Mit tudunk August Ferdinand Möbius (1790.11.17. - 1868.09.26) német matematikusról?

Először alkalmazta az analitikus módszereket a projektív geometriában. Szerénysége miatt csak jelentéktelen csillagászként élte le életét. Mikor 68 éves korában beküldte az egyoldalú felület geometriájáról szóló értekezését a Francia Akadémiának, nem volt szerencséje: sok más művel együtt ez is évekig porosodott az Akadémia valamelyik fiókjában. Végül is maga a szerző adta ki.

Fő érdeklődési területe a geometria volt. 1828-ban jelent meg "A baricentrikus számítás" című könyve, amelyben igen sok új geometriai gondolat volt: bevezette a projektív transzformáció fogalmát, a baricentrikus, avagy súlypont szerinti koordinátákat, a végtelen távoli elemeket, továbbá új szempontok szerint osztályozta a felületeket és görbéket. Nevét a Möbius-féle számelméleti függvény is viseli.

A Möbius-szalag kétdimenziós felület, amelynek különlegessége, hogy csak egyetlen oldala és egyetlen éle van.

A Möbius-szalag alakú jegygyűrűk az egységet szimbolizálják a házasságban

Möbius-szalag készítési módjai

A szalagot könnyen elkészíthetjük egy papírcsíkból, ha végeit összeragasztjuk úgy, hogy az egyiket 180°-kal elfordítjuk. Az egyoldalúságról úgy győződhetünk meg, ha egy ceruzával hosszirányban a közepén csíkot húzunk: így vissza kell jutnunk oda, ahonnan elindultunk, bejárva az eredeti szalag mindkét oldalát.

További érdekesség, hogy ha kettévágjuk az imént említett vonal mentén, egy, az eredeti szalagnál kétszer hosszabb (fele olyan széles), immár kétoldalú felületet kapunk. Ha még egyszer hasonló módon körbevágjuk, akkor két egymásba fonódó szalag lesz az eredmény. Ha három részre vágjuk, akkor két egymásba fonódó szalagot kapunk: az egyik ismét egy Möbius-szalag lesz, a másik egy kétszer olyan hosszú, kétszer csavart szalag.

A hasonlóan páratlan számszor csavart szalagok darabolása hasonló érdekes eredményt ad. Például a háromszor 180 fokosan csavarodó szalag kettévágásával lóherecsomót kapunk. A végeredményként kapott csavarodások száma kiszámítható a következő egyenletből: 2N + 2 = M, ahol N a csavarodások eredeti száma, és M a csavarodások kapott száma. A Möbius-szalaghoz hasonlóan a páratlan számszor csavart szalagoknak egy élük és egy oldaluk van. A páros számszor csavartak ellenben két oldalúak és két élűek.

A számítógépes grafikában így is lehet Möbius-szalagot konstruálni:

• Végy egy téglalap alakú szalagot
• Forgasd meg egy olyan pont körül, ami nincs vele egy síkban
• Minden egyes lépésben forgasd meg a körül a vele egysíkú egyenes körül, ami kettévágja a szalagot, és merőleges az alapkör sugarára
• Ha így megtettél egy teljes fordulatot, akkor a téglalap egy Möbius-szalagot súrolt végig.

Möbius és a gráfok

A gráfelméletben a gráfok egy Mn speciális osztálya szintén Möbiusról kapta a nevét. Ezek egy páros n pontszámú körből származtathatók a szemben fekvő csúcsok összekötésével. Nevét onnan kapta, hogy az M6 = K3,3 kivételével Mn n/2 négyszöget tartalmaz, amelyek egymáshoz csatlakozva Möbius-szalagot formálnak (McSorley 1998). Ezt a gráfosztályt először Richard K. Guy és Frank Harary tanulmányozta (1967).

Möbius, Escher, Bach

M. C. Escher számos metszete alapul rajta. 

Douglas R. Hofstadter utólag egy Bach-művet is kapcsolatba hoz a Möbius-szalaggal.

1747-ben Bach találkozott a porosz Nagy Frigyessel. Frigyes megmutatta Bachnak az új pianofortékat, és adott egy fúgatémát is, melyre a zeneszerző háromszólamú fúgát improvizált. Ekkor Frigyes azt mondta, hogy emeljék a téteket, legyen a fúga hatszólamú. Bach beleegyezett, de azt kérte, hadd komponálja meg először. Két hónappal a királlyal való találkozás után elkészült a Musikalisches Opfer.

A király által adott témát (Thema regnum) dolgozta fel Bach a "rák kánon"-ban, amely akár egy Möbius-szalagra is felrajzolható. A kánon témája egyszerre hangzik el úgy, hogy az egyik szólam az elejéről, a másik pedig a végéről kezdi a témát. Ha Möbius-szalagra írjuk a kottát, akkor mindig a szalag "két oldalán" lévő hangjegyek szólnak egyszerre. Ezt szemlélteti a video: