Csákány Béla: A második triumvirátus III.
A kutatás
Az előző rész itt olvasható.
A kutatás mindhármuk számára szenvedély, munka és élvezet volt. Azt a fajta örömet, amelyet a sikeres kutatómunka nyújt, mindenki átélheti, aki kedve szerint való munkával keresi a kenyerét, és tapasztalja, hogy embertársai nagyrabecsülik hozzáértéséért. Mégis kevesekből lesz tudós, mert az ókori bölcsesség ma is áll: a matematikához - és általában a tudományhoz - nem vezet királyi út. Ezért nem is próbálkozom azzal, hogy az algebrába meg a funkcionálanalízisbe az eddig mondottaknál alaposabb betekintést nyújtsak. Kalmár László matematikai munkásságáról azonban valamivel részletesebb kép vázolható fel, mint Rédei és Sz.-Nagy Béla életművéről. Kalmár matematikájának zöme ugyanis az informatika alapjaihoz tartozik. Márpedig az informatika nem a számtanból, hanem az imént említett logikából nőtt ki, s a logika elemei akarva-akaratlan már gyermekkorunkban ránkragadnak. Az informatika emblematikus munkaeszközével, a számítógéppel pedig ma azok is megtanulnak bánni, akik a matematikában nem kívánnak messzebb jutni a százalék- és kamatszámításnál. Előkészítésül ejtsünk néhány szót arról, hol tartott a logika 1930 táján.
Hilbert a századfordulón döntő lépést tett a matematika és a logika szintézise irányában azáltal, hogy Euklidesz több mint kétezer éves geometriai alapigazságait (axiómáit) és következtetéseit teljes matematikai szigorúsággal újrafogalmazta, és támadhatatlanná tette. Ettől kezdve megindult diadalútján az axiomatikus módszer. Ennek az a lényege, hogy a matematika vizsgálandó területének alapfogalmaira olyan axiómákat mondunk ki, amelyek igaz volta nem kérdőjelezhető meg, s minden további igazságot ezekből az axiómákból vezetünk le a formális logika szabályainak alkalmazásával. (A geometriának egyik ilyen axiómája pl. az, hogy bármely két különböző ponton egyetlen egyenes megy át, a számelméleté meg pl. az, hogy különböző egész számok után nem következhet ugyanaz az egész szám.) Formális logikán itt nem az arisztoteleszi logikát, hanem a belőle a huszadik századra sok kiváló tudós (köztük a filozófus Bertrand Russell) által kifejlesztett tudományt, a matematikai logikát értjük: A húszas években senki sem kételkedett az axiomatikus módszer mindenhatóságában. Maga Hilbert 1930-ban büszkén mondta, mintegy válaszként honfitársa, Du Bois-Reymond híres Ignoramus et ignorabimus szavaira: "Wir müssen wissen, wir werden wissen!"
1931 azonban a matematikában is a válság éve volt. Kurt Gödel (1906-1978) osztrák matematikus ekkor bizonyította be, hogy ha axiómáknak egy rendszere egyáltalán használható, akkor csupán a benne szereplő alapfogalmak segítségével meg lehet fogalmazni olyan állítást, amely az axiómákból a matematikai logika segítségével nem vezethető le, de nem is cáfolható meg. A matematikai logika látványosan demonstrálta erejét: felfedezte saját korlátait!
Szemben Rédei László, balján Csákány Béla
Kalmár, fellelkesülve Hilbert és Gödel eredményein, az ún. eldöntésprobléma kutatásához fogott. Lássuk, mi is ez a probléma! Olyan értelmes mondatokból, amelyek igazsága eldönthető (pl.: "esik az eső", "süt a nap"), tisztán logikai úton, azaz logikai jelentésű kötő- és tagadószavak ("és", "vagy", "nem") felhasználásával újabb értelmes mondatok származtathatók, pl. "esik az eső és süt a nap", "nem esik az eső", stb. Az így keletkező mondatokat rövidítésekkel is felírhatjuk, ha a kiindulási mondatokat és a logikai jelentésű szavakat kezdőbetűjükkel helyettesítjük, akkor az "esik-az eső vagy nem esík az eső"' mondat röviden így fest: (E) V (NE). Ez a mondat történetesen mindig igaz, mert harmadik lehetőség nincs - az, hogy "lóg az eső lába", nem harmadik lehetőség, mert az azt jelenti; hogy nem esik. Vegyük észre, hogy ebben a mondatban E, azaz "esik az eső" helyett akármit írhatunk, akkor is igaz lesz, hiszen az igaz; hogy bármely eldönthető igazságú mondat vagy igaz, vagy nem igaz. Megállapíthatjuk tehát, hogy (E) V (NE) korlátlanul igaz. Az (E) V (NE) "mondat" láthatóan hasonlít egy szokásos matematikai képlethez, ezért felvetődhet az ötlet, hogy talán van olyan általános érvényű eljárás, amellyel kiszámítható minden hasonló (csak esetleg sokkalta bonyolultabb) "logikai képletről", hogy korlátlanul igaz-e. A logikai képletekkel való számolást ítéletkalkulusnak nevezik. A felvetett ötlet jó, ilyen eljárás tényleg létezik, s ezt a tényt szaknyelven úgy fejezik ki, hogy az ítéletkalkulus eldöntésproblémája megoldható. Az eldöntésprobléma központi kérdés a matematikai logikában, megoldása segítségével ugyanis bármely logikai következtetésről eldönthető, hogy korrekt-e.
Engedjük meg ezután, hogy mondatainkban az említett logikai szavakon kívül a "minden" és "van olyan" szavak is előfordulhassanak (lásd áz arisztoteleszi logika klasszikus példamondatát: "minden ember halandó"). Ilyen mondatokból kiindulva egy bonyolultabb logikai rendszer épül fel, amelyet függvénykalkulusnak neveznek. Az előző gondolatmenetet újból végiggondolva megkérdezhetjük: a függvénykalkulus eldöntésproblémája megoldható-e?
Hilbert követőjeként Kalmár egy ideig abban reménykedett, hogy a válasz "igen", s kereste az ehhez szükséges eljárást. Logikai képletek jó néhány fajtájára meg is találta, előadást is tartott erről 1932-ben a zürichi matematikai világkongresszuson. Ám a remények nem teljesültek. Alonzo Church amerikai logikus 1936-ban bebizonyította, hogy nem létezik olyan számítógép-program, amellyel a függvénykalkulus bármely logikai képletéről kiszámítható lenne, hogy korlátlanul igaz-e. Ezen a ponton az olvasó joggal húzza fel a szemöldökét, mondván: "Számítógép-program? Hol voltak még a számítógépek 1936-ban?" Valóban, a gyakorlatban még nem léteztek, de elméletileg éppen 1936-ban születtek meg Alan Turing angol logikus agyában. Church nem számítógép-programról írt, hanem rekurzív függvényről, amely fogalmat azonban nem kell elmagyaráznom (nem is lenne könnyű), mert gyorsan - még a számítógépek tényleges megkonstruálása előtt - kiderült, hogy "rekurzív függvénnyel kiszámítható" pontosan azt jelenti, mint "számítógéppel kiszámítható".
Kedves olvasóm ismét replikázhat: "Na és! Church tétele akkor sem jelenti azt, hogy az eldöntésprobléma megoldhatatlan! Ha nincs is olyan számítógép-program, amellyel a függvénykalkulus bármely logikai képletéről ki lehetne számítani, korlátlanul igaz-e, attól még létezhet másfajta módszer, amellyel ezt ki lehet számítani!" Aki így gondolkozik, most dőljön hátra elégedetten székében, mert Kalmár is így gondolkozott. Csakhogy ez ellentétben van a szakemberek közfelfogásával, amely szerint "ami egyáltalán kiszámítható, az számítógéppel is kiszámítható". Ezt az aforizma-szerű mondatot Church-Turing-tézisnek nevezik. Tézisnek és nem tételnek, mert a matematikában tételt csak pontosan meghatározott fogalmakra vonatkozóan lehet bizonyítani, márpedig az "egyáltalán kiszámítható" nem pontosan meghatározott fogalom. Kalmár talán a legismertebb azok között, akik nem hisznek a Church-Turing-tézisben - ezt Douglas R. Hofstadter írta róla a hetvenes években egy nagyon nagy könyvben, a számítógépkultúra bibliájában. (Magyarul: D. R. Hofstadter, Gödel, Escher, Bach, Typotex, 1998.)
Abogyan bizonyítani, úgy megcáfolni sem lehet a Church-Turing-tézist matematikai eszközökkel. Kalmár nem is erre törekedett. Előadásaiban, cikkeiben arra mutatott rá, hogy a Church-Turing-tézis elfogadása olyan következésekre vezet, amelyek, ha formailag nem is cáfolhatók, a józan ész számára nehezen elképzelhetők. Ezáltal szembehelyezkedett a számítógépek mindenhatóságába vetett hit alaptételével. Ő volt az egyetlen, aki ezt nemzetközi konferenciákon is megtehette, hiszen tudták róla, hogy ugyancsak ő az, aki bámulatosan rövid bizonyítást talált Gödel tételére, és megmutatta, hogy Church tétele is benne rejlik Gödel tételében. Valójában Kalmár nem abban kételkedett, hogy számítógéppel minden kiszámítható. Ő azt nem volt hajlandó elhinni, hogy elméletileg sem lehet emberalkotta szerkezet nagyobb dolgokra képes, mint a 20. század derekán már már ismert "ketyerék" (ez szegedi tájnyelvi szó a számítástechnikai eszközökre). Félreértés ne essék, manapság egy jobb szerver teljesítménye milliószorosa a hősi időkről szólva említett M3-énak, de azért elvileg a mai gépek is Turing-gépek! Kalmárt az eltelt negyedszázad nem igazolta tehát, de nem is cáfolta meg. Általánosabban fogalmazva, Kalmár abban hitt, hogy nincs befejezett matematika, nem létezhet véglegesen lezárt tudomány. Ahogyan ezt az integrál fogalma iránt érdeklődő makói orvos-barátjának küldött 40 oldalas [!] levelében írta: "...éppen az a szép a matematikában, hogy magán viseli az emberi alkotás minden bizonytalanságát".
A tudományra vonatkozó beszámolóba kívánkozik egy érdekes történet egy negyedik szegedi professzorról, aki ma már a szegedi egyetem tiszteletbeli doktora, egyébként pedig "túl a nagy óceánon" a Yale Egyetemnek, és a Microsoft kutatóközpontjának vezető tudósa. Nem hagyható említés nélkül Sz.-Nagy Béla szerepe abban, hogy Budapestről Szegedre költözött Lovász László, aki igen termékeny szegedi évei alatt lett professzor, majd a Magyar Tudományos Akadémia tagja. Ennek hosszú előzményei voltak. 1953-ban hunyt el Szőkefalvi Nagy Gyula, aki de facto a geometriai tanszéket vezette. Azért kívánkozik ide ez a két latin szó, mert az egyetem irataiból nem derül ki teljes bizonyossággal, hogy mely években létezett, s melyekben nem létezett itt hivatalosan geometriai tanszék. A helyi tanárok és diákok számára azonban a geometriai tanszék léte és működése mindig természetes tény volt. A következő két évtizedben számos próbálkozás történt a tanszék betöltésére. Kitűnő helyi és budapesti tanárok - egyben eredményes kutatók - tartották a geometria előadásokat, de egyikükből sem lett tanszékvezető. Ez lényegében azon múlt, hogy Sz.-Nagy Béla, aki Rédei Pestre költözése után a geometria oktatását irányította, édesapja egykori tanszékének vezetésére minden szempontból kiemelkedő, Szegedre költözni is hajlandó tudóst szeretett volna megnyerni. Az első támadhatatlan lehetőség erre 1975-ben kínálkozott, Lovász László személyében. Igaz, Lacinak is volt egy nagy hibája: abban az időben még csak 27 éves volt. Ismeretes azonban, hogy matematikusnál és lírai költőnél a fiatalság - ha zsenialitással párosul - magasan többet érhet, mint az évtizedek szülte tapasztalat. Tudta ezt Leindler László akkori dékán, az ötletgazda, és Sz.-Nagy professzor is, akinek az ötlet tetszett, hiszen Lovász már egyetemistaként kandidátus lett, s huszonhét éves korára világhírűvé vált, ráadásul a matematika több területén is alkotott. Csak arról kellett meggyőződni, hogy Lovász jó előadó-e. Meghívták hát egy próbaelőadásra. Ezén az előadáson nemcsak az derült ki, hogy Lovász tényleg kitűnő előadó. Az előadás témája legalább ennyire alkalmas volt arra, hogy megfogja Sz.-Nagy Béla szívét. A történet megérdemli, hogy részletesebben is beszéljünk róla.
Karl-Friedrich Gauss, minden idők egyik legnagyobb matematikusa vetette fel a következő kérdést. Vegyünk egy önmagába visszatérő zárt görbe vonalat, egyszerűség kedvéért egy elég hosszú madzagot, amelynek két vége össze van kötve. Ha ezt először fellógatjuk, majd leejtjük az asztalra, akkor ez a görbe vonal - azaz madzag - rendszerint néhány helyen áthalad önmaga fölött (illetve alatt). Induljunk ki egy pontjából, és menjünk végig gondolatban a madzagon. Minden olyan pontját, ahol önmagát keresztezi, jelöljük meg az ábécé egy-egy különböző betűjével, s írjuk fel külön is ezt a betűt. Persze, előbb-utóbb visszajutunk olyan ponthoz, amelyet már megbetűztünk, ezt és az utána következőket ne betűzzük ugyan újra, de betűiket továbbra is írjuk föl, mindaddig, amíg kiindulási pontunkhoz vissza nem érünk. Ilyen módon egy betűsorozatot írunk fel, pl.: ABCADECDBE. Ezt nevezzük a tekintett görbe vonal Gauss-kódjának. Nézzünk rá egy ilyen sorozatra, s döntsük el csak a sorozatot vizsgálva (tehát minden madzag nélkül), vajon létrejöhet-e madzagból, azaz görbe vonalból az előbb elmondott módon. (Szaknyelven: létezik-e olyan görbe, amelynek ez a sorozat a Gauss-kódja). A kérdés nehéznek bizonyult: sem Gauss, sem az utána következő évszázad matematikusai tudtak módszert adni eldöntésére. A probléma megoldásában először Szőkefalvi Nagy Gyula ért el részeredményt, s ezt 1927-ben publikálta is. A teljes megoldást Lovász adta meg. Erről tartotta szegedi bemutatkozó előadását. Nemcsak a megoldás, a siker is teljes volt. Sz.-Nagy Béla meggyőződött róla, hogy méltó ember kerül Sz. Nagy Gyula tanári székébe.
Hogyan becsülte meg tudományáért Szeged három nagy elméjét a nagyvilág, az ország, a város? Rédeit a Német Leopoldina Akadémia tagjává választotta, s távozása után saját egyeteme is díszdoktorrá fogadta. Kalmár 1997-ben nagy posztumusz elismerésben részesült. A villamosmérnökök amerikai székhelyű világszervezete, az Institute of Electrical and Electronic Engineers - rövid nevén "Ájtriplí" - Computer Pioneer Award elnevezésű kitüntetésében részesítette, az elsők egyikeként Közép-Európa keleti végein. Szőkefalvi-Nagy Béla három külföldi egyetem (Drezda, Turku és Bordeaux) díszdoktorsága után a szegedi egyetemtől is megkapta ezt az elismerést, emellett három külföldi akadémia (a szovjet, az ír és a finn) választotta tiszteleti tagjává. Ő háromszor kapott Kossuth- illetve Állami díjat, de nem kevesebb örömet szerzett számára az a megbecsülés sem, amelyben városa részesítette: a Szegedért Alapítvány fődíját elsőként kapta meg, s 1991-ben a város díszpolgára lett.
Eredményes kutató nem maradhat távol a tudományos közélettől. Rédei sem tehette ezt, de kollégáihoz képest kevés szerepléssel úszta meg. Hallása ugyanis az évtizedek során fokozatosan romlott, s ezt mindenki tudta. Ez nem volt egyértelműen hátrányos számára: kényelmetlen kérdésekre nem kellett azonnal válaszolnia, unalmas üléseken saját gondolataiba mélyedhetett. Az Akadémia, a szakmai szervezet (a Bolyai Társulat), az egyetemi kar és az intézet életében részt vett, feladatokat is kapott, de mindezt a legkisebb mértékben sem ambicionálta. Kalmár és Sz.-Nagy Béla ellenben fáradhatatlanul küzdött céljaiért, amelyekhez gyakran hegyeket kellett (vagy kellett volna) megmozgatniuk. Sz.-Nagy Béla meghatározó egyénisége, mondhatnánk erős embere volt a hazai matematikai életnek (egyébként fizikumra is erős volt). A legfontosabb tudományos bizottságokban elnökölt. Tekintélyével próbált békét teremteni az egymással szembenálló szakmai csoportosulások között. (Ilyenek, mi tagadás, a matematikai közéletben is voltak; hála a második triumvirátusnak, nem Szegeden.) Ezzel a tevékenységével nem vívta ki az ellenfelek rokonszenvét, de tudományos súlya miatt kikezdhetetlen maradt. Kalmár nem válogatott a bizottságokban: fénykorában emlékezetem szerint egyidejűleg több mint 50 testületben és bizottságban szolgált. Minden kezdeményezéshez csatlakozott, amelyet a matematikai és számítástudományi kultúra szempontjából érdekesnek tartott. Sz.-Nagy Béla elvi keménységétől eltérően Kalmár hajlékonyabban képviselte ügyét. A sok ülés miatt kutatásra gyakran alig maradt ideje. Ezt tükrözte Pollák György tréfás jellemzése Kalmárról: "az aktivitás lojális mártírja", meg a szakmai körökben akkortájt elterjedt közmondás: "Nincsen ankét Kalmár nélkül!".
