Csákány Béla: A második triumvirátus I.
Triptichon alulnézetből
Csákány Béla
INVOKÁCIÓ
Világbirodalommá emelkedésének időszakában az ókori Rómát két ízben is három-három szövetségre lépett erős férfiú vezette: előbb hét évig Ceasar, Pompeius és Crassus, majd Octavianus, Antonius és Lepidus újabb hét esztendőn át. Az ő uralmukat nevezi első és második triumvirátusnak a történelem, s hasonlatként ez a szó azóta is fel-felbukkan, amikor valamely területen három személy vitathatatlan hegemóniára tesz szert. Ha ez a terület a Hatalom, az együttműködés nem lehet hosszú életű.
Bármelyik triumvir hatalmának növekedésével társaié csökken, s ez a folyamat végül egyikük egyeduralmába torkollik. Ha azonban a triumvirátust három nagy tudós alkotja, akkor tagjai nem egymástól, hanem az Ismeretlentől hódítanak el tartományokat az emberiség számára, s ez mindhármuk dicsőségét öregbíti. Ilyen triumvirátus hozta létre és virágoztatta fel a szegedi matematikai iskolát és annak intézményét, a Bolyai Intézetet 1925 és 1933 között: Riesz Frigyes, Haar Alfréd és Kerékjártó Béla. Eltávoztuk után 1948-ban jött létre a második matematikai triumvirátus: Rédei László, Kalmár László és Szőkefalvi-Nagy Béla, akik 1967-ig irányították együtt a nagy elődök létrehozta szellemi műhelyt. Emléküket mostantól közös emléktábla, triptichon hirdeti a szegedi Nemzeti Pantheonban. 
Matematikusok (Kalmár László, Rédei László, Szőkefalvi-Nagy Béla), bronz dombormű, Szeged, Dóm tér, készítette: Kalmár Márton, 2000.
Róluk írom ezeket a sorokat, de nem matematikus kollégáimnak. A korombeli magyar matematikusok - különösen a szegediek - kevés újat találnak bennük. Nem tagadom ugyan, örülnék, ha dacolva ezzel a figyelmeztetéssel ők is elolvasnák. Elsősorban azonban azon igyekszem, hogy azt a három kiemelkedő tudóst, akiknek a képmása márványtáblán az egyetem Dóm téri falára kerül, a szélesebb közönség számára mutassam be közöttünk élt hétköznapi emberekként - bármilyen kevéssé is voltak ők hétköznapiak. Tudományukról részletesen nem sokat, szakmai pontossággal még kevesebbet írhatok, ezt valamennyire pótolhatja a teljesítményük visszhangjáról szóló beszámoló. Ám nem csupán a tudomány arisztokratái voltak ők, hús-vér emberek is, érdekes személyiségek az emberi nagyság - olykor az emberi gyengeség - sajátos árnyalataival. Nem utolsósorban pedig egyetemi professzorok, amely foglalkozás közismerten az anekdoták kimeríthetetlen forrása. Nemcsak méltók tehát, hanem alkalmasak is arra, hogy egykori tanítványuk (aki előadásaikat összesen tizenöt szemeszteren át hallgatta, s évtizedekkel később egyikük helyét negyedszázadon át igyekezett a Domine, non sum dignus szorító érzésétől gyötörtetve betölteni) Kalmár Márton maradandó bronz emlékművének kiegészítéséül arcképüket a gyarlóbb papíron betűkből is megrajzolja.
Így hát - Múzsa, segíts!
Rédei László
Rédei László 1900. november 15-én született Rákoskeresztúron. Apja postatisztként szolgált. Megpróbálkozott vasgyár létesítésével is, ez a vállalkozása azonban hamar csődbe jutott. Rédei Budapesten járt gimnáziumba, s matematikáról már korán elkezdett önállóan gondolkozni. Tizennégy éves korában rájött a komplex számok hatványozásának nevezetes De Moivre-féle képletére. Mindamellett - legalábbis így mesélte - osztályában csak a második legjobb matematikus volt, az elsőből meteorológus lett. Tény azonban, hogy 1918-ban pályadíjat nyert az Eötvös- versenyen, az akkori országos középiskolai matematikaversenyen, ahol évente két pályadíjat adtak ki. A Pázmány Péter Tudományegyetemen szerzett tanári diplomát 1922-ben, s még abban az évben le is doktorált. Ezután egészen 1940-ig középiskolai tanár volt Miskolcon, majd Mezőtúron, végül Budapesten.
Rédei László tizennyolc éves iskolai működése alatt nemzetközi hírű tudóssá vált. Ebben az időszakban 35 tudományos közleménye jelent meg, ebből tíz a világ akkor legnagyobb tekintélyű (és egyik legrégebbi) matematikai folyóiratában, a Journal für die Reine und Angewandte Mathematik-ban. 1932-ben lett egyetemi magántanár a debreceni egyetemen, ezután pedig Humboldt-ösztöndíjat kapott, s Göttingában tölthetett egy évet. 1940-ben megkapta az akkori legmagasabb hazai szakmai kitüntetést, a Kőnig Gyula érmet. De még ugyanannak az évnek az első felében is elutasító választ kapott egyetemi alkalmazás iránti kérvényére. Ekkor szólt közbe a történelem. A Szegedre 1921-ben ideiglenesen áttelepült Ferencz József Tudományegyetem visszatért Kolozsvárra, s a kormányzat Szegeden de iure új egyetem alapítását határozta el. Ennek a geometriai tanszékére kapott meghívást Rédei, jóllehet addigi kutatási eredményei zömét a számelméletben érte el. Hogy a geometriát sem kényszerből csinálta, arról tanúskodik a hatvanas években először német, majd angol nyelven is megjelent könyve az euklideszi és a nem-euklideszi geometriáról. Igazán kiemelkedő kutatói és tanítói eredményeit azonban az algebra területén érte el.
Századunk első felében az iskolákban "matematika" helyett "számtan és mértan" -ról, esetleg "mennyiségtan" -ról beszéltek, a matematika egyik fontos ágát, az algebrát pedig "betűszámtan"-nak nevezték. Ez a szó azt érzékeltette, hogy a számtantól, a számokkal való számolástól eltérően az algebrában a számok jeleivel - rendszerint betűkkel - végzünk műveleteket (összeadást, szorzást, stb.). Az algebra a jelek kezelésének művészete - írja Garrett Birkhoff amerikai tudós. Ám a jeleket nem öncélúan kezeljük, hanem azért, hogy a számokon és más dolgokon végzett műveletekről egyre többet tudjunk, és ezt a tudást felhasználjuk a környező világ vagy éppen saját gondolkodásunk törvényeinek a megértésére. Az algebra a műveletekkel ellátott halmazok vizsgálata - mondja erről Rédei. Az előző meghatározás az algebra módszerét, az utóbbi a tárgyát hangsúlyozza, s a kettő együtt valamelyest képet ad a 20. századi algebráról. Korábban az egyenletek és egyenletrendszerek megoldásának tudományát nevezték algebrának. A szemléletváltás döntő pillanata Bartel L. van der Waerden holland-német matematikus korszerű és rendkívüli hatású algebrakönyvének megjelenése volt 1931-ben. Rédei ezt a könyvet első szegedi évei alatt tanulmányozta át, s az újfajta algebrának (a "modern algebrának", ahogyan sokáig nevezték) azonnal híve és hamarosan mestere lett, olyan mértékben hogy 1954-ben kiadott, hatalmas anyagot felölelő algebrakönyvében annak szemléletét már tovább is fejlesztette. E sorok írója számára nem kétséges, hogy Rédeinek ez a könyve megjelenésének időszakában a legfejlettebb algebrai gondolkodást tükrözte, ám e nézet szakmai érvekkel való alátámasztásával nem lenne illendő terhelni a mégoly érdeklődő olvasót sem. A könyvet, amely néhány év múltán németül, majd angolul is megjelent, két további, szűkebb kérdésköröknek szentelt algebrai monográfia követte. Később ezek angol fordítása is napvilágot látott. E művek egyikéről legnevesebb élő matematikusunk, Lovász László nemrégiben vette észre, hogy eredményei jól hasznosíthatók a kombinatorika és a geometria egy manapság sokat vizsgált határterületén.
Egy tudós élete könyvein kívül tudományos cikkeiben és nem utolsósorban tanítványaiban folytatódik. Rédei mintegy 150 megjelent dolgozata közül itt csak egyet említünk. 1950-ben tette közzé a nagy presztízsű svéd folyóiratban, az Acta Mathematica-ban a következő tétel bizonyítását: az ikozaédercsoport az egyetlen olyan véges egyszerű csoport, amely másodfokban nem-kommutatív. A tétel a magasabb algebrában járatlan olvasó számára kínaiul hangzik, a beavatottak számára azonban egyaránt fontos és szép. A szépsége nem annyira megfogalmazásában, inkább bizonyításában rejlik, amelyet brüsszeli csipkéhez szoktak hasonlítani, finomsága és bonyolultsága miatt. Fontos felfedezés is a tétel, mert általa egy reménytelennek tűnő, fél évszázada tetszhalott matematikai problémát mozdított ki a holtpontról Rédei. A nagy áttörést a probléma vizsgálatában a Rédei tételét felhasználó japán Michio Suzuki munkájára támaszkodva amerikai matematikusok érték el 1963-ra, s Rédei még megérhette a teljes megoldást; ezt 1978-ban jelentették Helsinkiben, a matematikai világkongresszuson. A problémáról csak annyit, hogy rejtett - bár a szakemberek számára régóta ismert - kapcsolata van azzal a sokak számára örvendetes ténnyel, hogy a közép-iskolában csak a másodfokú egyenlet megoldóképletét tanítják, de még az egyetemen is legfeljebb a harmad- és negyed-fokúét, mert az ötöd- és magasabbfokú egyenleteknek igazolható módon nem is létezik megoldóképletük. Ami pedig a tanítványokat illeti, a jó hírnevű szegedi algebrai műhely munkásai mind szellemi leszármazottai Rédeinek, emellett a további hazai algebristák immár korosodó nemzedékének számos tagja, meg több korán eltávozott kiváló matematikus (így a debreceni Szele Tibor és Kertész Andor, meg a budapesti Steinfeld Ottó) ugyancsak Rédei személyes hatása, előadásai és könyvei alapján indult el a pályán. Német, angol, holland tudósok is vallják Rédei-tanítványnak magukat, s személyes tapasztalataim szerint neve amerikai algebristák körében is jól cseng.
1967 végén Rédei László elköltözött Szegedről, a Magyar Tudományos Akadémia budapesti matematikai kutatóintézetébe ment át, az algebrai osztály vezetőjének. Néhány év után nyugalomba vonult, ám a "nyugalom" csak abban állt, hogy minden idejét utolsó kedvenc témája kidolgozására fordíthatta. Erről már csak posztumusz könyve jelenthetett meg. 1980. november 21-én hunyt el.
Kalmár László
A Somogy megyei Edde községhez tartozó Alsó-Bogát pusztán született 1905. március 27-én, ahol apja urasági intéző - ma divatos szóval menedzser - volt egy nagybirtokon. Ötéves kisgyerekként tudása alapján egyből az egytanerős elemi iskola második osztályába vették fel. Nagyon élvezte az osztatlan iskolát: mindig azt figyelte, mit tanulnak a "nagyok". (A kicsik tananyagát úgyis tudta.) Apja korán meghalt, s a család maradéka Budapestre került. Kalmár ott járt gimnáziumba, s tizenöt éves korában Svájcban is vendégeskedett három hónapot, jótékonysági akció keretében egy gazdálkodó családjában. A jószág őrzése közben itt értette meg egy felsőbb matematikai szakkönyvből Lindemann nevezetes tételének bizonyítását. A tétel azt mondja ki, hogy nincs olyan egész számokkal és alapműveletekkel felírható egyenlet, amelyet megoldva éppen a pi-t (a kör területképletében álló számot) kapnánk.
1922-ben Kalmár is pályadíjat kapott az Eötvös-versenyen, ő is a budapesti bölcsészkarra járt (akkor a matematika oda tartozott), s diplomája megszerzésének évében, 1927ben ő is doktorált. Még abban az évben a szegedi egyetemre került, az elméleti fizika tanszékére, 1930-ban pedig Riesz Frigyes és Haar Alfréd közös adjunktusa lett. Minden érdekelte, ami matematika, de nem csak az: a Szegedi Fiatalok Művészeti Kollégiuma is, olyannyira, hogy az e legendás intézmény belső köréhez tartozó Árvay Erzsébet tanárjelölt tanítványát vette feleségül.
Kalmár is 1932-ben szerzett magántanári címet. Neve szakmai körökben addigra már ismertté vált. 1929-ben, rövid göttingai tanulmányútja során ugyanis egy szemináriumi beszélgetésen olyan megjegyzést tett, amelyből a jelenlévők - köztük a századelő talán legnagyobb matematikusa, David Hilbert (1862-1943) - számára kiderült, hogy a 24 éves magyar mélyebben érti a számfogalom felépítését, mint akármelyikük. (Ezt Edmund Landau Grundlagen der Analysis című 1930-ban megjelent klasszikus monográfiájának előszavából tudjuk.)
Érdeklődése már ekkor a matematikai logika felé fordult, amely azokban az években igazi forradalmon ment át. Ezt talán a geometria forradalmához hasonlíthatjuk, amely száz évvel korábban Bolyai János és Nyikolaj Ivanovics Lobacsevszkij nagy felfedezésével indult. Míg azonban a geometria megújításához több mint fél évszázad kellett, a matematikai logika néhány év alatt gyökeresen megváltozott. Ebben a "hadjáratban" Kalmár az éllovasok egyike volt. Gondolatait a továbbiakban majd valamivel részletesebben ismertetjük. Jóllehet a Kalmár által művelt matematika idegen volt mesterei, Riesz és Haar számára, eredményeit senki sem becsülte le. A Kőnig Gyula érmet már 1936-ban elnyerte. Professzori kinevezésére mégis 1947-ig kellett várnia, adjunktusként (docensi státus akkoriban nem létezett).
Kalmár LászlóÖtven éves volt, amikor pályát módosított - legalábbis sokan így látták, és nem csak az avatatlanok. A negyvenes évek folyamán a matematikai logika képletei mögött rejtőző Ige testté lett: Neumann János és munkatársai műhelyéből kikerültek az első működő számítógépek. Országunkban Kalmár volt az a tudós, akinek az agya készen állt a számítógépek tudományának befogadására és továbbfejlesztésére. Kalmár elfogadta a kihívást: élete következő, egyben utolsó két évtizedét a hazai számítástudomány és számítástechnika felvirágoztatására fordította. A virágok valójában csak jóval később jelentkeztek. Az első "rügy" azonban Szegeden már az ötvenes évek végén kipattant. Ez az M3 volt, a hatalmas termet betöltő szörnyeteg, temérdek "rádiólámpájával" (Szüleim és kortársaik még így nevezték az elektroncsöveket. A számítógépekben ezeket hamarosan felváltották a tranzisztorok, majd a chipek.), körülbelül akkora teljesítménnyel, mint a 80-as évek slágere, a jó emlékű Commodore 64. De működött! És ezen a gépen képezte ki Kalmár, meg a többi matematikus oktató azokat a diákokat, akiket ma a magyar számítástechnika alapító atyái (és anyái) között emlegetnek. Ő tette Szegedet évtizedekre a hazai számítástechnikai oktatás első számú bázisává, amelynek hatása a többi egyetemre is kisugárzott. Hogy örülhetne ma Kalmár a világhódító magyar szoftverek, a Graphisoft meg a Recognita sikereinek!
Kalmár László a Kalmár-féle logikai géppelA számítástudománnyal együtt indult a vezérléstudomány, mára már-már elfeledett nevén a kibernetika, amely azt próbálta megragadni, mi a közös a számítógépek, az élőlények és a társadalmak működésében. Az akkori hivatalos filozófusok hamar rá is ragasztották a "burzsoá áltudomány" címkét, mondván, hogy nem is lehet közös bennük, hiszen különböző mozgásformákban működnek (!), másrészt pedig mindegyiknek úgyis megvan a maga egyedül üdvözítő elméleté. A Szovjetunió szakemberei nem hagyták mágukat: kibernetika helyett "automatika és távmechanikát" mondtak, és csinálták tovább a kibernetikát. Kalmár Szegeden még csak át sem keresztelte: szemináriumot indított belőle, aztán Muszka Dániellel együtt megcsinálta a kibernetikus katicabogarat, meg a logikai gépet, amelyeket "szegedi" jelzővel tart számon a tudománytörténet. Hazahozta a legnagyobb nyugati kutatók friss, azóta klasszikussá vált cikkgyűjteményét, az Automata Studies-t, amelyet olyan tisztelettel vettünk kézbe, mint geológus a holdbeli kőzetet. Ez a könyv és Kalmár ezidőtájt írt cikkei indították el a mindmáig nemzetközi tekintélyű szegedi automataelméleti iskolát. Folyóiratot is alapított: a több mint harminc éves, mindmáig szegedi illetőségű Acta Cybernetica - a magyar számítástudományi folyóirat - első főszerkesztője volt.
Jó lenne, ha itt írhatnék Kalmár könyveiről is. Ám ő temérdek munkáját nem könyvírás mellett, hanem a helyett vitte végbe. Az ötvenés években kiadott egyetemi jegyzeteit ugyan nemzedékek használták, de monográfikus összefoglalásra már nem futotta az idejéből. Az Exodus 1942. évi évkönyvében nagy népszerűsítő cikket írt az axiomatikus módszer (lásd később!) előnyeiről és hátrányairól a matematika oktatásában. Ennek végén ezt olvassuk: "...meg kell írnom egy tankönyvet, amely az analízis elemeit a vázolt módszerrel tárgyalja; majd erre is sor kerül, ha Isten úgy akarja". Kalmár 1975-ben vonult nyugalomba, ami - éppúgy, mint Rédeinél nála is csak az adminisztrációs kötelezettségek alóli felszabadulást jelentette, egyebekben változatlan energiával dolgozott tovább. Tankönyvét azonban már csak tanítványai rendezhették sajtó alá. 1976. augusztus 2-án hunyt el.
Szőkefalvi-Nagy Béla
Családneve egyes könyvei címlapján "Sz.-Nagy" alakban áll. Mi is használjuk ezt a rövidebb formát. Kolozsvárt született 1913. július 29-én. Apja, Szőkefalvi Nagy Gyula (nem sajtóhiba, kötőjel nélkül írta nevét) matematikatanár volt, később a geometria neves professzora Szegeden. A kisfiú kombinatív képessége igen korán kiderült. Idézzük az apa feljegyzését: "Körülbelül 6 éves lehetett Béla, amikor egy Richter-féle türelemjátékot kapott. Ez 7 kőből állott, amelyek megfelelően egymás mellé helyezve négyzetet alkottak. A játékhoz mellékelve volt egy kb. 200 ábrát tartalmazó füzet. Ezek az ábrák kisebbített alakban olyan idomokat tüntettek fel, amelyekbe a 7 követ össze lehetett rakni. Egyik este kisfiam próbálkozott egy ábra kirakásával, amellyel egy ideig én is hiába kísérleteztem. Mivel 9 óra volt, a kisfiút imádkozás után lefektettük és eloltottuk a villanylámpát. Kis idő múlva kisfiam megszólal és azt mondja, hogy ki tudja azt az ábrát rakni. Nem akartam hinni, s karomra véve az asztalhoz vittem és a lámpát felgyújtottam. Nagy volt a csodálkozásom; hogy kísérletezés nélkül az ábrát azonnal kirakta." (A leírás alapján a Tangram néven ma is kapható játékról van szó.)
1931-ben érettségizett Kolozsvárt, s szüleivel került Szegedre, ahol 1936-ban szerezte meg tanári diplomáját: Ő is doktori szigorlatot tett még ugyanabban az évben. Avatására azonban a következő évig várnia kellett, mert az a kormányzó jelenlétében (sub auspiciis gubernatoris) történt: kormányzógyűrűs doktorátust szerzett. (Az államfői aranygyűrűt ma is érvényes régi törvény szerint csak az nyerheti el, aki a doktori cím megszerzéséig minden tantárgyból minden alkalommal a legmagasabb osztályzatot kapja.) 1940-ben lett egyetemi magántanár, majd 1942-ben őt is kitüntették a Kőnig-éremmel. Már 1939-től a tanárképző főiskola elődjének, a Polgári Iskolai Tanárképző Intézetnek volt tanára, s 1948-ben lett egyetemi tanár, hivatalosan az ábrázoló geometria professzora. Ekkor jött létre a második triumvirátus. Jegyezzük meg, hogy az ábrázoló geometria Haar Alfréd enyhén túlzó hasonlata szerint körülbelül olyan jelentőségű a matematikában, mint az ízeltlábúak szaporodószerveinek morfológiája a biológiában. Kitudja már miért, sok éven át mégis önálló tanszéke volt egyetemünkön.Szőkefalvi-Nagy Béla tudományos eredményeinek zömét a funkcionálanalízis területén érte el. A matematikának ez az ága a 20. század elején született, s egyik szülője éppen Riesz Frigyes volt, az első triumvirátus nagy egyénisége. Hogy mi is a funkcionál, arra íme egy földhözragadt példa. A mikor a vendéglőben a főúr asztalról -asztalra járva megállapítja a cechet, akkor - matematikus szemmel nézve - egy lineáris funkcionál különböző helyeken felvett értékeit számítja ki. Ugyanis az étlap jobboldalán álló számoszlop is, meg a fogyasztás is (pl: "volt 2 húsleves, 1 karfiolleves, 3 bécsi, 1 nagyfröccs és 2 korsó Leffe") egy-egy számsorozat, szakszóval vektor, s amit a főúr ezekkel a vektorokkal csinál, az meg az ún. skalárszorzás, ami a funkcionáloknak nevezett függvények értékei kiszámításának tipikus módja. Az étlapvektor a legelőkelőbb étteremben is legfeljebb néhány száz számot tartalmaz. Évszázadunk első harmadában kiderült azonban, hogy a modern fizikában, közelebbről az elemi részecskék vizsgálatában végtelen sok számból álló (persze nem akármilyen) vektorokkal célszerű számolni. Az ilyen, jól használható vektorok összességét nevezik Hilbert-térnek, s a funkcionálanalízis a Hilbert-téren értelmezett, ugyancsak jól használható függvények (szakszóval: operátorok és funkcionálok) tudománya.
Sz.-Nagy Bélát vonzotta az elméleti fizika, amely, akárcsak az algebra és a logika, az első világháború utáni időszakban rohamosan fejlődött. Nem véletlen hát, hogy tanítómesterét Riesz Frigyesben találta meg.
Riesz FrigyesA tanítványból néhány év alatt munkatárs, később szerzőtárs lett. Első monográfiája 1942-ben jelent meg a Hilbert-tér lineáris operátorairól, s ezek elméletének alapművévé vált, úgy hogy már öt évvel később újra kiadták az Egyesült Államokban, majd további húsz év múlva megint megjelent. Második könyvét Riesz Frigyessel együtt írta francia nyelven Lecons d'analyse fonctionelle címmel. Ezt az 1952-ben publikált hatalmas művet négy éven belül angol, német és orosz nyelvre is lefordították, később japánul és kínaiul, végül 1988-ban magyarul [!] is kiadták. Egykét nyelven a világ minden egyetemi könyvtárában megtalálható. Magyar tanítványai mellett egy kiemelkedő képességű román matematikus, Ciprian Foias is csatlakozott Sz.-Nagy Béla kutatásaihoz. Vele együtt írta harmadik nagy művét a Hilbert-tér operátorainak harmonikus analíziséről 1967-ben ugyancsak francia nyelven, de ez a könyv is hamarosan megjelent angolul és oroszul.
Sz.-Nagy Béla hűségesen sáfárkodott az első triumvirátus hagyatékának egyik nagyszerű darabjával, az Acta Scientiarum Mathematicarum folyóirattal, amelyet Riesz távozása után évtizedekig szerkesztett legendás szigorúsággal és aprólékos figyelemmel. Ő is alapított folyóiratot: az Analysis Mathematica, a magyar és az orosz (korábban szovjet) tudományos akadémia közös kiadványa, immár negyedszázados múltra néz vissza. 1983-ban nyugalomba vonult, de az egyetemi és akadémiai életben élete végéig részt vett. 1998. december 21-én hunyt el.
A folytatásban: A matematika-tanítás, mint hivatás
