2013. aug 06.

Erdős Pál esete a galambokkal

írta: Janguli
Erdős Pál esete a galambokkal

A prímember

-PaulErdos100thBirthday26March2013.jpg

Agyunk remek valószínűség-számítógép, néhány döntésünkben viszont egyenesen statisztikai analfabétáknak bizonyulunk! Olykor a gondolkodás hiánya, máskor épp a túlgondolás miatt. 

A világgal kapcsolatos ismereteink hézagosak, de ott, ahol nincs adatunk, vagy emléknyomaink elhalványultak, többnyire mégsem ürességet látunk. Agyunk a bizonytalan helyeket kitölti valamivel: ami adott feltételek közt a legvalószínűbb. A kognitív pszichológia mai forradalmárai azt állítják, ilyenkor idegsejtjeink bayesi számításokat végeznek. Azért éppen bayesit, mert a 18. századi tiszteletes, amatőr matematikus Thomas Bayes képlete írja le a legjobban azt, ami ilyenkor agyunk mélyén, szinte teljesen tudattalanul zajlik.

Hogy mire lehetett és lehet jó a bayesi adatelemzés? Például villámgyors döntésre: ha túl nagy a csend, vihar közeleg. Akár a természetben, akár az emberi kapcsolatokban. A bayesi döntés elég gyakran helyes ahhoz, hogy mindkét fronton elősegítse túlélésünket, de néha furcsa nyelvi alakot ölt.

Haragszik rám a galambom, mert nem szól 

A természet és a nők szeszélyeivel kapcsolatos népi bölcsesség persze leginkább nyár, avagy szerelem idején vethető be. A nyomott atmoszféra ilyenkor hordozza igazán a vihar ígéretét. Máskor lehet belőle éppenséggel csendes eső, illetve állhat mögötte álmos közöny. Az agy attól bayesi, hogy jól tudja ezt: mikor mi mennyire gyakori, és ez épp elegendő számára a sommás következtetéshez.

De miért is nem szól a galambom? Mert haragszik. Miért? Mert nem szól. A népnyelv lehet, hogy ezúttal is tükröz valamit gondolkodásunkból.

A valószínűség- és véletlen-szakértő elméleti fizikus, Leonard Mlodinow – Stephen Hawking társszerzője – szerint ugyanis nem ritka, hogy felcseréljük a fejünkben a ’ha A, akkor B’ valószínűségét a ’ha B, akkor A’ valószínűségével. A bayesi gondolkodómotor máris hibázik, amikor jellemzően túlbecsüljük a kedves haragjának valószínűségét. Ahelyett, hogy higgadtan felmérnénk, mennyire valószínű, hogy ha nem szól, haragszik, rögtön azt kalkuláljuk, mi a valószínűsége annak, hogy ha haragszik, nem szól, ami általában csüggesztőbb eredményt hoz. Minél ritkább a harag és minél gyakoribb a csend, annál inkább ideje újragondolnunk azt, ami a népdalban áll.

Diagnosztikai csapdák 

leonard-mlodinow.jpgLeonard Mlodinow

És minél nagyobb az ijedtség, annál inkább feledhetjük, hogy amitől félünk, talán igencsak valószínűtlen. Maga Mlodinow is, aki a Bayes-tétel jó ismerője, áldozata lett egy tipikus bayesietlen tévedésnek.

Még 1989-ben, 35 éves korában egy emlékezetes péntek délután felhívta orvosa, hogy közölje: őszintén sajnálja, de 999:1000 esélye van arra, hogy 10 éven belül meghal. Ismertette a kór lefolyását, majd letette a telefont, feltehetően, hogy további páciensek péntek délutánját is bearanyozza hasonló hírekkel. Mlodinownak azonban már két évtizede semmi baja. Ennyire szerencsés volna?

Az eset úgy kezdődött, hogy feleségével együtt életbiztosítást szerettek volna kötni. A jelentkezéshez csatolni kellett a leleteket is. Hamar jött a válasz: egyiküket sem biztosítják a férfi vérvizsgálatának bizonytalan eredménye okán.

Mlodinow a gyanú miatt elvégeztetett egy HIV-tesztet. Pozitív lett. A hír annyira megrázta, hogy elfelejtett rákérdezni, mi alapján mondja a doktor, hogy 1:1000 eséllyel egészséges. Mert akkor megtudhatta volna: orvosa arra a statisztikára alapoz, amely szerint a HIV-teszt 1000 eset közül 1-ben, bizonyos, a vérben jelen lévő jelzőanyagok (markerek) alapján akkor is pozitív eredményt ad, ha a vérmintában nincs jelen az AIDS vírusa. Ez ugyebár éppen az, amit az orvos közölt?

Nem egészen. Az orvos összetévesztette annak valószínűségét, hogy a teszt pozitív, ha a páciens nem HIV-fertőzött azzal, hogy a páciens nem HIV-fertőzött, ha a teszt pozitív.

Az adatok bayesi elemzése rávilágít a tévedésre. Ehhez figyelembe kell vennünk, hogy 1989-ben 10 000 heteroszexuális, nem intravénás kábítószerfüggő, fehér amerikai férfi közt csak egy HIV-fertőzött fordult elő. Ez az adat nem kis eltérést okoz a HIV-teszt eredményének értelmezésében. Miért?

Írjuk fel az összes esetet! 10 000 emberből

  1. HIV pozitív, pozitív teszttel: 1 személy, az esetek 0,01%-a;
  2. nem HIV pozitív, pozitív teszttel: 10 személy, hiszen a teszt 1000-ből 1-szer tévesen riaszt, ez 0,1%;
  3. nem HIV pozitív, negatív teszttel: 9989, azaz 99,89%;
  4. HIV pozitív, negatív teszttel: 0, 0%.

A teszt összesen tehát 11 embernél pozitív, közülük azonban csak 1 HIV-fertőzött. Mennyi volt akkor az esélye annak, hogy Mlodinow egészséges? 10:11! Az orvosnak ezt kellett volna mondania: ne aggódjon, ön 10:11 eséllyel nem beteg.

Minden diagnosztikánál be kell tehát kalkulálni a hamis pozitív esetek arányát és a kór tényleges elterjedtségét. Ha ezeket figyelmen kívül hagyjuk, az torzítja képünket a valószínűségről, és ok nélkül nyugtalankodunk. Ha a betegség ritka, vagy kis kockázatú csoportba tartozunk, a pozitív eredmény nem utal automatikusan betegségre, sőt ilyenkor még a teszt megbízhatósága sem perdöntő!

Egészen más a helyzet gyakori betegségnél, vagy ha valaki magas kockázatú csoport tagja. Például homoszexuálisoknál a HIV-fertőzöttek aránya 1%. 10 000-ből így nem 1, hanem 100 valódi esetet találunk, míg a hamis pozitív tesztek száma továbbra is 10. Vagyis a pozitív HIV-teszt ebben a csoportban immár azt jelzi 10:11 valószínűséggel, hogy az illető valóban beteg.

Dopping buktatók 

Az orvosi diagnosztika mellett, állítják a statisztikusok, a doppingvétségek elbírálásában és a jogi ítéleteknél is számos hiba a Bayes-tétel ismeretének hiányából ered, és erre csak elvétve mutatnak rá a medikusok és jogászok képzésekor.

A hamis pozitív esetek aránya doppingteszteknél is gyakran idézett mérőszám, amely ismét csak torzított képet ad a valóságról. Mary Decker Slaney világklasszis futónő 1983-ban 1500 és 3000 méteren is világbajnok lett. Az 1996-os atlantai olimpia előtt azonban, amikor vissza akart térni a versenyzéshez, az Egyesült Államok Olimpiai Döntőbizottsága megengedettnél magasabb tesztoszteronszint miatt doppingvétséggel vádolta. Majd az IAAF is vétkesnek ítélte, véget vetve ezzel sportpályafutásának.

mary-decker-slaney-track-field.jpgMary Decker Slaney

Abból, hogy a doppingteszteknél a hamis pozitív esetek aránya körülbelül 1%, általában arra következtetnek, hogy a pozitív teszt tulajdonosa 99%-ban vétkes. A helyzetet azonban súlyosbítja a hamis negatív tesztek magas aránya: a teszt csak 50% valószínűséggel mutatja ki a tiltott szerek jelenlétét a szervezetben.

Tegyük fel, hogy 1000 sportolót vizsgáltak, akikből minden tízedik élt doppingszerrel. Az 1000-ből 100 doppingolt, ebből 50-et csíptek el. A vétlen 900-ból a teszt 9-et mutat gyanúsnak. Így a pozitív teszt annyit jelent, hogy az illető 50:59 arányban doppingolt (84,7%). Körülbelül annyira lehetünk biztosak Stanley bűnösségében, mint abban, hogy dobókockával egyszer dobva nem egyest kapunk. Az ítélet matematikailag kétségbe vonható!

Donald Berry amerikai professzor, a világ legtekintélyesebb bayesi statisztikusa lesújtó véleménnyel van a doppingtesztekről. Szerinte a tömegesen végzett tesztek eredményeinek félreértelmezése miatt nagyszámú ártatlant bélyegeznek meg, miközben a doppingolók sok esetben csalnak a vizsgálaton, ezért megússzák. Ettől az egész sport szenved. Az ártatlanok meggyanúsítása abból ered, amit jogászkörökben ügyészi téveszmének, avagy a vádló csapdájának neveznek: eszerint úgymond nagyon ritka, hogy valaki ártatlan. Berry felhívja a figyelmet arra, hogy a doppingteszteket bayesi módon kellene értelmezni, az olimpiai atléták számára pedig lehetővé kellene tenni a statisztikai „konzultációt”, ha biztosak az igazukban.

donald_berry.jpgDonald Berry

Matematikusok lázadása 

A Bayes-képlettől vezérelt agy fő apostola, Stanislas Dehaene elismerte: egyelőre rejtély számára, miért mutatkozunk képtelennek a bayesi következtetésre épp olyan feladványoknál, amelyekben erre lenne szükség. Talán, véli a kutató, éppen tudatos, verbális agyrészünk alkalmatlan erre. A ráció olykor félrevezet, és a galambok túlszárnyalják a matematikusokat – méghozzá matematikai problémában!

_montyhead.jpgAmerikában évtizedek óta sugároznak egy igen népszerű vetélkedőt: Let’s Make a Deal (Kössünk üzletet). A 60-as évekbeli indulástól a 80-as évekig a műsort a jóképű és remek svádájú Monty Hall vezette, és a probléma is róla kapta nevét. Hogy a szórakoztatásnak milyen végtelenül együgyű formájáról van szó, azt megállapíthatjuk a felvételekről, vagy a 90-es években futott magyar változatból, a Rózsa György vezette Zsákbamacskából, amennyiben nyomot hagyott bennünk.

A játékosoknak nincs szükségük műveltségre. Kapnak egy közepesen értékes tárgyat, és el kell dönteniük, lecserélik-e egy elrejtett másikra. Az lehet nagy érték, de olyasmi is, amivel a játékos nem sokra megy, például régi szekér, rokka, vagy Shakespeare összes műve ószláv nyelven, esetleg egy tekintélyes teve. Végül a játékosok közül az, aki a legjobban szerepelt, megkötheti a Big Dealt (Nagy Üzlet), ott áll a főnyeremény kapujában: ez általában egy impozáns külsejű autó, például piros Maserati. Csakhogy nem egy kapu van, hanem három.

Monty Hall valahogy így fűzi mondandóját: Gratulálok! Ön a játék utolsó szakaszához érkezett, és immár karnyújtásnyira van a fődíjtól, egy vadonatúj, piros Maseratitól, amelyet az Ön előtt látható három ajtó egyike mögé rejtettünk. A másik két ajtó mögött (pl.) egy-egy kecske várakozik. Nos, melyik ajtó mögött érzi a főnyereményt?

Tehát az egyes. Megkérdezhetem, miért? Bár tudja mit, hagyjuk, maga olyan szimpatikus nekem, és mivel én tudom, melyik ajtó mit rejt, segítek egy kicsit. Mit szólna, ha kinyitnám az Ön által nem választott két ajtó valamelyikét? Hátha akkor meggondolja magát! Tudja mit, ki is nyitom, legyen mondjuk a kettes!

Áhá! Kecske! Fordítsuk komolyra a szót. Adok Önnek még egy lehetőséget. Ha akarja, meggondolhatja magát. Csak egy szavába kerül, és átmehet a hármasra. Vagy kitart eredeti döntése mellett, és megnézzük, jó volt-e. Nos, melyiket választja?

44x3sgvy-1370406223.jpgMaga Monty Hall és a játékosok is igencsak meglepődtek volna, hogy ez az egyszerű teátrum jó néhány évvel később mekkora felzúdulást kelt – immár matematikai problémaként.

A Guinness Rekordok Könyve régebbi kiadásai szerint 228-as IQ-jú Marilyn vos Savant, akitől magyarul Agyépítés címen olvashatunk elmegyakorlatokat, szokás szerint egy olvasói felvetésre válaszolt a Parade magazin Ask Marilyn című rovatában. 1990-et írunk: ekkor szüntették meg „a világ legintelligensebb embere” kategóriát a Guinness-ben, az IQ tesztek körüli kétségek miatt. Az olvasói kérdés nem más volt, mint a három ajtós probléma: megéri-e váltani?

A játékosok sokszor pszichológiai alapon döntenek. Azt próbálják leolvasni a műsorvezető arcáról, hogy vajon tényleg segíteni akar-e, vagy éppen elbizonytalanítani őket? Mások hisznek első megérzésükben, és kitartanak. Mindennek nem sok köze van a rációhoz. A logikus elmék általában úgy vélik, mindegy, melyik ajtót választják: egyforma az esély.

Marilyn válasza azonban más volt: a játékosnak minden esetben megéri váltani. Ezt le is vezette. Az olvasótábor igen nagy része azonban így sem hitt neki. Mintegy tízezer levél érkezett, rácáfolva arra, hogy a matematikai problémák hidegen hagyják az embereket. A levélírók 92 százaléka tiltakozásának adott hangot. Ritka az ilyen egyhangú vélemény Amerikában, ahol a lakosok 24 százaléka szerint a fény nem gyorsabb a hangnál, és 13 százalékuk véli úgy, hogy a növények nem juttatnak a levegőbe oxigént.

Még döbbenetesebb, hogy a levélírók közt csaknem 1000 doktori fokozattal rendelkező professzor is volt, sokan matematikusok. Ők tűntek a leginkább ingerülteknek. Klasszikus valószínűségekre alapozva bizton állították, hogy a két választás egyforma arányban lehet nyerő. Ezt írták Marilynnek: Hány feldühödött matematikusra lenne szükség, hogy megváltoztassa véleményét? Továbbá: Ha ezek a doktori fokozattal rendelkező emberek mind tévednek, akkor országunk súlyos bajban van!

PaulErdos02-640x442.jpgErdős Pál

A professzorok közt volt Erdős Pál is, a 20. század egyik legkiemelkedőbb és a történelem talán legtermékenyebb matematikusa. Amikor a problémát ismertették vele, kijelentette: Ez lehetetlen. Nem győzte meg a helyes válasz formális, matematikai bizonyítása sem, sőt ő is méregbe gurult tőle. Végül miután egyik kollégája számítógépes szimulációval megmutatta, hogy sok száz esetet modellezve 2:1 arányban a váltás nyer, belátta tévedését. 

A Monty Hall problémához nincs szükség levezetésére, differenciál- és integrálszámításra, algebrára vagy geometriára, de még amfetaminra sem, amelyet Erdős előszeretettel szedett. Amikor egy hónapon át nem élt a szerrel, így szólt: Azelőtt ha ránéztem egy üres papírlapra, a fejem tele volt ötletekkel. Most csak egy üres papírlapot látok.

A józan ész alapján erre gondolhatunk: ha két csukott ajtó közül egyik mögött autó, másik mögött kecske található, bármelyiket is választjuk, 50-50 százalék, hogy autóra lelünk. Korábbi döntésünk látszólag nem befolyásol semmit, úgy tűnik, tiszta lappal kezdhetünk.

De ez nincs így. Nem vettük figyelembe, hogy a játékvezető valóban segített nekünk. Nemcsak azzal, hogy kinyitott egy ajtót. Hanem hogy ezzel további információt is adott.

Miért? Amikor a játékos elsőre kiválasztott egy ajtót, 1:3 eséllyel találta el a Maserati helyét. Hogy a műsorvezető kinyitott egy másik, nem nyerő ajtót, az nem változtat e valószínűségen, továbbra is 1:3, hogy az első ajtó mögött van az autó. Ám ekkor a másik két ajtóból már csak az egyik maradt csukva. Annak valószínűsége, hogy az autó valamelyik csukott ajtó mögött van, 100 százalék. A látszólag 50-50 százalékos esély helyett háromból kétszer négy keréken roboghatunk haza, ha váltunk. Ha maradunk, csak az esetek harmadában kapunk slusszkulcsot.

A galambok okosabbak, mint a matematikusok? 

Az emberek a világon mindenütt, Brazíliában, Kínában, Svédországban és az Egyesült Államokban látványosan rosszul teljesítenek a Monty Hall problémában. Szinte mindenki ragaszkodik választásához, vagy legjobb esetben közömbös. Walter Herbranson összehasonlító pszichológus (Whitman College, Walla Walla, Washington) és Julia Schroeder arra voltak kíváncsiak, vajon más fajok hasonlóan reagálnak-e, mint az ember? A játék galamb-változatában 6 Silver King galamb három világító kapcsoló közül választhatott úgy, hogy azt csőrével megcsípte. A számítógép, amely Monty Hall szerepét játszotta, kiválasztotta az egyik meg nem csípett gombot, és azt lekapcsolta, kvázi mutatva, hogy ez egy rossz választás lett volna. Ha a galamb a fennmaradó két világító kapcsoló közül a jót csípte meg, kölest kapott. Az első napon a galambok a próbák körülbelül egyharmadában váltottak. De egy hónap után mind a hat madár szinte mindig váltott, így a maximális jutalmat nyerhették el.

_pigeon_02.jpgNem így az egyetemi hallgatók, akik pontokért játszották a Monty Hallt, szintén egy hónapon át. Először egyenlő arányban váltottak vagy maradtak. Az utolsó nap is csak a próbák kétharmadában váltottak, így messze lemaradtak a galambok ideális megközelítésétől.

Miért zavar össze minket egy probléma, amellyel a galambok megküzdenek? A megerősítés valószínűsége váltásnál kétharmad, maradásnál egyharmad. Az emberek választásai sok játék után közelítenek ezen arányokhoz. Ha a győzelem esélye a váltás révén 2:3-hoz, három esetből kétszer váltunk akkor is, ha ez rosszabb stratégia, mint ha mindig váltanánk. Amikor ismétlődően két választási lehetőség adódik, mind a megerősítés adott valószínűségével, hajlamosak vagyunk választásaink arányát e valószínűségekhez illeszteni. A galambok valami teljesen eltérőt művelnek: maximalizálják a nyereséget, ezért mindig váltanak – mit nekik valószínűség-illesztés! Röviden azért járnak sikerrel, mert nem gondolkozzák túl a problémát. Mi lenne, ha Földünkön megjelennének az idegenek, és az egyes fajok értelmi képességeit a Monty Hall problémában való helytállás alapján ítélnék meg?

A tanultság ára 

Amikor különféle korú tanulóknál vizsgálták a Monty Hallt, kiderült: az egyetemi hallgatók szinte mind úgy hitték, a maradás és a váltás egyforma mértékben vezethet győzelemhez. A középiskolások kevésbé hittek az egyenlő valószínűségben, de csak a nyolcadikosok jöttek rá, hogy a váltás a legjobb stratégia. Lehet, hogy az oktatással olyan gondolkodásmódokra teszünk szert, amelyek bár hatékonyak, bizonyos fajta teljesítményeket megzavarnak. Minél okosabbak vagyunk, annál többet kell felejtenünk. Erdős Pál csak akkor értette meg a helyes választ, amikor tapasztalati úton közelítette meg: úgy, mint a galambok. 3485njyb-1370412761.jpg

Jakabffy Éva

Szólj hozzá

tudomány kecske galambok valószínűségszámítás erdős pál jakabffy éva stanislas dehaene paul erdös Monty Hall probléma erdős pál matematikus thomas bayes bayes tétel feltételes valószínűség bayesi statisztika Monty Hall paradoxon Leonard Mlodinow álpozitív hiv teszt