A magukat (olykor) furcsa emberekként beállító matematikusok (olykor) versengő közösségéből kiemelkedik Lovász László. Mivel benne, ahogy kollégái mondják, egyvalami furcsa: hogy kedves és normális.

Lovász László

Lovász világszerte közkedvelt matematikus – az ELTE professzora szülőföldjén, egy sor magyar és nemzetközi díj birtokosa, többek között a Bolyai-, a Gödel-, a Knuth-, a Kyoto-, a Széchenyi- és a Wolf-díjé. Egyetemistaként 1964 és 1966 között évente nyerte az aranyérmeket a Nemzetközi Matematikai Olimpián. „A zsenik és csillagok országában, Magyarországon ő már igen fiatal kora óta ragyogott. Nekem sok magyar barátom van, és mindegyik jól emlékszik rá, mint diákra.” - mondja Avi Wigderson, Lovász munkatársa és barátja, a School of Mathematics at the Institute for Advanced Study professzora (Princeton, New Jersey). 

Avi Wigderson

Különösen emlékezetes, ahogy egy televíziós matematika-versenyt megnyert. Ellenfele a döntőben mindenkori jó barátja, Pósa Lajos volt. „Mindkettőnket üvegkalitkákba ültettek, és ugyanazt a problémát kaptuk, amelyre 3-4 percünk volt.” Amikor a kamera előtt megkérdezték a fiatal Lovászt, hogyan jött rá a helyes megoldásra, rögtön versenytársára hivatkozott, mondván: a feladat hasonlított egy másikra, amelyet korábban éppen Pósa mutatott neki. „Kissé zavarba hozott, hogy olyan tudással nyerjek, amelyet tőle szereztem. De persze egy versenyen, ahogy a sportban, az emberek agya nem mindig működik tökéletesen.”

Lovász agya viszont mintha mindig optimális sebességen futna. Ő nemcsak kedves és normális, hanem igen termékeny is: szerzője vagy társszerzője tíz könyvnek és körülbelül 300 egyéb publikációnak, ezek közül hatot Erdős Pállal közösen jegyez (ezért Erdős-száma 1-es[1]).

Erdős Pál 1969-ben

„Ha a munkásságát tekintjük, nehéz elhinni, hogy mindezt egyetlen ember írta. Mestere az írásnak – mondja Widgerson, polcáról Lovász egyik korai művét (Combinatorial Problems and Exercises, 1979) leemelve. – Ez a könyv óriási hatással volt a kombinatorikára. Az első részben a problémák a diszkrét matematika témái szerint kerülnek osztályozásra, a középső rész az összes problémával kapcsolatos tippeket tartalmazza, az utolsó rész pedig mindre komplett megoldásokkal szolgál. Nagyon kiemelkedő mű, és még nem volt 30 éves, amikor írta.”

Lovász a matematikusok világában nagylelkűségéről is ismert. „Fantasztikus tanácsadó és fantasztikus tanár, kismillió emberrel működik együtt – mondta Widgerson –. Kevesen szolgálják úgy a matematikus közösséget, mint ő; nem sokan veszik erre a fáradságot, különösen, ha ilyen nagyszerű kutatók.”

Lovász például nemrégen leköszönt az Nemzetközi Matematikai Unió elnökségéről. Ez idő alatt tanszékvezető is volt az ELTÉn, ahol a tanterv megújításával és egyetemi átszervezésekkel foglalkozott. Mindezek után neki is kijárt a jól megérdemelt kutatói szabadság.

A szünet azonban nem hegymászással, hangverseny-látogatással, Go-zással vagy lakásfelújítási munkálatokkal telt; Lovász megvallja, hogy ezekkel már korábban felhagyott, hogy ne gátolják szakmai produktivitását.

Annak tudatában, hogy adminisztratív kötelezettségei hamarosan befejeződnek, az IAS School of Mathematics meghívta Lovászt és feleségét – a szintén neves kombinatorika-kutató Vesztergombi Katalint –, hogy látogassanak el a 2011-2012-es tanévre. A Simonyi Hall matematikus „bunkerében” tartózkodtak, amely egy mezőre és egy békés látványt nyújtó tavacskára néz. Lovász itt is megőrizte legendás termékenységét: megírta tizedik könyvét Large Networks, Graphs, Homomorphisms, and Limits címmel.

Simonyi Hall

Lovász körülbelül 10 éve kezdte kutatni a témát a Microsoft Kutatóközpont (Redmond, Washington) munkatársaként. Két-három év után elkezdett előadásokat és tanfolyamokat is tartani a témáról. Úgy négy évvel ezelőtt írt egy 70 oldalas művet a Contemporary Mathematics számára. „Amikor ezt írtam, rájöttem, hogy a 70 oldal nem lesz elég az összes olyan részletre, amelyre ki szerettem volna térni – emlékszik vissza –. Ezért született az elhatározás, hogy írok egy könyvet.”

A könyv matematikai, hangsúlyozza, és a téma jellege miatt igen hamar technikaivá is válik. „De a motiváció a nagy hálózatok értéséből fakad, ez pedig igen forró téma, mivel számos kutatási terület alapvető matematikai modellje” – mondja, arra utalva, mennyire fontos például az informatikusok számára, hogy megértsék az Internet struktúráját, vagy a biológus kutatóknak, hogy átlássák az agy szerkezetét.

Internet gráf

A valóságban ezek a hálózatok jóval bonyolultabbak annál, amit a matematika ma reprezentálni tud – s az ilyen bonyolult hálózatok modellezéséhez többre van szükség, mint pusztán a hozzájuk tartozó gráf- vagy reláció-struktúrára.

Agyi hálózatok

„De már ez a struktúra is érdekes, és egészen újszerű kérdéseket vet fel a gráfelméletben: hogyan modellezzünk egy ilyen hálózatot; hogyan határozzuk meg, mely tulajdonságok alapján jelenthetjük ki egy hálózatról, hogy egy másikhoz hasonló… Érdekes gráfelméleti téma az ezeket a kérdéseket kezelő matematikai eszközök áttekintése. És ez számos más területhez is kapcsolódik. Meglehetősen tág témakör, ahol még sok a tennivaló.”

Ami a matematikán belüli kapcsolatok és hálózatok létesítését illeti, ezek nem kevés esetben Lovász nevéhez fűződnek. Kutatói stílusához tartozik, hogy a matematika különböző területeinek technikáit emeli be a diszkrét matematikába, a kombinatorikába.

A diszkrét matematikát röviden így határozza meg: „A matematika sok évszázadon át a ’folytonosság’ megértésével küzdött; a matematikai kutatás élharcosa az analízis volt. Kiderült azonban, hogy számos érdekes struktúra és modell létezik, amely véges, és amelynek tulajdonságai nem érthetők meg az analízis ’folytonos’ módszereivel. Az élőlények sejtekből épülnek fel; a társadalom egyénekből áll; minden anyagot atomok alkotnak; kommunikációnk, sőt egyre inkább fényképünk is digitális, ami azt jelenti, hogy például a hang is jelek véges számára redukálódik. A diszkrét matematika véges struktúrákkal foglalkozik, azzal, hogyan kell ezeket leírni és tanulmányozni.”

Lovásznak a diszkrét matematika szinte valamennyi területén komoly eredményei vannak. „És ez igen nagy terület – mondja Widgerson –. De a legtöbben, akik ezzel foglalkoznak, a területen belül maradnak, ő viszont módszereket vett át a topológiából, az algebrából és a geometriából. Számos eszközt hozott be ebbe a még ma is eszközökben szegény területbe.” Lovász: „Azt szeretem a legjobban, ha váratlan összefüggésre bukkanok valamilyen látszólag távoli területtel.”

Ilyen eklektikus eszközökkel számos komoly problémát oldott meg, például az úgynevezett „gyenge perfekt gráf sejtést”.

 „Nem annyira az a fontos, mi is valójában a perfekt gráf sejtés – mondja Noga Alon, Lovász munkatársa és kollégája a Tel Aviv-i Egyetemen. – Érdekesebb, hogy a sokszög-kombinatorikából merített (geometriai) ötleteket. Egyáltalán nem volt magától értetődő, hogy ezek relevánsak lehetnek.” A Kneser-sejtést, valamint egy gráf Shannon-kapacitásának a kérdését Lovász ismét csak nem várt módon, topológiai és geometriai eszközökkel oldotta meg.

Noga Alon

Egyébként Lovász megoldásai mindig mélyek, szép, egyszerű érveléssel, ahogy Erdős mondani szokta, egyenesen „a Könyvből” vett bizonyítékokkal („a Könyv” a Biblia Erdős-féle matematikusi kiadása).

Egy másik munka- és pályatárs, Joel Spencer (Courant Institute of Mathematical Sciences, New York Egyetem) szerint „Ő egyenesen a téma legmélyéig hatol.” Példaként a Lovász-féle lokális lemmát hozza fel. „Valószínűségszámítási eredmény, igen tömör bizonyítással. A lényegéről egysoros kalligráfiát készíttettem, amely egyetemi szobám falán függ. Maga a teljes levezetés kicsit hosszabb ugyan, de nem sokkal.”

Joel Spencer és Kiran

Spencer szerint nem is annyira az volt a szép, hogy valószínűségszámítási tétel volt, hanem hogy abban az időben pontosan erre az eszközre volt szükség a valószínűségszámítási módszer alkalmazhatóságának fellendítésére. Az 1940-es években Erdős kialakított egy megközelítést, amelyet ma valószínűségszámítási módszernek hívunk – vagy egyszerűen Erdős Magic-nak. Neve ellenére a valószínűségszámítás használata ebben a metodológiában viszonylag elemi szinten állt. Majd amikor Lovász jelentkezett a lokális lemmával, az „a területet teljes átalakulásához vezetett.”

A szintén Erdős-tanítvány Spencer Lovászt saját generációjuk Erdősének, a terület vezetőjének tekinti, erős egyénisége és matematikai szemléletének mélysége miatt. A két tudós közötti eltérést főként a matematikához való hozzáállásban látja: míg Erdős elsősorban problémamegoldó volt, Lovász – noha természetesen ő is megold problémákat – átfogóbb értelemben épít ki egy adott területet.

Lovász munkastílusa Szegedy elmondása szerint, hogy következetesen és folyamatosan, éveken át dolgozik egy nagy témán. „Nemcsak egy adott problémát old meg, hanem átfogó elméletet is épít a probléma köré. Számomra ő valóságos látnok, aki mindig messze előttünk jár.”

„A matematikának mindig van egy csoda-része, egyfajta misztikum. Dolgozunk, dolgozunk egy problémán, aztán váratlanul bekövetkezik a csoda, és megszületik az új eredmény. És ez mindig rejtély. Nehéz leírni, hogyan történik. Az ember sok mindennel próbálkozik, majd a csodának egyszer csak meg kell történnie. És Lovásszal ez a csoda valahogy igen gyakran megesik.”

Egy könyv befejezése viszont nem annyira csoda, mint inkább maraton. Lovász sok barátjának és kollégájának elküldte 500 oldalas kéziratát. A visszajelzések módosításokat tettek szükségessé. Végül az Amerikai Matematikai Társaság az egyszerűbb Large Networks and Graph Limits címen jelentette meg a művet.

Noha Lovász ki tudta használni szabadságát, sokszor kellett előadnia a gráf-korlátokkal kapcsolatos munkájáról az Intézet kéthetenkénti matematikai szemináriumain, továbbá konferenciákon („gráfok és az analízis”) a Princeton egyetemen, a Rutgers egyetemen stb.

E kötelezettségei mellett arra törekedett, hogy kiélvezze az intézetbeli visszavonultságot, és hogy ellenálljon a túl sok kapcsolat lehetőségének. „Sok beszélgetést folytattam az itteni informatikusokkal és matematikusokkal. De elhatároztam, nem hagyom, hogy nagyon eltereljék a figyelmemet. Amikor egy másik terület szakemberével beszélgetünk, az nagyon sok időt igényel.”

„Sok munkát el tudtam végezni – mondta alkotói szabadságáról –. A látogatók előadásaiból rengeteg inspirációt kaptam. Egy sor ötletet jegyeztem fel, ezekre egyszer majd vissza akarok térni.”

Siobhan Roberts matematikai újságíró és szerző, 2013.

Fordítás, szerkesztés: Jakabffy Éva Zoé

[1] Az Erdős-szám egy nemnegatív egész, amely azt mutatja, hogy az adott tudós publikálást tekintve milyen messze van Erdős Páltól. Erdős Pál Erdős-száma 0. Egy tudós Erdős-száma n, ha az általa írt cikkek társszerzői között a legkisebb Erdős-szám n-1.

Vagyis valakinek az Erdős-száma 1, ha írt Erdőssel közös cikket, 2, ha nem írt Erdőssel közös cikket, de írt egy 1 Erdős-számú szerzővel közösen… és így tovább. Az 1-es Erdős-számú szerzők száma 511.

Le Uyen Pham rajza a New York Times-ból

Ha a világ összes tudományos cikkeinek szerzőit egy gráf csúcsainak tekintjük, két szerzőt éllel kötünk össze akkor, ha van olyan cikk, amelynek szerzői között mindketten szerepelnek. Ekkor Erdős-számnak nevezzük az adott személy és Erdős közötti legrövidebb út hosszát a gráfban.