Az amerikai matematikus Andrew Granville, a számelmélet neves tudora és sokan mások is meglepődtek a Stanford egyetem két kutatója által márciusban közzétett eredményen. „Lebénultam” – mondja Ken Ono, aki már számos számelméleti sejtést bizonyított be. „Valóban gyönyörű eredmény” – kommentálja James Maynard, az aritmetika ifjú titánja. E sok meglepődés és dicséret tárgya nem más, mint a prímszámokban „elrejtett kód” felfedezése. 

Ezek a csak 1-gyel és önmagukkal osztható számok az aritmetika vitathatatlan sztárjai, hiszen ők az „elemi részecskék”: minden 1-nél nagyobb természetes szám egyértelműen felírható prímszámok szorzataként (például 14 = 2*7; 15 = 3*5; 16 = 2*2*2*2). 

2, 3, 5, 7, 11, 13…  9923, 9929, 9931, 9941, 9957, 9973… Mivel nem ismeretes semmilyen eszköz annak meghatározására, hogy hol a következő prímszám, mindenki meg volt győződve arról, hogy a prímszámok sorozata csak a véletlennek engedelmeskedik.

Véletlenül fedezték fel

Mert valójában e szentséges lista valamilyen struktúrát rejt: olyan részleges rendet, amely évszázadokon át elkerülte a tudósok figyelmét. Még maguk a felfedezők sem tudnak napirendre térni felette: „Egészen meg voltunk döbbenve, amikor először észrevettük a jelenséget” – nyilatkozza Robert Lemke Oliver (Stanford Egyetem), aki Kannan Soundararajan mellett a „Tendencies in the distribution of the prime numbers” cikk társszerzője.

Kannan Soundararajan és Robert Lemke Oliver

Felfedezésük igen egyszerűen ismertethető: kicsi az esélye annak, hogy két egymást követő prímszám ugyanarra a számjegyre végződjön. Ennyi az egész, a Matematika nevű bolygót mégis megrengette.

Az nyilvánvaló, hogy 2 és 5 kivételével minden prímszámnak 1-re, 3-ra, 7-re vagy 9-re kell végződnie, hiszen a párosok kiesnek, az 5-re végződő számok pedig oszthatók 5-tel. Mostanáig a matematikusok úgy hitték, hogy egy véletlenszerűen kiválasztott prímszám ugyanolyan eséllyel (25%) végződhet 1-re, 3-ra, 7-re vagy 9-re. De nem: a két tudós kimutatta, hogy egy véletlenszerűen kiválasztott, 1-essel végződő prímszámot csak 18% valószínűséggel követ közvetlenül egy másik 1-re végződő prímszám a várt 25% helyett. További érdekesség: egy 1-re végződő prímet 30% eséllyel követ 3-ra, 30%-ossal 7-re, de csak 22%-ossal 9-re végződő prím.

Van tehát valamilyen rejtett struktúra ebben az aritmetikában. Mintha a prímszám utolsó számjegye taszítaná a következő prímszám utolsó számjegyét. Az 1-es taszítja az 1-est, a 3-as a 3-ast, a 7-es a 7-est, a 9-es a 9-est. Olyan jelenség ez, amelyet már régen felfedezhettek volna egyszerű statisztikai elemzéssel. „A legtöbben, akiknek megmutattuk az eredményeinket, rögtön szaladtak a számítógépükhöz, hogy ellenőrizzék valami programmal” – mosolyog Robert Oliver.

Erre a „képromboló” eredményre a Stanford kutatói szinte véletlenül bukkantak rá.  „Munkatársamnak, Kannan Soundararajannak egy előadás adta az ötletet. Ez arról az antiintuitív jelenségről szólt, hogy egy fej-írás sorozat eléréséhez átlagosan négy pénzfeldobás kell, fej-fejhez viszont hat.” (Próbálják ki!) Soundararajanban felötlött, igaz-e ez a prímszámokra is, tehát hogy két egymást követő prímszám ugyanolyan eséllyel végződik-e azonos számjeggyel, mint eltérővel?

Taszító hatás

A válasz érdekében a két tudós végigvizsgálta az első ezer prímszámot, és első alkalommal bukkantak rá az utolsó számjegyek közötti „taszító hatásra”. Majd jóval nagyobb mintán folytatták, és azt állapították meg, hogy a jelenség továbbra is fennáll. Mintha egy „erő” vagy egy ismeretlen mechanizmus működne! „Amikor ezt a jelenséget észleltem, olyan benyomásom támadt, mintha a prímszámok felkeltek és járni kezdtek volna. Igen különös volt” – emlékszik vissza Robert Oliver.

Robert Oliver és Soundararajan ezután rátért a komolyabb dolgokra. Nem elég ugyanis észrevenni a jelenséget, hanem igazolni is kell, hogy az a végtelen sok prímre is igaz! 

A szerzők által kidolgozott bonyolult igazolás egy sejtésből indul ki, méghozzá a Hardy-Littlewood-féle prímszám-n-esek sejtéséből, amelyet a matematikusok általában igaznak fogadnak el, s amely különböző „távolságban” lévő prímszámok tulajdonságait írja le. 

A sejtés szól az egymástól 2 távolságra levő prímekről (pl. 41-43), az egymástól 4 távolságra levőkről (pl. 43-47), az egymástól 6 távolságra levőkről (pl. 73-79). Foglalkozik a tripletekkel is (pl. 2-4 távolság: 41-43-47, 2-6 távolság: 29-31-37 v. 71-73-79), de kvadrupletekkel, kvintupletekkel stb. is. Sejtéseket mond ki valamennyinek a statisztikai sajátságairól.

A két matematikus úgy alkalmazza ezt az eszközt, hogy kiköti, egymás utáni prímszámokról legyen szó. Ez munkájukban az új. 

Határozottan érdekes ügy. Ugyanis a Hardy-Littlewood-féle sejtésre mindig úgy tekintettek, mint ami a prímszámok listájának a véletlen jellegét fejezi ki. Itt ezek szerint az ellenkezőjét bizonyítja!

Lehet, hogy ez csak az első lépés egy mélyebb törvény felé? Amellyel generálni is lehetne a prímszámokat? 

Robert Oliver ebben kételkedik: „Nagyon tartózkodó lennék, ha egy földönkívüli a prímszámok generálására szolgáló formulával érkezne ide. Ott van ugyanis a híres Riemann-hipotézis, amely azt támasztja alá, hogy noha a prímszámok nem teljesen kaotikusak, bizonyos mértékű véletlenszerűség igenis van bennük”.

Olivier Ramaré prímszám-specialista (Aix-Marseille-i Egyetem) szerint "előfordulhat, hogy valaki egyszer majd megtalálja ezt a formulát. De a matematikusok többsége ezt nem hiszi. Azt gondoljuk: a természetükben benne van a meghatározatlan.” A két kutató eredménye ellenére a prímszámok lényegéhez hozzátartozik a kiismerhetetlenség, és generálásuk törvényszerűségei csak a valószínűségek alig áttetsző fátylán át ismerhetők meg. 

De ebben a nem jó megvilágítású világban mégis megjelent most egy váratlan látkép. A feltárás még csak most kezdődik.

Forrás: nature.com

Szerk.: Jakabffy Éva