2018. máj 12.

Hozzáférhetővé váltak Grothendieck titkos archívumai II.

írta: Janguli
Hozzáférhetővé váltak Grothendieck titkos archívumai II.

french-mathematician-alex_gothendieck-012.jpg

A cikk előző része itt található.

Érzéketlen a kitüntetésekre

Bertrand Toën ugyanazt a tapasztalatot élte meg. Kutató a toulouse-i Matematikai Intézetben; a „magasabb kategóriák” a témája – ezek teszik lehetővé az egyenlőség fogalmának újragondolását és kiszélesítését. „2006-ban megtaláltuk Grothendieck 1983-ból származó jegyzeteit, amelyek a magasabb kategóriák precíz felépítését tartalmazzák. Senki nem gondolta volna, hogy ilyen fogalmazvány létezik”; ez az anekdota is a mester vizionáló szelleméről árulkodik. Alain Genestier viszont óvatos: „Hagyni kell némi bizonytalanságot. Még nem értettünk meg mindent, ami ebben az archívumban van, lehet, hogy olyasmiket is tartalmaz, amiknek a jelentőségét csak később látjuk át.” 

E szellem jelentőségének jobb megértéhez el kell merülni az online elérhető archívumokban. Kicsit olyan ez, mintha egy öreg padláson kinyitnánk egy nyikorgó utazóládát. A látszólag összevissza jelekkel teleírt ívek közepette néhány meglepő tárgy hívja fel magára a figyelmet: hol egy legyező, hol egy teleírt naptár. De a legfurcsább: az Académie des Sciences által hatévente odaítélt Émile Picard érem, amelyet Grothendieck diótörésre használt. 

picard.gifAlexander Grothendieck viseltes Picard-érme, amelyet diótörésre használt

Noha Grothendieck megkapta a legnagyobb kitüntetéseket, nem tulajdonított nekik fontosságot – annyira nem, hogy 1988-ban visszautasította a Svéd Királyi Akadémia Craford-díját. „Ami az alapokra vonatkozó munkásságom kitüntetését illeti, meg vagyok győződve arról, hogy az idő az egyedüli próba, amelyet gondolataimnak ki kell állniuk. A termékenység az utódokról ismerszik fel, nem a kitüntetésekről.” 

Egy biztos: Grothendieck jobban kedvelte a diót, mint a díjakat! A Récoltes et Semailles-ben egy dióval példálózva írja le tudományos krédóját. Egy dió felnyitásához (akár egy matematikai probléma megoldásához) egyesek gondolkozás nélkül a durva módszert – a kalapácsot – választják (vagy a Picard-érmét). Ő azt tanácsolja, hogy a terméket vízben kell ázni hagyni. „A dió pár hét vagy hónap alatt megpuhul, és akkor tenyerünkkel szétnyomható!”

Ez a metafora jól jellemzi Grothendieck gondolkodásmódját: minden problémában egy általánosabb tétel speciális esetét látta. „Az általánosabb tétel, éppen mert általános, alkalmas olyan elemi redukciókra, amelyek – erőfeszítés nélkül, mintha csoda történnék – elvezetnek az eredeti probléma megoldásához” – egészíti ki Luc Illusie. 

Tehát Grothendiecknak nem annyira a probléma megoldása a fontos, mint az, hogy a probléma ott főjön az elméjében, hogy gondolatokat ébresszen. Leila Schneps matematikus, a Grothendieck-kör (Grothendieck munkáinak szentelt internetes oldal) tagja: „Képtelen volt részfeladatokkal, példákkal foglalkozni. Mindig azt a struktúrát akarta megtalálni, amely mindent megmagyaráz; olyan volt, akár egy detektív, aki az ügy összes elemének értelmét igyekszik megfejteni.” A háttérben pedig az a gondolat húzódik meg, hogy a tárgyak kevésbé fontosak az őket körülvevő kötelékeknél – teljes szemléletváltás ez a matematikában, amely addig elsősorban a halmaz és az objektum fogalmaira fókuszált.

Az egyetemességnek ez az akarása óhatatlanul rendkívül elvontakká tette írásait. S egy már addig is meglehetősen hermetikus területből a profán ember számára bevehetetlen erődöt alakított ki. De minő mélység! A matematikus Michel Raymond így emlékszik vissza Grothendieck szemináriumaira: „Előadásai tényleg zavarba ejtettek általánosságukkal, elvontságukkal. De utána rájöttünk, hogy a megfelelő fogalmakat fejtette ki azok természetes keretei között.” 

Vegyünk egy példát: a sémák. A Montpellier-i archívum az 1960 és 1967 közt publikált Éléments de géométrie algébrique jegyzeteiből 425 oldalt tartalmaz. A mű első kötete ezt az alapvető fogalmat fejti ki. Elnagyolva egy séma egyfajta tér-generátor, amely a különböző geometriák közti rejtett kapcsolatokat tárja fel. E fogalom jelentésének megértéséhez számos más fogalmat kell érteni, sőt meghaladni. De a matematikusok biztosítanak: onnan fentről csodálatos a kilátás. 

„A sémák nem mások, mint mindennapi nyelvünk, a mai geometria alapjai. Ma már megkerülhetetlenek! – így Pierre Cartier – Valójában a sémák Grothendieck előtt is léteztek, de benne volt meg az a merészség, hogy kiküszöböljön minden korlátozást, hogy igen tág alkalmazási területük legyen. 

De az ügy még radikálisabb! Az archívumban fellelhető egy 65 oldalas füzet is, benne az 1960-1969 közti szemináriumok jegyzeteivel. Itt Grothendieck kifejt egy fogalmat, amelyet matematikai munkássága legtermékenyebb fogalmának tekint majd, s amelyet később „toposz”-nak nevez el. 

"Nem látok mást a matematika elmúlt három évtizedében, aki lehetett volna annyira naiv, hogy bevezesse a toposz gyermeki elképzelését” – írja Cartier a Récoltes et Semailles-ban. 

Továbbfejlesztendő koncepciók

A toposzok valóban kihívást jelentenek a kiterjesztéshez: afféle tág és rugalmas interface-ek a geometriai terek és az objektum-halmazok között. „A toposz koncepciója ugyanakkor egy lenyűgöző általánosság, mélység és számítási hatékonyság egyidejű megjelenése: lehetővé teszi, hogy hidat építsünk olyan matematikai tartományok között, amelyek látszólag egyáltalán nem kapcsolódnak egymáshoz" – hangsúlyozza Olivia Caramello, a téma szakembere az Insubria Egyetemen (Como, Olaszország). Ilyen az algebra és a geometria. A Grothendieck-jegyzetekben talán még mindig van valami, ami újat mondhat nekünk e toposzok egyesítő képességeiről. 

És nemcsak ez az, ami az egyetemesség iránti törekvésében történt. Itt van egy 1041 oldalas archívum, amelynek címe legalábbis érdekes: Motívumelmélet. Grothendieck különös gondot fordított a feltalált fogalmak megnevezésére; a „motívum" egyaránt jelent motivációkat és egy idom geometriai elrendezését. Mint a kémia esetében, ahol a molekulák sokfélesége egy kis atomcsoportot rejt. Grothendieck úgy képzeli, hogy a geometriai objektumok „tiszta mintákra" bonthatók, és ezután átrendezhetők, hogy más objektumokat alkossanak.

Grothendieck soha nem tett közzé semmit erről a fogalomról, amely a legmagasabb ambícióját képviseli, a végső lépést az absztrakció felé, amelyet nem volt képes véghezvinni – ez volt talán az egyik oka annak, hogy 1990-ben lelép a matematika színpadáról. „Grothendieck olyannak látta a tiszta motívumokat, mint az egyik testből a másikba vándorló lelkeket, amelyek egy bizonyos állandóságot is képviselnek” – mutat rá Pierre Cartier. A buddhizmus a matematika és a nők mellett a harmadik nagy szenvedélye volt, amelyet Grothendieck elismert. 

Eszköz a részecskefizika számára?

Ezek az okok, amelyek csak bizonyos esetekben definiálhatók, ma is nagyon titokzatosak és mindenütt jelen vannak. Ott vannak minden mai munkában, amely az algebrai geometriáról és a számelméletről szól. Még meglepőbb: szerephez juthatnak a részecskefizikában is! „Ez az ötlet a fizikusok és a matematikusok közötti beszélgetések során merült fel az IHES-ben, teázás idején", emlékeztet Francis Brown, az Oxfordi Egyetem professzora. A kihívás az volt, hogy kiszámítsuk, hogyan ütköznek össze a részecskék, méghozzá anélkül, hogy a szokásos módon használt, gyakran nagyon összetett integrálszámításokat kezdtük volna alkalmazni. És itt jön a csoda: úgy gondoljuk, hogy ezek mögött az integrálok mögött olyan motívumok rejlenek, amelyekkel sokkal gyorsabban kiszámíthatók” – lelkesedik Francis Brown –. Ezt egyetlen fizikus sem vette észre. Grothendieck-nek kellett arra járnia! 

E furcsa, a részecskék közt a motívumok által létrehozott szimmetria értelme nem tisztázott. De jól illusztrálja, hogy mennyi rejtélyt őriznek továbbra is a dió kedvelője által szakavatottan leszűrt koncepciók, és hogy mennyire le tudnak nyűgözni az ő archívumai. 

grothendieck-460x300.jpg

Michel Raynaud emlékszik rá, hogy az 1960-as években, mikor autóval indult útjára Bures-sur-Yvette-i otthonába, azt mondta az ő szaggatott hangján, enyhe német akcentussal: „Olyan dolgokról gondolkozom, amelyek még ötven év múlva is foglalkoztatni fogják a matematikusokat!"

Ford., szerk: Jakabffy Imre, Jakabffy Éva

Szólj hozzá

tudomány matematika részecskefizika matematikatörténet Alexander Grothendieck