Egységes tudomány-e a matematika, vagy egyre inkább sok független, eltérő utakon fejlődő, egymás eredményeit nem ismerő, sőt lassan meg sem értő közösségre bomlik? Erősítik-e vagy gyöngítik ezt a folyamatot a kutatás megváltozott körülményei, mint például a számítógépek? El kell-e fogadni ezt a szétforgácsolódást a matematikus társadalomnak?

Hogy ezekre a kérdésekre válaszolhassunk, tekintsük át a törésvonalakat, melyek ma a matematikán belül húzódnak, a legfőbb trendeket, melyek ma a matematikai kutatást alakítják, a matematikai kutatás új formáit és módszereit, és végül (kicsit mélyebben merülve a technikai részletekbe) a matematika mélyebb egységét bemutatandó, a diszkrét és folytonos matematika közti analógiát.

A trendek, amelyeket alább tárgyalunk, és a problémák, amelyeket felvetnek, persze nem korlátozódnak a matematikára. Így, gondolom, más tudományágak művelőinek is meg kell találni válaszukat. Ez nyilván sok tekintetben más lesz, mint a matematika válasza, de hasonló elemekre fog épülni. Talán ez a közös megoldáskeresés a matematika egységén túl a tudományok, sőt az egész emberi kultúra egységét is megerősíti.

Törésvonalak

A matematika mindig is szélesebb területet vizsgáló, módszereiben és paradigmáiban kevésbé kötött tudomány volt, mint pl. a fizika. A mai matematikát azonban sokkal több törésvonal járja át meg át, mint a múltban bármikor.

Ezek közül a legközismertebb a tiszta és az alkalmazott matematika között halad.

Az absztrakt és a konkrét matematika szembenállása  az ún. Bourbaki iskola körüli vitákban csúcsosodott ki. A strukturális matematika (amelynek eredményei tételek és bizonyítások) és az algoritmikus matematika (amelynek eredményei algoritmusok és elemzésük) közötti megkülönböztetés az ókorig nyúlik vissza. Ugyanilyen mélynek tűnik a szakadék a folytonos matematika (analízis) és a diszkrét matematika (pl. a gráfelmélet) között.

E törésvonalak némelyike a különböző munkahelyi feltételek következménye: például az alkalmazott matematikusok munkáját egészen más finanszírozási körülmények és sikerfeltételek határozzák meg, mint a tiszta matematikusokét. Más határvonalak “kulturálisak”: a matematika egyes szakirányainak saját konferenciái, folyóiratai és díjai vannak, saját fogalomkészlete és paradigmái, sőt, mások a beszélgetés során természetesnek vett értékrendszerek is. Az absztrakciók szeretete vagy nem-szeretete természetesen egyéniség és vérmérséklet függvénye is.

E törésvonalak persze nem teljesen ortogonálisak egymásra. Néha ilyesfajta azonosítások születnek: tiszta—absztrakt—strukturális—folytonos és alkalmazott—konkrét—algoritmikus—diszkrét. Olykor ezek az azonosítási sorok így egészülnek ki: jó—tiszta—absztrakt—strukturális—folytonos és rossz—alkalmazott—konkrét—algoritmikus—diszkrét [5] (a koordináták némelyikét ízlés szerint felcserélhetjük). De még ha nincs is 16 vagy 32 különböző matematika, bizonyos centrifugális erők működése egészen nyilvánvaló.

Fogadjuk el talán ezt a felosztást, mint az élet egy tényét (“Én egy rossz—tiszta—absztrakt—algoritmikus—diszkrét  matematikus vagyok”)? Vannak, akik szerint ezt kell tennünk, és a matematika feldarabolódását egyre kisebb és kisebb szakirányokra az élet velejárójának kell tekintenünk.

Én úgy érzem, az ebbe való belenyugvás tragikus következményekkel járhat. Szerintem a matematikai tudomány életereje egy mélyen gyökerező egyetemesség következménye. E cikkben arról szeretnék beszélni, hogyan teszik a matematika közelmúltbeli fejleményei az előbb említett törésvonalakat a látszatnál bonyolultabbá (és talán egyben kevésbé félelmetessé is). Nekünk matematikusoknak mindent el kell követnünk a közöttünk húzódó szakadékok áthidalása érdekében, és ennek a törekvésünknek éppen a matematika új fejleményei válhatnak eszközeivé.

A matematika világát átalakító három új trend

A közösség mérete. Közhely, hogy a matematikai publikációk száma exponenciálisan növekedett az utóbbi 50 évben, ugyanúgy mint más tudományok publikációinak a száma. A matematikustársadalom már nem csak a “kockafejűeknek” az a kicsi és zárt világa, ami régebben volt. A szakmai közösség kiterjedésével egyidejűleg a matematika egyre sokoldalúbb lesz, egyre strukturáltabb és bonyolultabb.

A matematikusok konzervatívak. Ezalatt persze nem azt értem, hogy mind szélsőjobboldaliak vagyunk (amennyire meg tudom állapítani, a politikai spektrum minden részének van közöttünk képviselője, úgy mint bármely más szakmai közösségben), de általában nem akarjuk az időnket mással tölteni, mint például a P\=NP sejtés bizonyításával (ez persze lehet a Riemann hipotézis vagy valami más, gondolatainkat épp fogva tartó probléma). Így hát úgy teszünk, mintha a matematikát nem érintené meg a változás szele. Azt hisszük például, hogy minden számunkra fontos információhoz hozzájuthatunk, ha a könyvtárba érkező új folyóiratokat átnézzük, és hogy ha egy jól ismert folyóiratban publikálunk egy cikket, az el is jut mindazokhoz, akik kutatásaikban fel tudják használni az eredményeinket.

A fontos folyóiratok háromnegyede azonban nincs is ott a könyvtár asztalán, hisz csupán az Amerikai Matematikai Társulat kombinatorikai témaklasszifikációjának 05 számú fő része évente több mint 2500 újonnan publikált cikket sorol fel, legalább10 erre specializálódott, és számtalan másfajta folyóiratban. De még ha hozzá is jut az ember ezekhez a folyóiratokhoz – és ideje is van elolvasni őket –, még mindig csak a matematika egy nagyon kicsiny szögletének eredményeiről szerez tudomást.

A nagyobb rendszer sohasem csak a kisebbnek nagyított változata. A nagyobb testű és bonyolultabb felépítésű állatokban például a test egyre nagyobb része szolgálja az “overhead”-et: az anyagok szállítását és a különböző testrészek működésének koordinációját. A nagyobb létszámú és bonyolultabb társadalmak a tartalékaik mind nagyobb részét fordítják olyan nem termelő tevékenységekre, mint a szállítás és információfeldolgozás. El kell fogadnunk, hogy a matematikai tevékenységnek is mind nagyobb és nagyobb része kell hogy legyen és lesz is a kommunikáció.

Ez meglátszik abban, hogy a szakmai látogatások, konferenciák, workshopok és kutatóintézetek száma gyorsan növekszik, az elektromos postát is egyre többször és többre használjuk. A többszerzőjű cikkek száma is ugrásszerűen megnőtt. Nemsokára minden bizonnyal eljutunk oda, hogy a kölcsönös személyes kapcsolaton alapuló kommunikáció már nem biztosítja az információ kellőképpen gyors átadását.

A tömeg növekedésének van még egy következménye, és ez a kisebb közösségek vagy akár szubkultúrák elkerülhetetlen kialakulása. Ezek, úgy tűnik, véletlenszerűen jönnek létre, de makacsul fennmaradnak és a kutatási irányokat hosszú időre meghatározzák. Egy ilyen szubkultúra a diszkrét matematika—számítástudomány—operációkutatás. A kulturálison kívül nem látok más okot arra, hogy a számítási bonyolultságelméletet miért nem vette át a numerikus algoritmusok tervezőinek többsége.

Az alkalmazás új területei. A matematika alkalmazásának hagyományos területe a fizika, és kétségtelenül ez az alkalmazási terület az, amely a legmélyebb matematikát egyesíti a leglátványosabb sikertörténetekkel. A matematika itt alkalmazott szakiránya az analízis, ami a matematika igazi “kemény magja”.

A század második felében robbanásszerűen kiterjedő tudományos kutatás viszont oda vezetett, hogy sok más tudománynak is szüksége lett komoly matematikai eszközökre. Az analízis hagyományos eszközei pedig a célnak gyakran nem felelnek meg.

A biológia például a genetikai kódot próbálja megérteni, egy gigantikus feladat, amely az élet mint olyan és önmagunk megértésének kulcsa. A genetikai kód diszkrét (vagyis véges) struktúra. Az olyan egyszerű alapkérdések, mint egyező minták keresése vagy részláncok átfordítása a gráfelmélész fülének ismerősebben hangzik, mint a differenciálegyenletek kutatójának. Egy, a genetikus kód információtartalmáról, redundanciájáról vagy stabilitásáról szóló kérdést a klasszikus matematika művelője adott esetben túl körvonalazatlannak találhat, míg az elméleti számítógéptudósnak azonnal eszébe jut legalábbis néhány olyan eszköz, amivel formát adhat neki, még akkor is, ha megválaszolni egyelőre nem tudja.

Még a fizikus is találkozik szokatlan diszkrét matematikai rendszerekkel, az elemi részecskék, kvarkok és társaik ugyanis nagyon kombinatorikusak, vagy például a statisztikus mechanika megértéséhez gráfelméletre és valószínűségszámításra van szükség.

A közgazdaságtan is komoly felhasználója a matematikának – és, megint csak szükségletei többségét nem lehet a hagyományos alkalmazott matematika eszköztárából fedezni. A lineáris programozás sikere a közgazdaságtanban és az operációkutatásban azon a feltevésen alapszik, hogy a termelési folyamatok korlátlanul oszthatók és konvex függvényekkel írhatók le; az oszthatatlanságok figyelembe vétele (például logikai döntéseknél vagy egyéneknél) viszont diszkrét programozáshoz és más kombinatorikus optimalizációs modellekhez vezet, amelyekkel sokkal nehezebb bánni.

Végül ott van az alkalmazott matematika teljesen új területe: a számítógéptudomány.

Az elektronikus számítás jól megfogalmazott, nehéz és fontos matematikai problémák hatalmas tárházát képezi, amelyeket az algoritmusok, adatbázisok, formális nyelvek, kriptográfia, az adatközlés biztonsága, VLSI tervezés, stb. vetnek fel. Ezek legtöbbjének a diszkrét matematikához, formális logikához és valószínűségszámításhoz van köze.

Hogy a közeljövőben a matematika mely szakterületei válnak még alkalmazhatóvá, az teljességgel megjósolhatatlan. Csak 25 éve még úgy tűnt, az olyan számelméleti kérdések, mint az, hogy hány 200 jegyű prímszám van, a matematika legtisztább, legklasszikusabb és teljesen alkalmazhatatlan részéhez tartoznak, most pedig hasonló kérdések képezik a matematikai kriptológia és az adatbiztonság magját.

Úgy tűnik, az alkalmazások sokszínűsége egy újabb centrifugális erő, ami viszont, úgy gondolom, a felaprózódással ellentétben éppen hogy erősíteni fogja az információ áramlását a határvonalakon keresztül. Egy szakterület sem vonulhat vissza elefántcsonttornyába és zárhatja be kapuját az alkalmazások előtt, és ugyanígy nem állíthatja egy szakterület sem, hogy ő az egyedüli alkalmazott matematika.

Új eszközök: a számítógépek. A számítógépek természetesen nem csak érdekes és újszerű matematikai problémák felvetésére szolgálnak, hanem a kutatás végzésének és rendszerezésének új eszközei is.

Nyilvánvaló, hogy a matematikusok és számítógépek kapcsolata nagyon változó. Van, aki kerüli a számítógépeket, mások viszont hozzánőnek kedvenc játékszerükhöz. Jómagam elektronikus posta küldésére és szövegszerkesztésre használom őket rendszeresen, mint a legtöbbünk, és valamivel ritkábban kísérletezésre, vagy arra, hogy a web-en keresztül információt szerezzek. A Mathematical Reviews adatbázisban való keresgélés olyan a számomra, mint a kábítószer, és egyre kényelmesebbnek találom, hogy új információhoz az elektromos folyóiratokban szemezgetve jutok, vagy, ami talán még fontosabb, más matematikusok honlapjain keresztül.

Vajon a számítógépek ily módon történő felhasználása csak játék, vagy legföljebb kényelmi dolog? Nem hiszem, és úgy gondolom, minden új felhasználási mód változást hoz a matematikai tudományban.

Ha elkezdünk a Maple, Mathematica, Matlab programokkal vagy valamilyen saját programunkkal kísérletezgetni, ez azonnal nyilvánvalóvá válik. Ezek a programok megfigyelések egész sorát teszik lehetővé, amelyek elképzelhetetlenek voltak a számítógépek korszaka előtt, és amelyek új adatokkal és új jelenségekkel bővítik tudásunkat.

Sok vitát váltottak ki a számítógépes bizonyítások, mint például a négyszíntételé (erről bővebben itt). Ezeket mégsem sorolom ide, mert szerintem nem különböznek alapvetően a klasszikus matematikai bizonyításoktól. A legkomolyabb érv ellenük, hogy kevesen rendelkeznek az ellenőrzésükhöz szükséges eszközökkel, ma már nyilvánvalóan nem áll. Azt hiszem, többen tudják ma már a négyszíntétel bizonyítását ellenőrizni, mint pl. a Fermat sejtés Wiles által nemrég adott bizonyítását, ami ugyan teljesen klasszikus matematikai módszerekkel, de igen mély eszközökkel történik, melyeket igen kevesen ismernek.

Az elektromos folyóiratok, adatbázisok és az elektromos posta az eredmények és ötletek terjesztésének új és hatásosabb eszközei. Bizonyos értelemben elősegítik a kutatás mennyiségének növekedését, hiszen nem csak egyre több ember foglalkozik kutatással, hanem az ezzel kapcsolatos információnak is mind nagyobb hányada van csupán karnyújtásnyi (vagy inkább ujjhegyérintésnyi) távolságra. Ez az információ persze egyre hangosabban és agresszívebben hirdeti jelenlétét, az e-mail etikettje ugyanis még meglehetősen kiforratlan. Az elektronika eszközei viszont kétségkívül segítenek az információrobbanás túlélésében.

Első pillantásra a szövegszerkesztés csak a cikkírás kényelmes módjának tűnhet, hiszen a kutatás végső eredménye még mindig a nyomtatott lap, amit a folyóiratok cikk formájában lehoznak, vagy – talán egyre gyakrabban – más kutatók kézirat formájában kinyomtatnak a saját irodai gépükön. Az elektromos verziónak viszont egyre több olyan sajátossága válik elérhetővé, amitől ezek nyilvánvalóan túllépnek a nyomtatott lap lehetőségein. Ilyenek a hiperlinkek, a színes diagrammok és illusztrációk, az animáció, stb. Egy matematikai cikket szinte sohasem olvas az ember lineárisan haladva az elejétől a végéig, időnként visszaugrunk az elejére, hogy emlékezetünkben felfrissítsünk egy definíciót, előreugrunk, hogy egy lemma felhasználását megnézzük, első olvasatra átugrunk bizonyításokat, vagy többször visszatérünk egy ponthoz, hogy egy példán ellenőrizzük az érvelést – ez pedig inkább hasonlít az interneten való szörfölésre, mint a regényolvasásra.

Ha pedig egy dokumentumot nem olvasunk lineárisan, miért kellene azt úgy írni?

Nem akarok itt az elektromos publikálás lehetőségeiről és kelepcéiről többet beszélni, de több mint valószínű, hogy hatásukra teljesen másképp fogunk a jövőben cikket írni, sőt kutatni is.

 A cikk folytatása: 

Egységes tudomány-e a matematika? 2. rész: A matematikai tevékenység új formái

Természet Világa, 1998.