Bevezetés, 1. rész

Az európai kultúra belső összefüggéseinek történetében a matematika és a filozófia viszonyát kivételes hely illeti meg: bár a megismerésnek ez a két területe első látásra vagy a közvélekedés szerint egymástól meglehetősen távol áll, történetük kétezerötszáz éve mégis igen szoros kapcsolatukat és kölcsönhatásujat tanúsítja. A görög matematikában kialakult axiomatikus-deduktív módszer – melyet ma is általában a matematika általános módszerének, a valódi, tudományos matematika megkülönböztető jegyének szoktunk tekinteni – a módszeres filozófiai érvelés megszületésével szoros összefüggésben alakult ki. (Szabó Árpád ennek az összefüggésnek a kutatása során egészen addig a hipotézisig jutott, hogy az eleai filozófia indirekt bizonyítási módszerét illeti a prioritás, és az axiomatikus-deduktív módszer kialakulása ennek a matematikába való átvételével vette kezdetét. Lásd erről: A görög matematika kezdetei.)

Máté András

A filozófia történetében Platón az első, aki műveiben komoly teret szentel és filozófiájában lényeges szerepet juttat a matematikának. A hagyomány szerint a platóni Akadémia bejáratán a ,,Geometriában járatlanok ne lépjenek be'' felirat állt. A dialógusokban rengeteg utalást találunk a kor matematikájának nevezetes eredményeire és problémáira. A Theaitétosz című dialógusban a szakaszok, illetve a rájuk emelhető négyzetek összemérhetőségének problémájáról olvsahatunk (147b – 148b). A szakasz matematikatörténeti értékelése vitatott, de az biztos, hogy az ifjú Theaitétoszt a geometriai tanulmányaiban mutatkozó éleselméjűsége teszi alkalmassá arra, hogy Szókratész partnere legyen a megismerés mibenlétének kutatásában.

Platón

Ennél is lényegesebb a Menón híres rabszolgajelenete (82b – 85b), melyben Szókratész egy tanulatlan fiút vezet rá a négyzet megkettőzése problémájának megoldására, s ezzel demonstrálja azt a nézetét, hogy vannak olyan ismereteink, amelyeket nem tapasztalás útján szerzünk és nem is másoktól tudunk meg, hanem önmagunk önmagunkban fedezzük fel azokat, mintegy visszaemlékezésképpen. Az ismeret homályosan megvan bennünk születésünktől kezdve, a tanítónak csak az a feladata, hogy a visszaemlékezést, a homályos kép kitisztulását segítse kérdéseivel, tehát ne oktasson (az ismeretközlés értelmében), hanem felfedeztessen. A dialógus fő kérdése az erény taníthatósága, Szókratész érvelésének pedig kulcsfontosságú eleme, hogy az erény ebben az értelemben tanítható.

Szókratész

* 

Nézzük, mi is történik a matematikában a 19.sz.-ban. Igazából korábban kezdődik a dolog, mint e század vége; a matematikatörténeti vonatkozások még a legszűkebben véve is legalább a 19. sz. első évtizedeiig nyúlnak vissza. Bizonyos fejlemények következtében megrendül a hagyományosnak mondható kép a matematikáról. Eszerint az Arisztotelészre visszavezethető kép szerint a matematika valamilyen okból igen biztosnak tekintett kiindulópontokból jut el, kizárólag logikai levezetés útján a tételeihez. Ennek folytán a matematika a biztos és tökéletesen megalapozott igazságok birodalma, amelyet abszolút megbízható módszere révén kivételes hely illet meg a tudományok között. Látni fogjuk, hogy a megrendülés után felmerülő filozófiai álláspontok skálája rendkívül széles, onnan kezdve, hogy egyesek megpróbálják fönntartani, erőteljes átértelmezések árán, a matematika tételei számára a különösen erős vagy biztos igazságok státuszát, egészen odáig, hogy mások szerint egyáltalán nincs értelme a matematika tételeire az ‘igaz’ kifejezést használni.

Arisztotelész

Mik a matematikán belüli tényezői ennek a változásnak? Próbáljuk meg végigzongorázni a matematika három hagyományos nagy területét. A geometriában azt hiszem, hogy mindenkinek eszébe jut a nem-euklidészi geometriának a megjelenése. Természetesen a megrendítő dolog itt nem az, hogy különc emberek megpróbálnak a párhuzamossági axióma tagadásából és a többi euklidészi axióma megtartásából újabb rendszereket fölépíteni, hanem az 1850-es évektől kezdve kiderül, hogy igazából az euklidészi és a Bolyai–Lobacsevszkij–féle geometria között a matematika módszerével nem lehet választani. Ha az egyik ellentmondásos, akkor a másik is az, és viszont, tehát biztosan nem fog sikerülni, hogy a párhuzamossági axióma tagadásából ellentmondást vezessünk le és ezzel indirekte igazoljuk a párhuzamossági axiómát. Empirikus úton ugyancsak nem lehetséges a döntés, bár nem kisebb matematikus, mint Gauss erre is kísérletet tesz, csillagászati mérések útján.

A másik és szintén elég lényeges probléma az, hogy némiképp megrendül a bizalom az euklidészi axiomatikában, amely kétezer éven keresztül mintaszerűnek számított a szigorúságával. Kiderül, hogy az euklidészi Elemekben vannak úgynevezett rejtett axiómák. Nevezetes példa erre a Pasch-féle axióma, mely szerint ha egy egyenes belső pontban metszi egy háromszögnek az egyik oldalát, akkor ugyanígy metszi valamelyik másik oldalt is, vagy pedig átmegy a szemben lévő csúcson. Ezt a kijelentést bizonyára mindenki, akinek van valami középiskolai szintű naiv elképzelése a geometiáról, hajlandó magától értetődően igaznak elfogadni; viszont nem vezethető le az Elemek axiómáiból, ezért teljesen megérdemli az axióma nevet az arisztotelészi értelemben. Kiderült az, hogy Euklidész bizonyos tételeit enélkül nem lehet bebizonyítani, viszont Euklidész ilyen állítást nem mond ki az axiómái között. Az Elemek bizonyításaiba itt-ott becsempésződnek, kimondatlanul felhasználásra kerülnek ilyesmik; ezeket hívjuk rejtett axiómáknak. A történet természetesen alapjában véve logikai kérdést vet föl: azt, hogy hogyan lehet az ilyen baleseteket elkerülni. A nem-euklidészi geometria viszont az igazság és bizonyosság kérdését veti fel: melyik az igazi, van–e egyáltalán igaz geometria?

Euklidész

A matematikai analízisben, azaz a sorozatok elméletében, a differenciál- és integrálszámításban nem botrány tör ki, hanem több mint fél évszázados folyamat révén tisztázódik és lezárul egy régi botrány. Ezt a matematikai ágazatot Leibniztől kezdve az euklidészi szigorúság mellőzésével, a végtelen kis mennyiségekkel való számolásra, egyszerűen a közönséges aritmetika analógiájára építették föl. Bár Leibniz maga a végtelen kis mennyiségeket csak kényelmes jelölésnek, rövidítésnek tekintette, de a követői, az analízis művelői az úgynevezett infinitezimálisokat már valódi számokként kezelték. Az így kialakult kalkulus egyrészt nagyszerűen alkalmazható volt a fizikában és műszaki téren, másrészt viszont nem kellően értő kézben mindenféle paradoxonokat, nyilvánvalóan hibás eredményeket produkált, mégpedig anélkül, hogy egyetlenegy kimondott szabályt is megsértettek volna. Tehát nem volt világos kritérium, hogy mikor jó egy levezetés vagy számítás, mikor nem jó. Ebben az értelemben nem volt euklidészi az analízis. A 19. században lényegében a végtelen kis mennyiségek kiküszöbölése történik meg: fokról fokra aritmetizálták, végső soron a természetes számok aritmetikájára vezették vissza a matematikai analízist. A természetes számokból föl lehetett már építeni a racionális számokat, különböző magasabb fokú módszerekkel az irracionális számokat, határértékfogalmat stb. Tehát ami történt, az egy tisztázódási folyamat, csakhogy maradék problémákat hagyott maga után. Az egyik maradék probléma az ilyenfajta paradoxonok visszatérésének a lehetősége, más szóval, hogy a természetes számok aritmetikájának vannak-e valamilyen értelemben abszolút biztos alapjai? Ez a kérdés Frege és kortársai előtt. A másik maradék kérdés egy kicsit homályosabb, ha úgy tetszik, ontológiai probléma. Azt továbbra is gondoljuk, hogy természetes számok vannak, és ugyancsak létezik minden, amit belőlük föl lehet építeni, egészen az irracionális számokig; de a végtelen kis mennyiségekről ezek után nem kell azt gondolni, hogy azok léteznek. Mi itt a kritérium, hol a határ? Különböző válaszok lehetségesek; rögtön lehetséges az a válasz, hogy biztosan nem létezik az, aminek a létezésének a feltételezése ellentmondásra vezet, és ezért nem léteznek a végtelen kis mennyiségek. De itt megint garanciakérdések merülnek föl. Honnan tudjuk azt, hogy a természetes számok létezésének a feltételezése nem vezet ellentmondásra? Mi az a minimális egzisztenciafeltevés, amellyel ki lehet jönni a matematikában?

Bernard Bolzano

A legnagyobb maradék probléma, amelynek a 20. sz. matematikájának kialakulásában aztán igen nagy szerepe lesz, a végtelen sokaságok problémája. A végtelen mennyiségektől az aritmetizálással, azzal, amit a ma analízist tanulók ,,epszilonozásnak” neveznek, meg lehetett szabadulni, de a végtelen sokaságoktól nem. Bernard Bolzano, akinek nagy szerepe volt az analízis aritmetizálásában, a halála előtt egy évvel, 1847-ben befejezett egy könyvecskét Paradoxien des Unendlichen (a végtelen paradoxonai) címmel. Ebben annyira lehangoló eredményekre jutott, hogy ő maga nem is adta ki, hanem csak 1854-ben, a halála után egy tanítványa. Lényegében oda lyukad ki, hogy a végtelen beengedése a matematikába mindenképpen feloldhatatlan ellentmondásokhoz vezet. Részben fölhozza a még nem teljesen aritmetizált analízis problémáit, amelyeknek a kiküszöbölésére ő maga is meglehetősen sokat tett, de ő még úgy látta, hogy ez a munka nem fejezhető teljesen be; ilyen irányú kételyeire a következő néhány évtized fejlődése választ adott. Másrészt viszont végignézi számos arcát egy egyszerűen megfogalmazható problémának: annak, hogy hogyan lehet nagyság szerint különbséget tenni végtelen halmazok között. Van egy euklidészi axióma, miszerint az egész mindig nagyobb, mint a rész. Bolzano ezt alapigazságnak tekinti; de viszont van egy olyan egyszerű elv is, hogy ha két halmaz között kölcsönösen egyértelmű leképezés lehetséges, akkor azok (nagyságukat tekintve) egyformák. Ez az elv jóval régebben megvan a matematikában, mint a modern halmazfogalom (persze korábban másképp fogalmazták), és Bolzano hosszan érvel amellett, hogy fönn is kell tartani. De a természetes számok és a nem negatív páros számok egyszerű módon kölcsönösen egyértelműen megfeleltethetők egymásnak, csak meg kell feleltetni minden természetes számnak a kétszeresét. Ez nyilvánvalóan kölcsönösen egyértelmű, és a természetes számok halmazát a saját felével hozza megfeleltetésbe. Az okfejtés így nagyon is egyszerű, szinte primitív; Bolzano érvelésében az az érték, hogy bebizonyítja: a problémától semmiféle kézenfekvő vagy körmönfont kerülő úton nem lehet megszabadulni. Egyetlenegy megoldás maradna: elvetni azt, hogy az egész nagyobb, mint a rész. Ez előtt a lépés előtt Bolzano megtorpan; ennek megtétele Georg Cantorra marad.

Georg Cantor

Az algebrában nem a problémák és paradoxonok befolyásolják a matematika képének megváltozását, hanem a végbemenő óriási fejlődés. A 19. században az algebra elszakad attól, hogy a különböző fajta számokon végzett műveletek tudománya legyen, és absztrakt művelettudománnyá válik. Mondják, hogy a 19. sz. matematikájának legnagyobb felfedezése a csoport fogalma. A csoport olyan halmaz, amelynek elemei között definiálva van egy művelet; nevezhetjük szorzásnak és jelölhetjük egymás mellé írással. A szorzás asszociatív kell, hogy legyen, azaz az a(bc) = (ab)c azonosságnak érvényesnek kell lennie. A halmaz egyik eleme egységelem, azaz ha bármelyik másik elemet megszorzunk vele, akkor a szorzat ez a bizonyos másik elem. A halmaz mindegyik elemének van inverz eleme, amivel őt összeszorozva megkapjuk az egységet. A pozitív számok a közönséges szorzásra nézve nyilván csoportot alkotnak, melyben az 1 az egységelem és a reciprok az inverz; de ugyancsak csoportot alkot az összes valós szám az összeadásra, mint műveletre, csak ott az egységelem nem az 1 lesz, hanem a 0, az inverz pedig az ellentett. Az összes valós szám a szorzásra nem alkot csoportot, hiszen a 0-nak nincsen inverze. Vannak nem kommutatív csoportok is, azaz olyanok, amelyekben ab = ba nem mindig igaz. Csoportot alkotnak például elég nagy és fontos függvényhalmazok a függvényösszetételre nézve (tehát az fg szorzatfüggvény értéke az x helyen az, amit f a g(x)-hez rendel); itt egységelem az a függvény, ami mindenhez önmagát rendeli. A geometriai transzformációkon belül igen fontos csoportok vannak az egymás után elvégzésre, mint műveletre. A csoportok elméletében az az újdonság, hogy a műveletek tulajdonságait vizsgáljuk, függetlenül attól, hogy min végezzük a műveleteket. Azok a kijelentések, amelyeket előbb leszögeztünk, hogy ti. a szorzás asszociatív, létezik egységelem és inverzelem, a csoportelmélet axiómái abban az értelemben, hogy az elmélet csak azzal foglalkozik, hogy mi következik ezekből. De mit jelent az, hogy ezek igazak? Egyes struktúrákban igazak, azok csoportok, más struktúrákban nem igazak, azok nem csoportok. A csoportelmélet nem azzal foglalkozik, hogy hol igazak az axiómái és hol nem, hanem azzal, hogy mi következik belőlük. Ezek a következmények aztán persze minden egyes konkrét csoportban igazak lesznek. Van-e jogunk azt mondani, hogy konkrét csoportoktól függetlenül, önmagukban igazak azonban? Ez a kérdés az algebrista számára valójában nem túlzottan értelmes; tehát itt az igazságfogalom megrendül, ill. átalakul.

Lássunk a csoporton kívül egy másik nagyon fontos absztrakt struktúrát: a Boole–algebrát. Ez már egészen másképp működik, mint a számok közötti műveletek algebrája. Van benne két olyan művelet, amelyeket bizonyos mértékig analógiába lehet hozni a szorzással, illetve az összeadással; csakhogy ezek többek közt kölcsönösen disztributívak egymásra nézve. Azaz nemcsak a számoknál jól ismert a(b+c) = ab + ac azonosság áll fenn, hanem a+bc =(a+b)(a+c) is. Ez nem valami Istentől elrugaszkodott dolog, hanem ez is egy konkrét interpretációból nő ki; valójában nem is egyből, hanem háromból. Először is lehetnek az alaphalmaz elemei kijelentések, az összeadás a ‘vagy’-gyal, a szorzás pedig az ‘és’-sel való összekapcsolás; másodszor, legyenek az alaphalmaz elemei maguk is halmazok, szorzás a közös rész, az összeadás az egyesítés; harmadszor, a valószínűségszámításban az alaphalmaz elemei események, a szorzat az együttes bekövetkezés, az összeg pedig az az esemény, hogy legalább az egyik esemény bekövetkezik. Egyébként a Boole–algebrák fontos tulajdonságait és az első két interpretációt megtaláljuk Leibniz kiadatlan írásaiban, úgy 150 évvel Boole előtt; ezt azért említem meg, mert úgy tudom, Leibniznek ezekben az írásaiban merül fel először az a gondolat, hogy egy formális rendszert többféleképpen is lehet interpretálni.

De térjünk vissza a 19. század végére, amikor a különféle algebrai struktúrák már polgárjogot nyertek; kézenfekvő gondolatnak tűnhetett, hogy a természetes számokat ilyenfajta, az algebrában szokásos axiómák segítségével ragadjuk meg. Ekkor azonban felmerül a kérdés, hogy a természetes számok műveleteinek az elméletét valamilyen különleges státusz illeti-e meg a matematikán belül, vagy pedig ugyanaz a helyzet, mint a csoportok vagy a Boole–algebrák elméletére, hogy ez az elmélet is konkrét esetek, konkrét struktúrák egész légiójára igaz. Az alternatívánk tehát az, hogy a természetes számoknak, mint műveleti struktúrának az axiómarendszere más természetű, mint más algebrai struktúráké, amennyiben ezek az axiómák egy konkrét, létező halmazt írnak le, a természetes számokat (mint ahogy az euklidészi geometria a régebbi felfogás szerint a teret írja le), vagy pedig több konkrét struktúrára is igazak az axiómák, és akkor a matematika eszközeivel nem tudjuk kiválasztani, melyiket alkotják az igazi (?) természetes számok.

Giuseppe Peano

A természetes számok elméletének részben az algebrai elméletek módjára való felépítése Giuseppe Peano nevéhez fűződik, a 19. század végén. Az ő rendszerében az alaphalmaz elemei között van egy speciális elem, a 0, és egyetlen egyváltozós művelet van, a rákövetkezés. Csakhogy van Peano rendszerében egy axióma, ami egészen más jellegű, mint az algebrai axiómák, mégpedig a teljes indukció axiómája. Ez nem műveleti tulajdonságokat ír le, hanem lényegében azt, hogy a természetes számok mindegyik elemét el lehet érni úgy, ha a nullától elindulva egyenként továbbszámolunk. Ez nem műveleti tulajdonság, hanem az algebrai jellegű axiómáktól teljesen eltérő természetű állítás, amely a számsor végtelenségének sajátos természetével függ össze.

S akkor itt átjutottunk a negyedik területre, ami új terület, és ami a felvetett problémákkal kapcsolatban születik meg. A végtelen halmazok elméletéről van szó, amely Georg Cantor nevéhez fűződik. Már említettem, hogy ő lépi meg annak az euklidészi axiómának az elvetését, hogy az egész nagyobb, mint a rész. Ha két halmaz között van kölcsönösen egyértelmű leképezés, akkor azok egyforma nagyok, még ha az egyik valódi része is a másiknak. Cantor először is bebizonyítja azt, hogy ez nem annyit jelent, hogy a végtelen halmazokat mind egyforma nagynak tekintjük. Sőt, kidolgozza a végtelen számosságok elméletét, melynek az egyik alapvető, viszonylag egyszerű tétele éppen az, hogy minden végtelennél létezik nagyobb végtelen, sőt, végtelenek egy adott, növekvő sorozatánál is van nagyobb és így tovább.

Cantor halmazelmélete egyfelől, a nagy végtelenek aritmetikájával, meglehetősen fantasztikus építménynek tűnik. Másfelől azonban megvan az a jelentősége, hogy a matematikában rejtetten mindenütt jelenlevő fogalmakra épül, és ezért képes a leibnizi értelemben vett mathesis universalis szerepét is játszani. Olyan elmélet, amelyben leírható, modellezhető a matematikának bármelyik területe s ezért ha volna egy tökéletesen megbízható halmazelméletünk, akkor az összes kérdés az igazsággal és a bizonyossággal kapcsolatban meg volna oldva. Igen ám, csakhogy még maga Cantor észreveszi azt a kellemetlen tényt, ami aztán elsősorban Bertrand Russel révén vált nevezetessé: hogy ez a halmazelmélet egyáltalán nem tökéletes, hanem ellentmondásos.

Cantor a halmazfogalmat sok, kissé ködös pszichologizáló magyarázaton túl igazából arra az elvre építi, hogy akármilyen, tisztességesen definiált tulajdonsághoz van egy olyan halmaz, amely az összes, ilyen tulajdonsággal bíró objektumból áll. A másik lényeges elv, amire épített, az, hogy a halmazképzés iterálható, ismételhető, tehát halmazokból is alkothatók halmazok, mivel a halmazoknak is vannak tulajdonságaik; más szóval a halmazok, a halmazok halmazai, a halmazok halmazainak halmazai, és így tovább a végtelenségig (sőt, azon túl) ugyanúgy objektumoknak tekinthetők, következésképp tulajdonságaik alapján halmazokba sorolhatók, mint azok az objektumok, amelyekből kezdetben kiindultunk.

Russell voltaképpen erről a két egyszerűnek és magától értetődőnek látszó elvről derítette ki, hogy együttesen ellentmondásra vezetnek. Vegyük ugyanis azt a halmaztulajdonságot, hogy ‘önmaga elemének lenni’. Ha feltételezzük, hogy van egy olyan halmaz, ami ennek a tulajdonságnak a terjedelme, ebből könnyedén ellentmondásra lehet jutni. Cantor erre azt mondta, hogy akkor az ilyen tulajdonságok terjedelme nem halmaz, hanem inkonzisztens sokaság.

A mai halmazelmélet úgy szabadul meg az önellentmondástól, hogy nem tételezi fel eleve minden tulajdonsághoz halmaz létezését, hanem csak azt posztulálja, hogy bizonyos halmazképzési műveletekkel nem lépünk ki a halmazok közül, Cantor inkonzisztens sokaságainak veszélyes világába. Voltaképpen két kritériumunk van, egy pozitív és egy negatív. Egyfelől, a halmazelmélet axiómáiból következik bizonyos sokaságokra nézve, hogy halmazok, másfelől pedig, ha tudjuk egy tulajdonságról, hogy ellentmondást eredményezne, ha halmazt rendelnénk hozzá, akkor annak a tulajdonságnak a terjedelme inkonzisztens sokaság (ma inkább valódi osztálynak hívjuk az ilyeneket). Cantor számára, mint filozófiai írásaiból kiderül, ez az eljárás azért lett volna elfogadhatatlan, mert nincs előre alkalmazható kritérium arra, hogy a sokaságok vagy osztályok közül mi halmaz és mi inkonzisztens sokaság. Nem vagyunk biztosítva az ellen, hogy valamely sokaság halmaz-voltának feltételezéséből, vagy akár az egész halmazelméletből a későbbiekben ellentmondás süljön ki. Cantor, amikor az inkonzisztens sokaságokról írt, azt szerette volna, hogy néhány ilyet, mint bűnöst, eleve zárjunk ki a halmazelméletből és utána már menjen minden azon a módon, ahogy korábban gondolta. A Russell-paradoxon kiküszöbölésének ez a módja azonban nemcsak hogy nem túl elegáns, hanem nem is járható.

Ezek tehát a matematika történetében azok a körülmények, amelyek között matematikusok és filozófusok elkezdenek ,,az alapok válságáról” beszélni. Nézzük meg a továbbiakban, hol vannak itt a filozófiai kérdések, és azokra milyen válaszok lehetségesek, ill. milyen válaszok merültek fel.

Folytatjuk!