Mindig szerettem a fizikát, a középiskolában jó fizikai feladatmegoldó voltam, az egyetemen érdeklődéssel hallgattam a fizika előadásokat, máig is szívesen veszek kézbe egy-egy fizika könyvet.

Nem mondhatnám, hogy minden matematikus így van ezzel; a matematikusok közül sokan nem szeretik a fizikát. Zavarja őket a pontatlanság, az, hogy a fogalmak egy részét definiáljuk (ahogyan az a matematikában történik), más részüket azonban „érezni” kell. A matematikust a matematikai összefüggések érdeklik, a bizonyítás gyakran fontosabb, mint a tétel.

Egy olyan állítás, amelyről biztosan érezzük, hogy igaz, de nem tudjuk bizonyítani, a matematikus számára a legnagyobb kihívást jelenti (például: végtelen sok ikerprím van). Egy hasonló állítást a fizikus, éppen ellenkezőleg, olyan ténynek tekint, amit már „tudunk”, nem érdemes arra időt vesztegetni, hogy ezt az axiómákból levezessük. Őt a valódi világ jelenségei érdeklik, ezek megismeréséhez, leírásához a matematika csak egy eszköz több más között (mint például kísérletek, vagy számítógépes szimuláció). Csodálatos az a matematikai intuíció, amit ebből nyer. (De hozzá kell tennem, hogy megfordítva: azok az eredmények, melyekhez a matematikusok a matematika belső logikája alapján jutnak el, igen értékesek tudnak lenni a fizika számára.)

A fizika a 17-19. században a matematikai fogalmak, problémák fő forrása volt. Az analízis alapfogalmai és a mechanika alapfogalmai között szinte tökéletes megfeleltetés van: a differenciálhányados megfelelője a sebesség, stb. A legjobb matematikusok (Newton, Euler, a Bernouilli-ak, Gauss) egyben kiváló fizikusok is voltak, és viszont. 

A 20. században a számítógéptudomány jelentette azt a külső forrást, amelyből a matematika a legtöbb ihletet: fogalmat, problémát, új szemléletet tudta meríteni. Az, hogy a matematika külső forrása megváltozott, azzal is járt, hogy más ágak kezdtek igen gyorsan fejlődni: ilyenek a diszkrét matematika, az információelmélet, a bonyolultságelmélet. Nagy szerencsémnek tartom, hogy ebben a korszakban kezdtem el dolgozni; így tanúja lehettem annak, ahogy az algoritmusok bonyolultságának elmélete behatolt a matematikába, és azt gyökeresen átalakította.

Sokan jósolják, hogy a 21-ik században a biológia lesz majd az a tudomány, mely a többinek is hajtóereje, legfőbb inspirálója. Meg kell értenünk, hogyan fejlődik ki egy élőlény a genetikus kódból, hogyan válik a környezetével hihetetlen hatékonyan kölcsönható lénnyé; azonban nincsenek meg azok a matematikai struktúrák, elméletek, amelyek ennek a megértését lehetővé tennék.

Úgy tűnik, mintha a fizika háttérbe szorulna, legalábbis a matematikus szempontjából. De a fizikusok nem hagyják magukat! A tudományos kutatás és a mérnöki tervezés sok területén találkozhatunk hatalmas hálózatokkal, matematikai nyelven ,,gráfokkal”. Ilyen hatalmas hálózatok az internet (a számítógéptudomány egyik fő terméke és egyben vizsgálati tárgya), az agy (az élővilág egyik legrejtélyesebb terméke), különböző társadalmi hálózatok, stb. Más biológiai rendszerek leírásának is fontos eleme kell, hogy legyen egy-egy ilyen hatalmas hálózat – akár egy szervezetet alkotó sejtek, akár egy terület élővilágát alkotó fajok bonyolult kölcsönhatását akarjuk megérteni. Hogyan képzeljünk el egy nagyon nagy hálózatot? Milyen kérdéseket lehet értelmesen feltenni? Hatalmas hálózatok a fizikusok számára sem ismeretlenek: például egy kristályrács, bármilyen egyszerű szerkezetű is, igen nehéz kérdések forrása. Magyar fizikusok, Albert Réka és Barabási Albert-László mintegy 10 éve olyan internet-modellt fogalmaztak meg, mely a kutatások hatalmas hullámát indította el. 

A matematikusok se jöttek üres kézzel a party-ra. A legtöbb nagy hálózat nem terv szerint, hanem véletlenszerűen jön létre, így nem meglepő, hogy igen fontos szerepet játszik ezen a területen a véletlen gráfok elmélete, amelyet Erdős Pál és Rényi Alfréd kezdeményeztek az 1960-as években.

A nagyon nagy gráfok megértésének alapvető eszköze Szemerédi Endre Regularitási Lemmája, amely azt mondja ki, hogy egy nagyon nagy gráfot mindig felbonthatunk viszonylag kevés részre, amelyeken a gráf olyan, mintha véletlen lenne (és így Erdős és Rényi elmélete alkalmazható).

Szemerédy Endre

Ebben a kérdéskörben dolgozva találkoztam újra fizikusokkal: sokat kutattam együtt többekkel a Microsoft Kutatóintézetében Redmondban (Seattle közelében). A matematikában sokszor közelítjük a végtelent végessel: ezzel indul az analízis. Talán kevésbé nyilvánvaló az a gondolat, hogy megfordítva, a nagyon nagy végeset sokszor érdemes végtelennel közelíteni, végtelennek elképzelni. Pedig ezzel a módszerrel is igen sokszor találkozunk. A fizika számos ágában (hidrodinamikában, a rugalmas testek elméletében, stb.) úgy gondolunk az anyagra, mintha az végtelen (sőt, nem megszámlálhatóan végtelen) sok pontból álló folytonos közeg volna – holott jól tudjuk, hogy véges számú atomból áll. A véges számú atomra „elvileg” felírhatnánk Newton mozgástörvényeit, de megoldani már csak az atomok nagy száma (és a kezdeti feltételek meghatározhatatlansága) miatt sem volna lehetséges. Ezért sokkal többre megyünk azzal, ha a végtelen, folytonos anyaggal közelítünk, amire differenciálegyenleteket írhatunk fel. Ezek megoldása sem könnyű feladat, de legalább el tudunk indulni.

Lehet-e a fent említett, nagyon nagy, bár véges gráfokat úgy elképzelni, mint egy végtelen, folytonos objektumot? Ez igen ígéretes kutatási kérdésnek látszik, amivel sokat foglalkoztunk az utóbbi időben. Egyik fő munkatársam volt Szegedy Balázs, aki ugyancsak a Fazekasban végzett (csak sokkal kevésbé régen, mint én); ő matematikus, más munkatársaim (németek, amerikaiak) azonban fizikusok voltak.

Lovász László és Szegedy Balázs

Sikerült egy olyan konstrukciót kidolgoznunk, amely olyan értelemben közelít egy nagy gráfot, mint ahogyan egy tömör kocka közelít egy kocka alakú kristályt. Ebben a munkában a fizikusok módszerei, amelyekkel pl. egy kristály hőtani tulajdonságait az atomok közti kötések kombinatorikus tulajdonságaiból levezetik, igen fontos szerepet játszottak. A nagy hálózatok elméletének ilyen módon a kristályrácsok fizikai vizsgálata egy igen fontos speciális esetének tekinthető.

Persze ez nagyon leegyszerűsített leírás, és eddigi eredményeink igen sok kívánnivalót hagynak maguk után; a legérdekesebb, gyakorlatban előforduló gráfokra, az internetre, az emberi agyra nem alkalmazhatók (vagy pontosabban mondva, nem sok érdekeset mondanak). De azért biztatóak, és sok nehéz, de igen érdekes matematikai problémához vezettek már eddig is (és engem, mint matematikust, egy érdekes matematikai probléma önmagában is nagyon érdekel).

Hová tartozik ez a kutatás: a fizikához, matematikához, számítógéptudományhoz, vagy éppenséggel a biológiához? Talán nem ez a lényeg, hanem hogy a világ tele van izgalmas, fontos tudományos problémákkal.