Staar Gyula: Legutóbb mikor törted a fejed matematikai problémán? Emlékszel az időpontra?

Lovász László: Hogyne emlékeznék! Idefelé jövet a Természet Világa szerkesztőségébe, a Kossuth Lajos utcában vártam az autóbuszra. Ott volt időm gondolkozni.

S.Gy.: Min töprengtél?

L.L.: A Microsoft kutatóintézetének matematikai csoportjában nagyon érdekes téma körvonalazódott. A gráfok bizonyos pontokból és azokat összekötő élekből állnak. Sok mindent leírhatnak, hálózatokat, társadalmi kapcsolatokat… Manapság egyre több helyen felbukkannak hatalmas méretű gráfok, ilyen például az internet. A rájuk vonatkozó érdekes kérdések egészen más jellegűek, mint amilyenek a hagyományos – például az elektromos – hálózatokkal kapcsolatban felvetődtek. Globális kérdések, melyek átlagokat firtatnak. Átlagban hány link, hiperlink van egy ember honlapján? Az internetes hálózatban melyek a legtöbb kapcsolattal rendelkező, legnagyobb fokú csúcsok? Nagyon fontos választ adni ezekre a gyakorlati kérdésekre, mert sok mindent befolyásolhatnak. Például azt, hogy az internetes keresőprogram mennyi idő alatt fut végig az egész rendszeren. Engem, a matematikust az érdekel, hogy ezen az új területen miként fogalmazhatók meg értelmes kérdések, milyen általános állítások mondhatók ki.

S.Gy.: A matematika milyen eszköztárával ragadható meg ez a feladat?

L.L.: Sokszor könnyebb egy rendszert, ami valójában apró elemekből áll, első leírásként folytonosnak tekintenünk. A mi nagyságrendünkben folytonosnak érezzük a rugalmas gumiszalagot, pedig tudjuk, hogy egymástól bizonyos távolságban lévő atomokból áll. Szokták mondani: a végtelen a nagyon nagy végesnek egy közelítése. Ebben az értelemben tekinthetjük-e végtelennek az internetet?

Az internet ugyan nehéz dió, de más esetekben már sikerült kidolgoznunk ilyen végtelenné tett modellt. Ha bizonyos gráfok egyre növekednek, akkor egy idő után tekinthetjük-e azokat végtelen objektumoknak, s ily módon kapunk-e róluk több információt? Úgy tűnik, a válasz: igen. Sikerült bizonyos sorozatoknak ilyen végtelen határértékét bevezetni, és azt úgy megfogalmazni, hogy ennek a végtelennek a vizsgálatából értelmes válaszokat kapjunk.

Ezen a kérdésen töprengtem most, útközben. Mindez azért is izgalmas, mert összejönnek a diszkrét matematika, a gráfelmélet és a kombinatorika kérdései a folytonos matematikával, az analízissel. Bizonyos diszkrét matematikai eredmények következnek az analízisben megismertekből, és fordítva.

 S.Gy.: A  matematika Lovász László eddigi életintervallumában miként változott?

 L.L.: Előnyére változott. Sokkal konkrétabb irányba mozdult el. A 20. század közepén a matematikában az absztrakció hatása erősödött.

A francia Bourbaki-iskola képviselői a matematikát bizonyos – általuk definiált – skatulyákba igyekeztek berakni. Nem volt haszontalan a munkálkodásuk, ezekből a ketrecekből azonban mára kinőtt a matematika. Először a diszkrét matematika feszegette a struktúrájukat. Más irányba nőtt a valószínűség-számítás, az algoritmusok elmélete és a számítógép teremtette új tudományterület. A hetvenes évektől nagyon sok fiatal választotta életpályának a számítógép-tudományt, amit a matematika részének tekintett. Az algoritmuselméletben, a bonyolultságelméletben mély eredmények születtek, sok nehéz problémát megoldottak. Mindez visszahatott a klasszikus matematikára, megváltoztatva az összképet. Egyre elfogadottabbá vált, hogy a matematikát nem lehet elefántcsonttoronyban művelni, kizárólag a belső fejlődési szabályait figyelembe venni. Azzal együtt, hogy ennek az ellenkezője sem jó. Tehát annak is megvan a szerepe, hogy az eredményeket megértsük, feldolgozzuk és egységes rendszerbe illesszük. 

S.Gy.:  A matematikát, a matematikusok világát hogyan formálta a számítógépek ily mértékű térhódítása?

L.L.: Az új eszköz fokozatosan átalakítja a matematikusok tevékenységét és gondolkodásmódját. Tudományterületünkön belül kezd meghonosodni egyfajta kísérleti matematika. A legnagyobb matematikusok mindig is kísérletezgettek. Közismert, hogy Gauss a prímszámtételt egyszerűen sok számolásból sejtette meg, és csaknem száz év telt el, míg bizonyították. A számítógépek lehetővé teszik, hogy a matematikus különböző számelméleti vagy dinamikus rendszerekre vonatkozó megfigyeléseket tegyen, olyanokat, melyeket a nagyságrendi korlátok eddig elzártak előle. Ezeket az észrevételeket azután hol könnyű, hol nagyon nehéz bebizonyítani. A számítógépekkel segített hipotézis felállítása értékes új eleme lett a matematikának.

S.Gy.: Nézzük meg e kérdéskört a másik oldalról: a matematika mit adott, mit ad a számítógépes világnak?

L.L.: Nem szeretném ebben lebecsülni a mérnökök és a fizikusok szerepét, de a számítógépet azért a matematikusok alkották meg. Gondolkodásunkat előkészítették arra, miként készíthetünk olyan gépet, mely minden elképzelhető programot végrehajt. Gondolj csak Alan Turing angol matematikusra, aki megalkotta a matematikai gép fogalmát, vagy Neumann Jánosra, a programozható számítógép elvének kidolgozójára. A számítástechnika ezen kívül például készen kapta a matematikusoktól a Boole-algebrát. A számítógéprendszerek biztonságát ma legnagyobb részt olyan programok őrzik, melyek a prímszámok több mint kétezer éves elméletén alapulnak. Ezen kívül léteznek programok, melyek a számelmélet eszközeit használják, például az elliptikus görbéket, melyeket Andrew Wiles is alkalmazott a Fermat-sejtés bizonyításánál.

S.Gy.: A matematikus és a számítógép kapcsolatában azért, ugye, még a matematikus a „főnök”?

L.L.: A számítógép egyre több információval segíti a matematikust és ez a szimbiózis egyre erősebb lesz. Ugyanakkor, azt hiszem, még hosszú ideig a matematikus teszi fel a kérdéseket, a számítógép legfeljebb segíti őt a megoldásban. Tipikus példa erre a négyszíntétel immár csaknem harminc éves bizonyítása, ahol sok esetet nagyon alaposan végig kellett nézni. Erre jó volt a számítógép. ...

S.Gy.: Említetted, hogy a világ csaknem összes számítógépes rendszerének, így a bankoknak a biztonsága is, a prímszámokon, a nyilvános kulcsú titkosításon alapul. Létezhet gyors algoritmus ennek a rendszernek a feltörésére?

L.L.: Ha van fontos kérdése a matematikának, akkor ez az! Vajon egy ezerjegyű számot fel lehet-e bontani hatékonyan prímtényezőire? Ha valaki megbirkózik ezzel a feladattal, akkor kérdésessé teszi a számítógépek biztonságát, aminek beláthatatlan következményei lennének. Összeomlana a rendszer. Nem hiszem, hogy ez egyik napról a másikra bekövetkezhet. A számítógépek biztonsága azon múlik, hogy van egy jókora rés azon két feladat bonyolultsága között, hogy mennyi idő alatt ellenőrizhetjük egy számról, prímszám-e, illetve ha már tudjuk róla, hogy összetett szám, akkor annak mik a prímtényezői. Ez utóbbi kérdés megválaszolása sokkal nehezebb. Amíg ez a hézag létezik, addig beállíthatjuk úgy a rendszert, hogy az egyik feladat megoldható, a másik már nem. Alapvető fontosságú lenne valamilyen bizonyítást adni arra, létezhet-e olyan algoritmus, mely reális időn belül megoldja a nagy összetett számok prímtényezőre bontásának problémáját. Ettől azonban még messze vagyunk. Nem hiszek abban, hogy hirtelen olyan algoritmust találnak, amely képes feltörni a mai rendszert. Sokkal valószínűbb, hogy valaki publikál egy algoritmust, majd azt kemény munkával évekig javítgatják, végül eljutnak olyan szintre, hogy áttörjék vele a falat.

S.Gy.: Reménykedjünk, hogy publikálják. 

L.L.: Bízom benne, s akkor a bankok is értesülnek a bajok közeledtéről, és marad néhány évük arra, hogy átálljanak biztonságosabb rendszerre.

S.Gy.: A számítógépek világa az elmúlt fél évszázadban nagyot változott, óriási fejlődésnek voltunk tanúi. De látni már a korlátokat is. Véleményed szerint a továbblépéshez milyen út kínálkozik: a mai gépek összesítése, rendszerbe kapcsolása, avagy új elveken, új technológiával építeni számítógépet?

L.L.: Matematikus vagyok, nem számítógépmérnök. A kérdésedet mégsem szeretném megkerülni. Bár a jelenlegi fejlődés hátterében ott áll a matematika, az előrelépések nagyobb része a miniatürizálással összefüggő mérnöki és fizikai teljesítmény. Úgy érzem, a hardverben jelen pillanatban is sok kihasználatlan lehetőség rejlik. Ugyanez mondható a szoftverre. Adataink tárolása sincs tökéletesen megoldva: nehézkes, nem igazán átlátható. Biztosan sokat tehetnénk azért, hogy ezek javuljanak.

Ismerek embereket, akik hisznek a kvantumszámítógépben, keményen dolgoznak azért, hogy megalkossák. Még ha ez létre is jön, fő felhasználási területe valószínűleg a tudományos célú fizikai szimuláció lesz. Kérdés, eléri-e majd a mindennapi felhasználás szintjét.

Az viszont biztosan igaz, hogy a számítógépek egyetlen nagy rendszerbe kapcsolása folytatódik, itt még sok mindent elérhetünk. Ha jól belegondolsz, ma 3-4 különböző információs rendszerünk van: a telefon, a mobiltelefon, a televízió, az internet. Ezek között vagy nincs kapcsolat, vagy csak nagyon nehézkesek. Előbb-utóbb azonban egybeépülnek. A nagy vállalatok versenyfutása ma ezért folyik: melyiknek sikerül ezt előbb és legjobban megvalósítania.

S.Gy.: Annak idején egy jónevű egyetemet hagytál ott a nagy világcég, a Microsoft kedvéért. Tudom, hogy nagyon szeretsz oktatni, kiváló előadó vagy. Nem hiányoztak neked a hallgatóid?

L.L.: Amikor a Microsofthoz mentem, ott többen megesküdtek, hogy náluk olyan a légkör, mint egy egyetemi tanszéken. Ez nagyjából igaz volt. A Microsoftnál is kiélhettem az oktatásigényemet. Egyik erősségünk a sok frissen doktorált fiatalember, felerészben ők alkották a csoportunkat. Ők még nagyon sok mindent meg akartak tanulni. Rajtuk kívül háromhónapos részidőkre doktoranduszok jöttek hozzánk, okosak, értelmesek, nekik annyit magyarázhattam, amennyit csak akartam. Seattle egyetemén is tanítottam, s amikor itthon voltam, a mi egyetemünkön is.

Staar Gyula: Mitől lett olyan sikeres a Microsoft?

L. L.: Ennek biztosan számos összetevője van, az egyik talán az, hogy a Microsoft nagyon informális hely. Ott, ha megírt az ember egy cikket, azt bármely folyóiratnak elküldhette, senkitől nem kellett engedélyt kérnie. A legtöbb ipari kutatóintézetben ez nincs így. Persze, azért ott is nagyon vigyáznak arra, hogy bizonyos információk ne kerüljenek ki az intézményből. Az IBM-mel szemben azt is előnyeként értékelem, hogy régebben főleg szakemberek, programozók, matematikusok voltak a vezetői. Olyan hangulat uralkodott, hogy mi mind kollégák vagyunk. Ez mára kezd megváltozni. A Microsoft ma már nagyra nőtt és ugyanolyan a Harvardról kikerült profi menedzserek vezetik, mint az összes többi céget. 

S.Gy.: Már több mint öt éve dolgozol a Microsoftnál. Ha nem titok, matematikusként mivel segítetted a munkájukat?

L.L.: Elmondom az egyik problémájukat. Nem volt elég jó algoritmusuk arra, hogy nagy hálózaton megtalálják a leghatékonyabb kapcsolatrendszert bizonyos kitüntetett csúcsok között. Amit ráadásul 10-15 percenként újra kellett számolni. Matematikusként gondolkozva, matematikai eszközökkel találtunk (feleségemmel, Vesztergombi Katival, és Van Vu volt tanítványommal), a meglévőnél sokkal jobb algoritmust. Elkészítettük, felhasználták, a rendszer része lett. Sikeres alkalmazásnak bizonyult. 

S.Gy.: Neumann János, ha élne, jól érezné magát köztetek?

L.L.: Biztosan elemében lenne, hiszen nyitott társaságba kerülne, akik szívesen osztják meg gondolataikat egymással, és örülni tudnak mások jó ötletének.

S.Gy.: Milyen problémát mondanál el neki elsőként?

L.L.: Azt hiszem, nagyon érdekelné, amiről az elején beszéltünk: a végtelen határértékével kapcsolatos kérdéskör. Neki is voltak eredményei érdekes végtelen objektumok véges esetek határértékeként történő vizsgálatában.

S.Gy.:  Neumann Jánosnak máig idézett írása a Túlélhetjük-e a technikát? A 21. század elején pedig azt kérdezhetjük: túlélhetjük-e az információrobbanást? Mit kell tennünk, amikor ránk zúdul a hatalmas információtörmelék, bonyolódó rendszerek hálója fon be egyre jobban?

L.L.: Azt hiszem, intézményesebbé kellene tennünk az információ feldolgozását. Tekintsük csak a matematikai eredmények közzétételét. Évente százezerszámra jelennek meg cikkek, ezekből kellene kiválogatnom azokat, amelyekről feltétlenül tudomást kell szereznem, legalább az eredményt megnéznem. Ezért azután egyre több az olyan fórum, ahol az eredmények másodlagos feldolgozása történik. A legtöbb konferencián például nem a saját eredmények elmondása a fő napirendi pont, hanem az összegzéseké. Egy-egy terület szakértői áttekintik, hogy mi történt tudományágunkban az elmúlt néhány évben. Mik a fő kérdések, milyen gondolatösvények mentén folynak kutatások? Az áttekintő tanulmányok, ismertető előadások külön műfaja alakult ki.

S.Gy.: A Természet Világa Matematika különszámában így fogalmaztál: „Nem akarok az elektronikus publikálás lehetőségeiről és kelepcéiről többet beszélni, de nagyon valószínű, hogy hatásukra teljesen másképp fogunk a jövőben cikket írni, sőt kutatni is.” Arra kérlek, most beszélj ezekről a lehetőségekről és kelepcékről.

L.L.: Manapság egyre nagyobb egységekbe, részvénytársaságokba olvadnak a tudományos kiadók. Profitot kell termelniük, ugyanolyan kulcsok szerint, mint a nagy példányszámú bulvár- vagy szexlapoknak. A szaklapok ezért egyre drágábbak lettek. 

Ma az internetet fönntartók szolgáltatják a tudományos információ 99 százalékát. Mire egy matematikai folyóiratban megjelenik valamely eredmény, már régóta ismerjük az internetről: a kutatók saját honlapjairól vagy a preprint-szerverekről. A legnevezetesebb ilyen szerver az amerikai kormány által fönntartott „arXiv”. Matematikából, fizikából, számítógép-tudományból szinte minden cikk, melyet szerzője már véglegesített, oda fölkerül. Ahhoz bárki hozzáférhet. Ha kéri, a szolgáltató hetenként megküldi neki az őt érdeklő cikkek listáját, csak a kutatási témáját kell megadnia. Nem kell érte fizetnie. 

S.Gy.: Ezzel bizony nehezen versenyezhetnek a hagyományos folyóiratok. Mégis, mi lehet a szerepük ebben a megváltozott világban?

L.L.: A nagy folyóiratok ma is fontos szerepet töltenek be a tudomány világában. Minőségvédelmet adnak, szakmai lektorálásukkal egyfajta minőségi tanúsítványt állítanak ki arról a cikkről, amelyet bennük megjelentetnek. Kiszűrik a hibákat; amit leközölnek, abban jobban megbízhatunk. A matematikai cikk lektorálása nagyon nehéz, sokszor évekig elhúzódhat. A vezető matematikai folyóiratokban megjelenő cikkek nagy súllyal esnek latba a kutatók előléptetéseinél. Ugyanakkor el kell ismernem, a közvetlen információk, melyeket kutatásaimban felhasználok, többnyire nem ezekből a folyóiratokból származnak.

A folytatás itt olvasható.