2014. máj 13.

Lovász László: Egységes tudomány-e a matematika? 2. rész: A matematikai tevékenység új formái

írta: Janguli
Lovász László: Egységes tudomány-e a matematika? 2. rész: A matematikai tevékenység új formái

A cikk első része itt olvasható.

A matematikai kutatás hagyományos, 2500 éves paradigmája a következő: az ember definiál egy fogalmat, kimond róla egy tételt, majd azt bebizonyítja. Talán kevésbé elismert, de nem kevésbé régi tevékenység algoritmusok tervezése. euklides.jpgHogy ennek igazán klasszikus voltát lássuk, idézzük fel, hogy Euklidész leír egy olyan algoritmust, mely két egész szám legnagyobb közös osztójának kiszámítására szolgál, és melyet ma is használunk, euklidészi algoritmus néven; vagy azt, hogy a numerikus matematika legfontosabb módszere egy egyenlet gyökeinek kiszámítására Newton módszere.

A matematikai tevékenység e két, meglehetősen különböző módja azonban nagyon sok szálon összekapcsolódik (részletesebben [6]). Az is nyilvánvaló, hogy a számítógépek  nagymértékben növelték az algoritmustervezés fontosságát és presztízsét.

A kutatói közösség növekedése miatt viszont a hagyományos paradigmák ki kell, hogy egészüljenek a tudományos teljesítmény új formáival. Ilyen lehet például a jó expozék és áttekintő cikkek írása, problémák és sejtések megfogalmazása, példák összeállítása vagy kísérletek és az eredményeikről szóló beszámolók írása. E felsorolás első két tagjáról itt bővebben is szeretnék szólni.

Áttekintő cikkek

A matematikai társadalom egységére leselkedő legnagyobb veszély éppen a kutatói tevékenység kiterjedt volta. Senki sem tudja az újonnan megjelenő cikkeknek akár csak a töredékét is végigolvasni.

E problémára megoldás lehet egy olyan tevékenységi forma kialakítása, amely a kutatási eredmények másodlagos feldolgozását tűzi ki célul. Ezt a tevékenységet, jobb híján, ismertető írásnak nevezném, bár a magam részéről nem annyira az írás, mint inkább a matematikai kutatás egy formájának tartom, ami például egy eredmény hatásának és más területeken elért eredményekkel való kapcsolatának felkutatásával foglalkozik, vagy egyes eredmények magyarázásával, lefordításával más szubkultúrák számára.

A matematikusközösség már feltalálta ezt a tevékenységet: egyre nagyobb ugyanis az igény az írott ismertetőkre, áttekintésekre, minikurzusokra, kézikönyvekre és enciklopédiákra. Rengeteg konferencia létezik, ahol nagyrészt vagy teljes mértékben áttekintő jellegű előadásokat szerveznek, és a kiadók is jobban kedvelik az áttekintő jellegű írásokból összeállított köteteket, mint az új kutatási eredményeket tartalmazó cikkekből állókat.

Vannak aztán olyan intézmények és fórumok, melyek fokozatosan átalakulva egyre inkább az ismertetés szolgálatába állnak. A Nemzetközi Matematikai Kongresszust négyévente szervezzük meg, immár több, mint 100 éve. Sokan vannak a matematikusok között, akik a Kongresszust haszontalannak tartják (mint ahogy az is, ha kutatói konferenciának tekintjük), más tudományok kutatói viszont irigyelnek minket érte. Ha a matematikai tudomány egységének megőrzésére használjuk, akkor nagy érték: olyan fórum, mely egyedül képes arra, hogy a matematika egészének legfontosabb új eredményeiről és az alkalmazások új területeiről és módjairól áttekintést adjon.

Ennek ellenére nem szívesen fogadjuk el az ismertető és áttekintő írást tudományos tevékenységnek. Tartózkodóan fogadjuk, ha valaki összefoglalót ír valaki másvalaki új eredményéről. Én a magam részéről mégis úgy érzem, ezt a fajta tevékenységet éppen hogy támogatni kell. Ha az ismertető írás elismert tudományos tevékenységgé lesz, értékelésére is új módokat kell találni. Hogyan illeszthetnénk bele a teljesítményről alkotott képünkbe, a munkahelyek, előléptetések és kutatási pályázatok rendszerébe?

Keveset tudunk a jó matematikai áttekintő cikk kritériumairól. (Nincsenek jól meghatározott formai követelmények pl. arra vonatkozóan sem, hogy egy elmélet mikor jó. Minden elmélet meglehetősen pontos feltételeknek kell, hogy megfeleljen (új, nem-triviális és helyes kell legyen), de a matematikustársadalom egyéb, olyan követelményeket is támaszt (mint az, hogy érdekes és fontos legyen), amiket sokkal nehezebb formálisan meghatározni.)

Elfogadhatunk-e matematikai eredménynek egy áttekintő írást? Néhány ritka esetben a válasz erre a kérdésre egyértelműen igenlő. Egy olyan áttekintést, ami két, látszólag nem is rokon területet először hoz összefüggésbe, vagy először mutat rá egy elmélet új alkalmazási lehetőségére, később elméletekkel egy szinten említenek. De talán nem ez a jó áttekintő írás legfontosabb kritériuma.

Hadd vessek föl egy radikális ötletet: értékeljük az áttekintéseket úgy, ahogy a bölcsészek értékelik a munkájukat. A matematikusok hajlamosak a bölcsészetet "puha” tudománynak tekinteni, és a bölcsész sikerét (a mi “kemény és egzakt” tudományunkban elért sikerrel ellentétben) szerencse dolgának tartani, vagy, ami még rosszabb, az önreklámozási tehetség eredményének. Nyilvánvaló, hogy ez távol esik az igazságtól, és a bölcsészettudománynak megvannak a saját kritériumai a kiválóság és a siker elismerésére. Csak hasznunkra válhat, ha mi is megtanuljuk hasonlóképpen, a matematika “egzakt” kritériumai nélkül jutalmazni a kiváló teljesítményeket, az emberi gondolkodás hatalmas kincstárából más módszereket is beépítve a matematikai kutatásba.

Problémák és sejtések

Sejtésnek nevezzük a matematikában az olyan problémát, hipotézist, mely pontosan olyan jól meg van fogalmazva, mint egy tétel, „csak” a bizonyítása hiányzik. Persze egy jó sejtésnek kellően súlyos „bizonyítéka” kell, hogy legyen: példák, speciális esetek, analógiák, nem matematikai precizitású (de azért nem is semmitmondó!) megfontolások, „heurisztikák” kell, hogy alátámasszák.

fermat--1.jpgHíres sejtések, mint pl. a Fermat-sejtés, nagy hajtóerőt jelentettek mindig is a kutatásban, a megoldásukat célzó kutatások igen sok olyan eredményhez vezettek el, melyek az eredeti sejtés témakörén messze túlmutattak. Amiről itt beszélni szeretnék, az az, hogy a fent említett trendek hogyan növelik a sejtések fontosságát.

Egy kis közösségen belül mindenki nagyon hamar értesül az éppen aktuális problémákról. Ha viszont ez a közösség 100,000 emberből áll, a problémákat nagyon pontosan kell meghatározni, hiszen a rosszul feltett kérdés unalmas és jelentéktelen eredmények sokaságához vezet. Ez azt jelenti, hogy a sejtések megfogalmazását az eredményekkel azonos szinten kell értékelnünk.

erdős-pál-matematikus.jpgA sejtést mint olyat művészi szinten művelte Erdős Pál, aki egymaga több sejtést fogalmazott meg mint talán a világon valaha élt minden matematikus összesen. Erdős a sejtéseit matematikai munkássága szerves részének tartotta, ugyanúgy, mint a tételeit. Egyik legkedvesebb emlékem Erdőstől a következő megjegyzés: “Soha senkit nem irigyeltem tétel miatt, de téged most irigyellek ezért a sejtésért.”

Természetesen a sejtéseknél is hasonló nehézségekkel kell szembenéznünk, mint az áttekintéseknél, mert nagyon nehéz megmondani, mitől jó egy sejtés. Erdőséinek a stílusa is hatalmas viták kiindulópontja lett. Abban mindenki egyetért, hogy ha jó egy sejtés, akkor a megoldása komolyan előrelendíti tudásunkat. Sok matematikus úgy érzi, ez a helyzet, ha tisztán látjuk egy sejtés helyét a matematika épületében. Vannak viszont olyan sejtések, melyek annyira hozzáférhetetlenek a jelenlegi módszerekkel, hogy a megoldásuk, úgy érezzük, muszáj, hogy valami alapvetően újat hozzon, csak nem tudjuk, pontosan hol.

A sejtések egy másik forrása a kísérleti matematika, amit a számítógépek tesznek lehetővé. Ennek sok példája közül itt a legszisztematikusabbat szeretném megemlíteni: Siemion Fajtlowicz amerikai matematikus kifejlesztett egy GRAFFITI nevű programot, mely gráfelméleti sejtéseket generál [4]. Ez a program a gráfok különböző paramétereit számítja ki, és egy „érdekes” gráfokból álló hatalmas könyvtárt végignézve, összefüggéseket állapít meg köztük. Ezek az összefüggések persze még nem tételek, nem biztos, hogy a könyvtárban nem szereplő (végtelen sok) gráfra is igazak; de a sok példa alapján bízvást nevezhetjük őket sejtéseknek, melyeket aztán matematikai módszerekkel bizonyítani kell.

A fő ellenvetés Fajtlowicz programjával kapcsolatban az, hogy az általa felvetett összefüggéseknek matematikai motivációja nincs, még ha igazak is, nem érdekesek.

Eleinte magam is kételkedve szemléltem a matematikai problémákat felvetni próbáló számítógépet, egészen addig, amíg egyik sejtése engem is megigézett. E sejtésről később kiderült, hogy a kommunikációs bonyolultságelmélet egy kulcskérdéséhez kapcsolódik. ...

Az igazi kihívás az, hogyan lehet e kísérleteket megfelelően elvégezni, hogyan lehet eredményeikről beszámolni és azokat a matematikai tudományba beépíteni. Már említettem, hogy a bölcsészettudománytól kéne megtanulni az ismertető írás megfelelő módjait. Ehhez hadd tegyem még hozzá, hogy az utóbbi kérdésre viszont a kísérleti tudományokban kell keresnünk a választ.

A cikk folytatása: 

Egységes tudomány-e a matematika? 3. rész: Hidak

Természet Világa, 1998.

Szólj hozzá

egzakt tudomány euklidészi geometria erdős pál Lovász László erdős pál matematikus Lovász László matematikus Fermat-sejtés puha tudomány Euklidész