Staar Gyula 2009.

Az interjú első része itt olvasható.

L.L: Korunk matematikájának említésre méltó új fejleménye, hogy megnőtt azon területeinek száma, melyeket jelentős mértékben alkalmaznak gyakorlati problémákra. Valaha az alkalmazott matematika kifejezés csaknem azonos volt a differenciálegyenletek elméletével, talán még a numerikus analízist és a statisztikát sorolták ide. A tudományos kutatás robbanásszerű kiteljesedése a 20. század második felében a matematika egyre mélyebb és sokoldalúbb, a klasszikus analízis eszközein túl mutató alkalmazását igényelte. Egyre nagyobb szerepet kap a diszkrét matematika, az algoritmuselmélet, a bonyolultság elmélet és a számítógép-tudomány, melyet ma már a matematika szerves részének tekintünk. Diszkrét optimalizálási problémák sora bukkan elő, például egy gráfnak az optimális szerkezetét kell meghatározunk, vagy egy hálózatban a maximális folyamot stb. 

S.Gy.: Véleményed szerint a matematika fejlődésében a 21. században milyen prioritások látszanak felsejleni? Például a matematikusnak készülő fiadat milyen irányban indítanád el?

L.L: Fogalmazzunk inkább úgy, hogy milyen irányban próbálnám, ha lehetne… Természetesen, értem a kérdést. Úgy érzem, a jövő nagy kihívása az élet megértése matematikai eszközökkel. 

S.Gy.: Az élet szerveződésének a kérdéséről van szó?

L.L: Igen. Itt több különböző szintről beszélhetünk. Kereshetjük a matematika alkalmazásának a lehetőségét az evolúció szintjén, és az élőlény, mondjuk egy baktérium vagy az emberi szervezet működésének szintjén. A rendszer, melyet szeretnénk megérteni, egymással kölcsönhatásban lévő diszkrét elemekből áll: sejtekből, idegsejtekből, esetleg állatok, növények halmazából. Közöttük a kölcsönhatásokat bonyolult hálózat írja le, mely matematikailag egy óriási nagy gráfnak tekinthető. S akkor újra előttünk a kérdés: ez a hálózat miként működik, milyen a szerkezete?

A hagyományos alkalmazott matematika az élővilágban eddig csak a differenciálegyenletekkel leírható fizikai mozgásokat, kémiai folyamatokat vette tekintetbe. Ezzel párosulnak most azok a kölcsönhatások, melyeket a legegyszerűbb értelemben valamiféle gráf ír le.

Vagy itt van például egy szervezet teljes örökítő információját jelentő genom. Óriási erőfeszítésekkel feltérképezték a humán genetikai állományt, s annak szekvenciáit. Kérdések sora következethet ezek után. Mennyi ennek az információtartalma, mennyi benne a redundancia, mennyi benne a véletlenszerű, s ami nem az? Ezek kombinatorikus kérdések, melyek hasonlítanak a számítógép-tudományban vizsgált problémákhoz. Tehát, hogy egy adathalmazban mennyi az információ, lehet-e azt tovább tömöríteni, s vajon mennyire lehet? Ezek alapvető kérdések. Hiszen a genetikus kódban nem fér el például az összes agysejt összes kapcsolata. Az nem lehet mind belekódolva. A kapcsolatok egy része valószínűleg véletlenszerűen, a használat közben jön létre. Jó lenne mindezt megérteni és a matematika segítségével leírni. Óriási kihívás a matematikus számára. 

A matematika segítségével megértettük a fizikai világot, 400 éve már leírtuk a bolygómozgást, később megértettük az elektromos tér tulajdonságait. A kvantumfizikán keresztül megértettük a vegyi folyamatokat… A biológiát még nem igazán értettük meg. Meggyőződésem, hogy itt is hasonlóképpen sikeres lesz a matematika, csak idő kell hozzá. 

S.Gy.: A matematikának több súlyos megoldatlan problémája van. Melyik legyőzésének örülnél a legjobban? Úgy is feltehetném a kérdést, ha száz év múlva visszatérhetnél kis időre a matematikusok közé, mit kérdeznél meg elsőként tőlük?

L.L: Azt hiszem, arra lennék a legkíváncsibb, hogy a P egyenlő NP-vel igaz-e?

S.Gy.: Ez, ugye, az algoritmuselmélet egyik alapkérdése? Mondanál róla valami megvilágosítót?

L.L: Nagyon sok matematikai feladatnak olyan a szerkezete, hogy ha rátalálunk egy megoldásra, akkor már könnyen ellenőrizhetjük, hogy az jó-e. Például egy nagyon nagy számról nehéz eldönteni, hogy az prímszám-e. Azonban, ha rálelünk egy osztójára, ennek ellenőrzése már könnyen megy. Ezeket a problémákat nevezik NP-nek, vagyis nem determinisztikusan polinomiálisnak. Kérdezhetjük: ha egy probléma ilyen szerkezetű, abból következtethetünk-e arra, hogy hatékonyan kiszámítható. Vagyis meg tudjuk-e keresni azt, amiről már könnyen ellenőrizhetjük, hogy jó-e. Ez a P. A P=NP azt jelentené, hogy erre a kereső feladatra készíthető hatékony algoritmus.

S.Gy.: Gondolom, van elképzelésed arról, hogy száz év múlva mit válaszolnak majd erre a matematikusok.

L.L: Azt, hogy nincs ilyen algoritmus. Vagyis P nem egyenlő NP-vel. Ennek bizonyításához sokkal mélyebben kellene értenünk, miként működik egy algoritmus.

Van erre egy analógiám. Arkhimédész a barátjával beszélget, aki azt kérdezi tőle: szerkeszthető-e szabályos hétszög? – Úgy gondolom, nem – válaszolja Arkhimédész. – Hogyan lehetne ezt bebizonyítani? – faggatja tovább a társa. – Elképzelni sem tudom – válaszolja a mester. S valóban, Kr. e. 200 körül elképzelni sem lehetett ennek a bizonyítását. Ahhoz a valós szám, a testbővítések fogalmának, a Galois-elméletnek kellett kialakulnia, úgy 2000 év múltán, hogy bebizonyíthassák: a szabályos hétszög nem szerkeszthető. A matematika tőle független fejlődése hozta létre azt a struktúrát, mely alkalmazásával már könnyen bizonyítható volt ez a probléma is. 

Nem hiszem, hogy a P=NP kérdés eldöntéséhez 2000 évet kellene várnunk. Ma sokkal gyorsabban fejlődik a matematika, könnyebben kialakulhat az a matematikai struktúra, melyben már ezt a kérdés is eldönthető. Nem adok erre száz évet sem.

S.Gy.: Ezzel a súlyos problémával, gondolom, sok jó matematikus kínlódik. Előmenetelük szempontjából, mai világunkban nem biztos, hogy ez a legjobb stratégia. Mások, kisebb akadályok folyamatos leküzdésével, sokkal előbbre jutnak.

L.L: Ez, sajnos, igaz.

S.Gy.: Kifizetődő a szinte reménytelen feladatoknak nekigyürkőzni?

L.L: Nem hiszem, hogy erre határozott választ lehetne adni, hiszen a kutatási stílus nagymértékben egyéniség kérdése. Vannak olyan matematikusok, akik vállalják annak a kockázatát, hogy esetleg öt év intenzív munka után sem jutnak el a probléma megoldásához. Vannak egészen kivételes stílusban dolgozó emberek, ilyen például az amerikai hármas: N. Robertson, P. D. Seymour és R. Thomas (egyikük kanadai, a másik angol, a harmadik cseh). Szereznek valahonnan pénzt, hogy ne kelljen tanítaniuk, s azután fél éven keresztül minden áldott nap összejönnek,  reggel 8-tól este 8-ig írják a táblára az ötleteiket, a levezetéseket, belemennek olyan bonyolult részletek, esetszétválasztások analízisébe, amitől a legtöbb ember visszaretten. Egyedül az ember talán el is vesztené a fonalat a sok részlet között, de ők ezzel a munkamódszerrel óriási sikereket értek el. Nagyon régi, nagyon nehéz problémákat oldottak így meg. 

Amikor az első nagy sikerüket elérték, kitűztek maguk elé egy még nagyobb célt, a perfekt gráf sejtést. Egy év múlva beszéltem egyikükkel. Meghallgattam előadását, mely arról szólt, hogy eddig számos ötletet megpróbáltak, de egyik sem működött, csak kudarcban volt részük. Ennek ellenére kitartottak, tovább dolgoztak. Két év múlva bebizonyították a perfekt gráf sejtést. A vége felé bekapcsolódott hozzájuk egy negyedik amerikai, egy oroszországi születésű izraeli hölgy, Maria Chudnovsky, aki hozzátett még egy fontos ötletet, így jutottak célba.

Ezeket a nagyon hosszadalmas, sok számítást igénylő bizonyításokat nemigen szeretem. Amikor már a 6. vagy a 7. esetet kellene szétválasztanom, akkorra már régen elfelejtettem az elsőt.

S.Gy.: Kicsit elkanyarodtunk a P=NP problémától. Esetleg van még olyan kérdés, ami megoldásának különösképpen örülnél?

L.L: Van. Másik ilyen a Riemann-sejtés, ami a matematika legklasszikusabb megoldatlan problémája. Annyiféle kapcsolódási pontja van tudományunkban, hogy roppant izgalmas lenne tudnunk, megoldható-e.

S.Gy.: Sokan dolgoznak ezen?

L.L: Igen. Több mint száz éve annyi okos ember próbálkozott vele, annyi részeredmény született, hogy ez már kissé félelemkeltő. Ha valaki ilyenbe belefog, az kiteszi magát annak, hogy az első ötven ötlete az elmúlt 120 évben már másnak is eszébe jutott.

S.Gy.: Megoldják ezt a problémát még a mi életünkben?

L.L: Nem kizárt. Hiszen arra sem számított senki, hogy a szintén megingathatatlannak tűnő Fermat-sejtést hirtelen bebizonyítják. A Fermat-sejtés eredetileg önmagában álló kérdés volt. Két n-edik hatvány összege lehet-e n-edik hatvány? Vagy igen, vagy nem. Na bumm! Mit jelent, ha van egy kivétel? Azután ezt a problémát összekapcsolták a fő sodorvonalbeli matematikával. A másodfokú görbéket már a görög Apollóniusz óta megértettük, viszont a harmadfokú görbéket ma sem értjük teljesen. A Fermat-sejtést az osztrák Gerhard Frey-nek sikerült a harmadfokú, ún. elliptikus görbékre vonatkozó problémára visszavezetnie. Így jutott el azután Wiles a megoldáshoz.

Különben az elliptikus görbék elméletén alapulnak a legjobb számítógépes biztonsági kódok. Amikor a Microsoftnál kriptográfusok egymás között beszélgettek, hallgatva a diskurzusukat, nemigen lehetett azt megkülönbözetni attól (legalábbis a szavak tekintetében), amit Wiles mondott. 

S.Gy.: Fontosnak tartod a matematika eredményeinek, a matematikai gondolkozásnak a közkinccsé tételét?

L.L: Természetesen igen!

S.Gy.: Miért?

L.L: Miért lényeges ez? A mai demokratikus társadalomban fontos, hogy minél többünknek képe legyen arról, mit végeznek az egyes tudományok. Senki se tekinthesse a természettudományokat fölöslegesnek. Ennél azonban többről is szó van. Mindenkit meg kellene tanítani, hogy a fejét kissé racionálisabban használja. Minél több embert rá kellene vennünk arra, hogy matematikai módon, egzaktabban gondolkozzon. Amikor hallunk egy hírt, az újságban olvasunk egy elemzést, azt értékelni tudjuk, hogy a számértékeket a helyükön kezeljük. Amikor nekem azt mondják, ebben a szörnyű betegségben tavaly világszerte száz ember halt meg, akkor ne rettegjek attól, hogy én is elkapom. Amikor exponenciális növekedésről beszélnek, tudjam, hogy mit jelent. Amikor a politikusok a tévében beszélnek és érvelni igyekeznek, szeretem, ha a mögött kvantitatív gondolkozás, számadatok vannak. Amikor azt mondják, sok pénz, ez így semmit nem jelent. 

Az elménket folyamatosan pallérozni kell. Lehetőleg minél korábban elkezdve. Egyébként a legtöbb gyerek szereti a gondolkodtató játékokat, társasjátékokat, szeret sakkozni. Erre lehet építenünk, ezt kellene jobban kihasználnunk. A legtöbb természettudománynak lényegesen jobbak a lehetőségei a matematikánál, hiszen látványosabb, kézzel foghatóbb dolgokat mutathatnak. A matematikáról nehéz figyelemfelkeltően beszélni, de nem lehetetlen, törekedni kell rá, ez nagyon fontos feladat.

S.Gy.: Arra gondolok, ha politikusaink kicsit matematikusként is gondolkoznának, ez mindannyiunknak hasznára válhatna. 

L.L: Remélné az ember. Persze, ilyenkor előjönnek a régi emlékek. Visszagondolok a nyolcvanas éveinkre, amikor a matematikusok is tudtak poklot teremteni maguk körül, nem kellett ahhoz politikusnak lenniük.

S.Gy.: Matematikatanításunk színvonalát, tehetségkiválasztó  rendszerünket (Középiskolai Matematikai és Fizikai Lapok, tanulmányi versenyek) világszerte jónak tartják, elismerik. Miként értékeled az iskolarendszerünkben az elmúlt években zajló változásokat?

L.L: Matematikaoktatásunknak különböző szintjei vannak. Hazánkban még fennáll a színvonalas matematikatanítás lehetősége. Komoly hagyományaink vannak, amire építhetünk. Úgy gondolom, a jó iskoláinkban a jó diákok jó oktatást kapnak.

S.Gy.: Ilyen középiskoláink, optimistán számolva sem lehetnek tíz százaléknál többen.

L.L: Erről van szó, ez a nagy probléma, hogy a diákok maradék kilencven százaléka milyen oktatásban részesül. Sajnos, vannak aggasztó jelek. A felsőoktatásban bevezetett Bologna-rendszer nem illik a tanárképzéshez. Korábban, másokkal ellentétben, én elképzelhetőnek tartottam, hogy sikerülhet jól megoldanunk az összeegyeztetésüket. Ma már látom, ezt nehéz megvalósítani. Kusza, merev, áttekinthetetlen a rendszer, rosszabb az előzőnél. Ma, az adminisztratív akadályok miatt nehezebb tanárszakon végezni, mint korábban. Nem szerencsés, hogy az érettségire, az egyetemi felvételire készülő fiatal előtt nem jelenik meg a tanári pálya. A középiskolát végzett diák ma nem jelentkezhet tanárszakra. Pedig sok tehetséges fiatal választaná a tanári életpályát, hiszen példaképként előttük álltak a jó tanáraik. A Bologna-folyamat eredményeként most esetleg három év múlva beiratkozhat valamilyen tanári mesterszakra. Számára ez sokkal kevésbé vonzó, ezért azután egyetemeink tanár szakos hallgatóinak száma rohamosan csökken. Nagy baj lesz ebből néhány év múlva.

S.Gy.: Matematikatanításunk hagyományaiból mit kellene feltétlenül megőriznünk?

L.L: A gondolkodásra, a problémamegoldásra való nevelést. Jó, ha kis bizonyítást már az általános iskolában is megismer a gyermek. Korán meg kell mutatnunk nekik a matematika érdekességeit, szépségeit, hogy az arra fogékony gyerekekkel megszerettessük tudományunkat. 

S.Gy.: Fiatokban, Lovász Laciban matematikai tehetséget láttatok, ezért régi iskolátokba, a „Fazekasba” írattátok be. Vagyis, feleségeddel, Katival együtt bíztatok matematikaoktatásunk még meglévő erejében?

L.L: Természetesen bíztunk benne, és a Fazekas Mihály Fővárosi Gyakorló Gimnáziumot is sokra tartjuk.

S.Gy.: Fiatok a legutóbbi Nemzetközi Matematikai Diákolimpián aranyérmet szerzett. A család hogyan értékelte az abszolút sorrendben is előkelő helyezését?

L.L: Büszkék voltunk rá.

S.Gy.: Amikor a verseny után a diákolimpikonjainkkal beszélgettünk, fiadnál felvetődött, mondtuk is neki, már nem szárnyalhatja túl édesapját, hiszen te három aranyérmet nyertél a matematikai diákolimpiákon. Laci szerényen, de önbizalommal válaszolt: „Nem baj, talán lesz még olyan terület, ahol ez sikerülhet”. 

L.L: Remélem, így lesz.