, és egyben körülhatárolta fő érdeklődési területét a 40-es években. A hidrodinamikai egyenletek megoldásának tanulmányozása vezette Neumannt arra a következtetésre, hogy feltétlenül szükségessé válik a számítógépek gyors kifejlesztése.

Számítógépek: a Neumann-architektúra és a tudományos számítások

Amint ismeretes, 1944 augusztusában Neumann véletlenül futott össze az aberdeeni vasútállomáson Herman Goldstine-nal, aki Philadelphiában dolgozott az ENIAC kifejlesztésén. Neumann így rögtön képet kapott a dolgok aktuális állásáról, és hamarosan munkához látott, majd közzétette úttörő gondolatait ([vN45a] és [BGvN46]). Tehát a programot nemcsak elkötelezetten támogatta, hanem jelentősen közre is működött sikerében. Két legfontosabb eredménye a programozható számítógép - az ún. Neumann-számítógép - elvének kidolgozása, illetve ezen elvek gyakorlati megvalósítása a Princeton Institute-ban épülő IAS számítógépben. (Ez a történet széles körben ismert, l. pl. az [A] és [LSz] művekben.)

Ha például a hidrodinamika és a ballisztika problémáinak gyakorlati megoldása alapvetően szükségessé is tette a számítógépek megalkotását és alkalmazását, egyáltalán nem volt ennyire nyilvánvaló a számítógépek alkalmazásának lehetősége és fontossága a tudományos kutatásban. Neumann azonban ezt nagyon gyorsan felismerte, agya teljesen fel volt erre készülve, és jelentős energiát fordított e kérdésre. Érdemes Neumann idevágó munkáira pillantanunk. Az ember úgy érzi, hogy Neumann pontosan tudatában volt a számítógépek nyitotta lehetőségeknek, ugyanakkor élénk élvezettel és egyfajta gyermeki kíváncsisággal végzett kísérleteket a legkülönfélébb lehetséges alkalmazások területén.

Utószó

Felsorolásunkon áttekintve láthatjuk tehát, hogy a sors és nem egyszer saját döntései Neumann Jánost a legkülönfélébb rendkívüli tudományos kihívások elé állították. Neumann minden esetben eredeti és nagyszerű munkát végzett. Génjei, családja, neveltetése és képzése, a budapesti termékeny szellemi és kulturális atmoszféra és tanárainak, valamint a magyar matematikának akkori magas tudományos színvonala biztos alapot nyújtottak számára. Kitűnő elméje, intelligenciája, tudása, bizonyítóereje, fantasztikus gondolkodási sebessége, mélyreható és perspektivikus gondolatai, ízlése, szerteágazó tudományos és humán érdeklődési köre - vegyészmérnöki képzettségével kiegészülve - hozzájárultak páratlan bátorságához, nyitottságához és rugalmasságához. Matematikai tevékenysége szokatlanul széles spektrumot ölelt fel. Neumann a matematika legkiválóbb XX. századi művelői közé tartozott, aki hihetetlen befolyást gyakorolt a matematikára és más tudományokra is. Eredményei meggyőzően bizonyítják a matematikai megközelítés erejét, vagy ahogyan a fizikus Wigner Jenő mondta, "a matematika hihetetlen hatékonyságát". Kitűnő példaként szolgálnak arra, hogy milyen gyümölcsöző eredményekkel járhat, amikor megfelelő kultúrával rendelkező, tehetséges matematikusok szembesülnek a kor aktuális kihívásaival és központi kérdéseivel. Nem túlzás Neumann munkásságát és teljesítményét Arkhimédészéhez, Newtonéhoz, Euleréhez vagy Gausséhoz hasonlítanunk.

Neumannt matematikusi körökben nagyon sokan ismerték, és sok anekdota kering róla. Azt hiszem, diákként hallottam professzoromtól, Rényi Alfrédtól az alábbit: "Egy tipikus matematikus azt bizonyítja be, amire képes, Neumann viszont azt, amit akar." Eredményeinek mélysége, eredetisége és minősége határozottan alátámasztja ezt (bár tudjuk, nem örült, hogy nem ő fedezte fel Gödel nemteljességi tételét, a lokálisan kompakt csoportok invariáns mértékének Haar-féle konstrukcióját, vagy a Birkhoff-féle individuális ergodtétel bizonyítását).

Nemrégiben az MIT egyik matematikusa, Dan Stroock említette nekem az alábbi, legalábbis félig komoly véleményét: "A zseni vagy mindent jobban csinál, mint mások, vagy mindent teljesen másképp (ortogonálisan) tesz." Úgy gondolom, Neumannra igaz, hogy a többi matematikusnál általában jobban oldotta meg az előtte álló feladatokat. Mindazonáltal van egy jól ismert kép Neumannról, ami azt mutatja, hogy néha ő is az ortogonális módszerhez folyamodott (lásd a fényképet a 17. oldalon).

Hadd fejezzem be írásomat egy másik, jól ismert anekdotával. Egyszer megkérdezték Wignertől: Miért van az, hogy Magyarország a XX. század elején annyi zsenit adott a világnak? Wigner válasza ez volt: "Annyi zsenit? Nem értem a kérdést. Zseni csak egy volt: Neumann János." 

A szerző köszönetet mond Lóczi Lajosnak az eredetileg angolul megírt cikk gyors és gondos fordításáért.
 

Irodalom

[A] W. Aspray, John von Neumann and the Origins of Modern Computing, MIT Press, Cambridge, MA, 1990.
[AI] Fields Medallists’ Lectures, ed. by Sir M. Atiyah, D. Iagolnitzer, World Scientific, Singapore, 1997.
[BV] F. Bródy, T. Vámos (editors), The Neumann Compendium, World Scientific, Singapore, 1995.
[Lax] P. Lax, Remembering John von Neumann, Proc. ofSymposia in Pure Mathematics, 50:5-7, 1990.
[Lor] E. N. Lorentz, Deterministic Nonperiodic Flow, J. Atmos. Sci., 20:130-141, 1963.
[LSz] T. Legendy, T. Szentiványi, Leben und Werk von John von Neumann, Mannheim, 1983.
[M] N. Macrae, John von Neumann. The Scientific Genius, Pantheon Books, New York, 1992.
[S] Ya. G. Sinai, Dynamical Systems with Elastic Reflections, Russian Math. Surveys, 25:139-189, 1970.
[T] A. H. Taub, John von Neumann: Collected Works I-VI, Pergamon Press, Oxford, 1961-63.

Neumann János munkái

[vN23] John von Neumann, Zur Einführung der transfiniten Zahlen, Acta Sci. Math., Szeged, 1:199-208, 1923.
[HNvN27] D. Hilbert, L. Nordheim, J. von Neumann, Über die Grundlagen der Quantenmechanik, Math. Ann., 98:1-30, 1927.
[vN28] John von Neumann. Zur Theorie der Gesellschaftsspiele, Math. Ann., 100:295-320, 1928.
[vN29] John von Neumann, Zur Algebra der Funktionaloperatoren und Theorie der normalen Operatoren, Math. Ann., 102:370-427, 1929.
[vN32a] John von Neumann, Proof of the Quasi-Ergodic Hypothesis, Proc. Nat. Acad. Sci., 18:70-82, 1932.
[vN32b] John von Neumann, Mathematische Grundlagen der Quantenmechanik, Springer, Berlin, 1932.
[vN34] John von Neumann, Almost Periodic Functions in a Group, Trans. Amer. Math. Soc., 36:445-492, 1934.
[BvN35] S. Bochner, John von Neumann, Almost Periodic Functions in Groups, II, Trans. Amer. Math. Soc., 37:21-50, 1935.
[vN37] John von Neumann, Über ein ökonomisches Gleichungssystem und eine Verallgemeinerung des Browerschen Fixpunktsatzes, Erg. Eines Math. Coll., Vienna, ed. by K. Menger, 8:73-83, 1937.
[vN42] John von Neumann, Theory of Detonation Waves, Progress Report, 1942.
[vN43] John von Neumann, Theory of Shock Waves, Progress Report, 1943.
[vNM44] John von Neumann, O. Morgenstern, Theory of Games and Economic Behaviour, Princeton University Press, 1944.
[vN45a] John von Neumann, First Draft of a Report on EDVAC, pp. 48, 1945.
[vN45b] John von Neumann, Use of Variational Methods in Hydrodynamics, Memorandum to O. Veblen, March 26, 1945.
[BGvN46] A. W. Burks, H. H. Goldstine, John von Neumann, Preliminary Discussion of the Logical Design of an Eletronic Computing Instrument, Part I, 1946.
[BMvN46] V. Bargman, D. Montgomery, John von Neumann, Solution of Linear Systems of High Order, Report, 1946.
[vN47] John von Neumann. The Mathematician, The Works of the Mind, ed. by R. B. Heywood. University of Chicago Press, 180-196, 1947.

Forrás: Természet Világa