Dienes Zoltán Pál életet lehelt a matematikatanításba, s lényegében erre az egy ügyre tette fel életét. Noha ő maga messze nem volt együgyű. Elméleti matematikus és világutazó; költő és kutató; de mindenekelőtt zseniális oktató és mindenekfelett hiperkreatív elme. Most, hogy akadémikusaink új alapokra kívánják helyezni a tantárgyak tanítását, érdemes megidéznünk a matematika ama „reformkorát”, amelynek szelleme oly szerencsésen találkozott az ifjabbik Dienes fiú világmegváltó ambícióival.

Dienes Zoltán

Miért nem érez mindenki úgy, ahogy én? – nagyjából ez a rácsodálkozás helyezte Dienes gondolatait arra a pályára, amelyen azután mindvégig megmaradtak. Két matematikus szülő gyermekeként a matematikában magától értetődően örömét lelve ráébredt, hogy ebben az örömben csak az emberek kisebbségével osztozik. Persze más matematikusok is felismerik saját különleges, vagy különc voltukat. De általában nem sokat foglalkoznak ezzel; lekötik őket tudományuk szépségei. Dienest azonban nem hagyja nyugodni a kérdés, hogy ami számára szép és izgalmas, az másoknak miért ijesztő és unalmas? Talán az ő elméjük másképp épül fel. S ha így van, akkor számukra a matematikát is egész másképp kell felépíteni. Akár építőkockákból.

Dienes Zoltán, Dienes Valéria, Dienes Gedeon

A tanulóévek intermezzója után Dienes lényegében visszatért ahhoz, aki gyermekként volt: a játékos, sőt játék-alkotó énjéhez. Apja, Dienes Pál matematikus írta róla 5 éves korában Babits Mihálynak: 

„A kicsi, az egy kis tatár és nagy játékos. Saját részéről a püfölést tartja a jogrend legbiztosabb alapjának. Nekimegy akár az anyjának is, teljesen zabolázhatatlan. Mégis mindenütt szeretik, különösen a gyerekek, mert mindig kieszel valami furcsa játékot. Gida ellenben a „legjobb” fiú akar lenni. Máris érzelmi viharai vannak (7,5 éves) szerelmi ügyekkel. Neki szüksége van társadalomra. Azt hiszem, a másikra meg szüksége lesz a társadalomnak. Látod ilyen az apa, fantáziál.”

Később a 10 éves Zolti és bátyja, a majdani nyelvész és tánctörténész Gida (Gedeon) külön nyelvet alkotnak maguknak, a „sazlát”. Szótárat és nyelvtankönyvet is készítenek hozzá. Térképeken saját országaikat rajzolják meg, akkurátusan kidolgozva azok út- és vasúthálózatát, sőt menetrendjét is. Vonataikat valós időben utaztatják, lehetőleg akkor, amikor ők iskolában tartózkodnak. Országaik sokszor csaknem háborúba keverednek egymással.

Dienes Gedeon, Dienes Valéria, Dienes Zoltán

E túláradó alkotókedvnek megvannak a maga gyökerei a genetikában, a szülők sajátos életvitelében, a kalandos gyermekkorban. A későbbi reformpedagógus és testvére maguk is egy pedagógiai reformnak köszönhetik életüket: az 1900-as évek kezdetén hallotta meg egy húszéves lány, Geiger Valéria, hogy már nők is mehetnek egyetemre. Matematika-fizika szakra jelentkezett. Az egyetem folyosóin gyakran látták angol filozófiai könyvekkel a kezében, materializmusról vagy metafizikáról vitatkozva – ezt a képet örökítette meg Halálfiai című regényében Babits Mihály, egyébként Valéria másod-unokatestvére. A híres matematikus, Fejér Lipót vetett szemet Valériára; végül azonban ő mutatta be Dienes Pálnak, majdani férjének, akivel attól kezdve platóni dialógusokat folytattak a Margitszigeten. Valériát idézve: „a sziget homokos végén… oly elfogulatlanul, szerelemtelenül heverészünk most, mintha két lány, vagy két fiú volnánk… Ez csupa szín és öröm és életsúly és virág. Minden elsápad mögötte, ez a fiú valóság, ezt nem lehet elveszteni és egyszerre minden más elszíntelenedik; és ezt a pillanatot betűkben még lehetne tovább írni, mégse lenne kész soha”. Párosukat is megörökítette egy író, méghozzá id. Gaál Mózes egy ifjúsági regényben.

Jászi Oszkár, Dienes Pál, Dienes Valéria, Szabó Ervin

Geiger Valéria és Dienes Pál együtt akartak alkotni, és úgymond „csak mellékesen” szerették egymást. 1905-ben házasodtak össze. Nem akartak gyerekeket, hogy a közös szellemi munkának élhessenek – ma azonban számos leszármazottjuk él szerte a világban. Dienes Zoltánnak pedig megszámlálhatatlan tanítványa.

Játsszunk matekórát!

Talán senki olyan természetességgel nem tudott belépni a világ bármely pontján egy osztályterembe, mint Dienes Zoltán. És csak úgy beengedték? Hát persze – miután módszerének híre ment. A Dienessel a Sherbrooke-i Pszichomatematikai Intézetben (Kanada) két éven át együtt kutató Klein Sándor pszichológus (Pécsi Tudományegyetem) meséli:

Klein Sándor Dienes-játékokkal és könyvekkel

„Nagyon sok eszközt hoztunk létre, és Dienessel én is beutaztam a világot. Tapasztalhattam azt a fantasztikus képességét, hogy megérkezünk egy repülőtérre, onnan elmegyünk egy iskolába, bemegyünk az osztályba, az ott tanuló gyerekek nyelvét sem tudja tökéletesen, de öt perc múlva mind köré gyűlnek és lelkesen játszanak azokkal a játékokkal, amiket ő vitt nekik, és nem akarják abbahagyni, hiába szólal meg az óra végét jelző csengő.”

Mi lehetett a titka? Életének regényét olvasva láthatjuk, hogy szinte állandóan a matematikatanítás foglalkoztatta, hol az elmélet, hol a tudományos kísérlet oldaláról, főleg pedig a napi gyakorlatban. Ez az ő esetében minden volt, csak nem rutin. Egyfelől folyton új játékok ötlöttek az eszébe, másfelől igen gyakran került új iskolákba. Előbb Anglián belül, ahol 17 éves kora óta élt apjával. Majd meghívást kapott Adelaide-ba (Ausztrália). De odafelé menet útba ejtett még svéd és lengyel iskolákat is – előbbiekben angolul tanított, utóbbiakban viszont még ez a közvetítő nyelv sem állt rendelkezésére. Arra az egyetlen szóra támaszkodott, amelyet lengyelül tudott: „tak” (igen). Ez is elég volt ahhoz, hogy a gyerekek megértsék feladványait, és matekórát játsszanak vele. Vajon a tanítványok közül hányan jöttek rá, hogy egykori játékmesterük komoly kutató professzor, és hogy a színes kockák rakosgatása közben a matematika igen elvont fogalmaiba nyertek beavatást?

Lássuk a disztributivitást!

Nagy többségünk agya nem a magasabb matematikára lett kitalálva, mégis, általában kialakul bennünk bizonyos mértékű szám- és arányérzék. Ennek egyik alapja például, hogy magunk elé tudunk képzelni egy számegyenest, rajta a számsorral. Egyértelműen látjuk, melyik szám nagyobb, melyik kisebb, mekkora köztük a különbség. Nem túl nagy számok szorzatát is láthatjuk, ha azokat egy téglalap két oldalának vesszük. Szemléletes képünk lehet a centiméter és a deciméter közti viszonyról, noha ezek jóval elrugaszkodottabb hosszmértékek, mint az angolszász hüvelyk és láb. Szemünk előtt lebeghetnek még a normális, a lognormális vagy az exponenciális eloszlás jellegzetes görbéi és hasonlók.

Dienes Zoltán tanítványokkal

Vannak azonban, akik egészen más viszonyban állnak a matematika tárgyaival, mint az átlag. Egyfelől a súlyos diszkalkuliások vagy akalkuliások, akik nem rendelkeznek a belső számegyenes képzetével; támpont híján még a számlálás és az alapműveletek elsajátítása is komoly kihívást jelent. Másfelől a matekzsenik, akik gyakran igen bonyolult összefüggéseket is képesek vizualizálni. Némelyikük előtt oly evidensen jelennek meg ezek, mint a számegyenes. A mi számunkra meg az az evidens, hogy mindez az ő kiváltságuk marad.

Dienes Zoltán azonban nem ismer lehetetlent. Ugyan miért ne lennének az olyan fogalmak, mint a hatvány, a helyi érték, sőt a disztributivitás, színről színre láthatók bárki számára? Akár a számokkal épp csak ismerkedő gyerekek számára is? Elegendő, ha azt teszik, amit amúgy is szoktak: kockákkal játszanak, aztán némi szókratészi kérdezősködés után maguk jönnek rá, hogy építményük miféle matematikai alapokon áll. Gyerekjáték a disztributivitás, vagyis annak megértése, hogy (a + b) x c = a x c + b x c is, de ehhez egy kampókkal ellátott mérlegszerűségre lesz szükség.

Iskolai foglalkozás Dienes-játékokkal

A matematika hasznos ugyan, de hogy a köz számára az legyen, magas szinten kell művelni, sokszor még a humán kutatások területén is. Ehhez képest a legtöbb ember mindennapjaiban a fő matematikai művelet az, hogy öntudatlanul minimalizálja a matematikai gondolkodást – illetve azt az agy öntudatlan részére hagyja, amely folyamatosan valószínűség-számítások tömkelegét végzi el. E kalkulációknak köszönhetjük például, hogy tetteink többsége (legalábbis a többség esetében) egy sajátos biztonsági sávon belül mozog. Nem sok jót hallottunk arról, mi történik az európai emberrel, ha bennszülöttek közé keveredik; arról sem, hogy mi sül ki abból, ha krokodiloktól hemzsegő vízen próbál átkelni. A legtöbb ember óvakodik az ilyesmiktől, még ha ennek az is az ára, hogy élete nem lesz egy kalandregény.

Dienes Zoltán azonban e téren sem ismert lehetetlent. Teljes lelki nyugalommal lépett a lándzsás pápuák földjére, hogy gyermekeiket tanítsa. Egyetlen fegyvert vitt magával: a játékait. És persze saját lefegyverző játékosságát.

Szám-misszió

Dienes élete delén járt, és pályája zenitjén. Ausztrália-szerte már az is szenzációt keltett, ahogy feleségével és gyermekeivel hat hetes hajóút után megérkeztek Adelaide-ba. A sajtó és a TV is hírt adott róluk. Majd ahogy Dienes elkezdett kutatni és oktatni, egyszeriben mindenütt őt akarták. Kapott meghívást Melbourne-be, Sidney-be, Canberrába és Brisbane-be; majd megkérdezték, fel tudná-e gyorsítani a pápua gyermekek tanulását. Dienes igent mondott, feltételezve, hogy e gyerekek tanulási képessége nagyjából hasonló a nyugati gyerekekéhez.

Pápua Új-Guinea oktatási igazgatója először Port Moresby, egy feltörekvő városka legmodernebb iskolájában vezette körbe Dienest. Itt minden óramű pontossággal zajlott: az elegáns egyenruhát viselő gyerekek egy induló zenéjére masíroztak az osztályokból ki és vissza. Az órákon pedig a nebulók mechanikusan, gondolkodás nélkül ismételték, amit a tanár mondott. Dienes arra kérte az igazgatót, mutasson inkább egy átlagosabb helyi iskolát.

Port Moresby egyik külső kerületében egy kunyhóhoz érkeztek, amelynek még falai sem voltak, s a tető is épp csak védett az eső ellen. Dienes több tanfelügyelő kíséretében belépett az osztályba, szétosztotta játékait, és azt mondta, csináljanak velük, amit akarnak. Egyik gyerek sem mozdult. Csendben ültek és parancsra vártak. Ekkor odaadott egy gyereknek két elemet a készletből azzal, hogy mondja meg, miben hasonlítanak, miben különböznek. Ez egy párosító játékhoz vezetett: a gyerekeknek olyan elempárokat kellett összeválogatni, amelyek egyformán hasonlók és különbözők egymástól. Hamarosan élénk vitatkozás töltötte be a kunyhót, a gyerekek élvezték, hogy maguk fedezhetnek fel problémákat és az óra végén alig akarták abbahagyni a játékot.

A tanfelügyelők rövid úton arra jutottak, hogy igen káros a gyerekeket játszani hagyni, amikor komoly dolgokat kellene megtanulniuk. Egyikük sem vette észre a logikus gondolkodás kezdeteit.

Ezután sokan felhagytak volna a tanítási kísérlettel, ám Dienes kitartott. Nem kereshetne-e fel egy olyan iskolát, amelybe nem teszik be a lábukat felügyelők?

Kívánságára másnap reggel egy dzsip állt elő, bennszülött sofőrrel. Ahogy kiértek a városból, az út tengerparton vezetett. A sofőr egyszer csak megállt egy nagyobbacska folyó előtt, amely fenségesen ömlött az óceánba, és közölte, hogy innen már gyalog kell tovább menni.

– Na jó, hát akkor menjünk – mondta Dienes.

– Én nem megy. Te megy.

Dienes meghökkent. Sehol egy lélek, nyoma sincs lakott helynek; balra csak egy mangrovemocsár látható, jobbra az óceán, előttük a folyó.

– Te miért nem jössz át? Ezek az eszközök nehezek ahhoz, hogy egyedül két mérföldnyire cipeljem őket.

– Krokodilok – felelte a bennszülött.

Akkor vált világossá, miért nem látogatják az iskolát soha a felügyelők. Dienes végül fejére vette az eszközeit tartalmazó dobozt, és nekivágott a derékig érő folyónak. Az átgázolás alig lehetett több egy percnél, de számára ez élete leghosszabb percének tűnt.

Néhány pózna által tartott zsúptető, föld padló, taneszközként pusztán palatáblák: így festett az iskola a Goroka melletti faluban. Dienes szétosztotta a játékokat; a gyerekekben hamarosan felébredt a kíváncsiság. Csakhogy néhány szülőben is felébredt: ott álltak az épület mellett és figyeltek. Amikor megszólalt az óra végi csengő, az összes gyerek, tanár és szülő szétszéledt, egyetlen apa kivételével, aki egy hatalmas íjat, egy-két nyilat és egy óriási lándzsát tartott. Odalépett a professzorhoz, és tört angolsággal ezt mondta:

– Játék nem jó! Mikor én gyerek, én ölni! Ezek nem ölni, csak játszani. – Majd nyomatékként lándzsájával a földre csapott: – Nézd nyaklánc! – és megmutatta emberi ujjakból készült nyakékét. – Ezek mind én ölni! Fiam nem ölni! Nem jó!

Senki nem volt körülöttük, és a pápua apa egyre hangosabbá, fenyegetőbbé vált. Dienes lelki szemeivel már látta, hogyan fogják az ő ujjai is a nyakláncot díszíteni. Aztán ahogy elhaladt felettük egy repülőgép, életmentő ötlete támadt. Ezt mondta a vadembernek:

– Látni repülő? Te gyereked játszani, és tanulni repülőgép-vezetés.

– Játszani és vezetni repülő? ­– kérdezte hitetlenkedve.

– Igen. Ezek a játékok csinálni több ész. Kell ész vezetni repülő.

Pápuák lándzsával

A bennszülött úgy sóhajtott, mint akit egy nagyszerű zsákmánytól fosztanak meg, de aztán vette a lándzsáját és lassan besétált a bozótba. Ezzel az epizóddal indult az Új Guineai Matematikatanítási Kísérlet, amely azután két éven át tartott.

Tévés tévedések

A híres svájci pszichológus, Jean Piaget szakaszokra osztotta a gyerekek értelmi fejlődését. Mi emberek hajlamosak vagyunk hinni a különféle felosztásokban: a lélektani típusokban, a történelmi korszakokban és az egyéni fejlődés periódusaiban is. Könnyen hisszük, hogy van valami, ami lényegileg megkülönbözteti az ókortól a középkort, az óvodás kortól az iskoláskort és így tovább. Piaget ráadásul elsöprő kísérleti bizonyítékokat is adott arra, hogy adott szakaszban járó gyermek mire képes és mire nem. A 7-11 évesek például Piaget szerint képesek ugyan absztrakt műveletek, szabályok felfogására, de csak konkrét tárgyakra alkalmazva.

Jean Piaget

Piaget tanítványai ezeket kőbe vésett szabálynak tartották; maga Piaget jóval kevésbé. Az idős professzor Dienesre is mély benyomást gyakorolt, ahogy lobogó ősz hajjal, biciklin tartott a genfi intézet felé, lehagyva a csúcsforgalomban kocsival közlekedő kollégáit. Tanaival is egyetértett – de nem minden ponton. Dienes, ahogy később mások is, kimutatta: nagyon nem mindegy, hogy egy feladványt milyen módon adunk oda a gyereknek. Ha játékosan tálaljuk, meglepően korán igen magas szintű gondolati teljesítményre lesz képes. Kisebb gyerekeknél az is segít, ha elhitetjük velük: mi magunk nem tudjuk a megoldást, azért fordulunk hozzájuk kérdéseinkkel és rejtvényeinkkel. De nem valószínűtlen ez számukra? Nem, sőt!

Akkoriban, amikor Dienes könyvei kötelező olvasmányok lettek például Németország tanárképző iskoláiban, és már nem lehetett matematikáról beszélni az ő munkáinak említése nélkül, ő igen szívesen kockáztatta tekintélyét akár legkisebb tanítványai előtt.

Egyik bemutató óráján, amelyet a helyi TV is felvett, négyévesekkel együtt rakta ki a Dienes-készlet darabjait úgy, hogy abból világos szabályokat lehetett kikövetkeztetni. Egy-egy darabot azonban szándékosan rossz helyre rakott, várva, hogy észreveszik-e. Mindig észrevették. Néhány ilyen téves lépés után egy négyéves kislány megállapította: Du kannst nie ein Mathematiker werden! (Belőled sosem lehet matematikus!) A nézők nagyot nevettek.

Párizsban is készült hasonló felvétel, hogy könyvének francia kiadását népszerűsítsék; Dienes itt is alkalmazta a tévedés-trükköt. Mikor látta, hogy az óra a vége felé jár, hirtelen elkezdte helyesen lerakni az elemeket. Mire egy kisfiú felkiáltott: Enfin, il commence à comprendre! (Végre kezdi érteni!)

Jakabffy Éva