2017. aug 03.

A matematika szépsége II.

írta: Janguli
A matematika szépsége II.

Beszélgetés Cédric Villani Fields-érmes francia matematikus sztárral

A "matek Lady Gagájának" is nevezett Villani, aki újabban Emanuel Macron támogatójaként is feltűnt, rajong a művészetekért, különösen a zenéért. A Philosophie Magazine-nak adott interjújában vall a matematika szépségéről. 

PM: Azt megértem, hogy a matematikusok és a költők osztoznak a szavak iránti lelkesedésben, na de a szépében is?

leffest_cedric_villani.jpgCédric Villani

CV: A szép a matematikusok által egyetemesen használt fogalom, miközben számos művész ma zsenánsnak tartja. A matematikusokat mindig meglepi, ha valaki értetlenül áll a matematikai szépség fogalmával szemben. Számukra ez olyan banális, hogy nem értik, miért kellene róla beszélni! Úgy tűnik nekem, hogy az esztétikai érzés automatikusan kifejeződik, amikor analizálni kell a lehetséges folytatásokat. A matematikában, amikor bizonyítunk, van egy kitűzött cél, viszont van egy óriási választék, ahol a kombinatorika érvényesül. Ha százmilliárd lehetséges út áll előttünk, okvetlenül szükségünk van egy szelektálási szabályra. Az ma már klasszikus, hogy egy matematikus számára az aranyszabály, az Ockham-borotva a szépség: ha szép, egyszerű, frappáns, meglepő valami, akkor alkalmasint jó úton vagyunk. Mint egy sakkozó: tíznél több lépést nem lát előre, de azt nézi, adott húzás javít-e az álláson. A matematikus pedig azt nézi, hogy ha adott irányban folytatja és nem egy másikban, azzal erősíti-e a harmóniát. Ha igen, jó nyomon van. Ez általánosan elfogadott törekvés, noha az is igaz, hogy néha a divatok is számítanak.

PM: Milyen divatok?

CV: Vannak bizonyítások, amelyek egykor nagyon szépeknek tűntek, de ma már nem annyira. Egyes bizonyítások soha nem mennek ki a divatból, mint például Euklidész felettébb híres bizonyítása arról, hogy a prímszámokból végtelenül sok van. Napjainkban viszont úgy tűnik, inkább favorizáljuk az elemi, „gyalogos” bizonyításokat, tehát a bottom-up, nem pedig transzcendens érveket.

PM: Hogy különböztethető meg egy gyalogos bizonyítás egy transzcendenstől? És miféle transzcendenciáról van szó?

CV: Nos, vegyük éppen a transzcendens számokat. Ezek azok, amelyek egyetlen egész-együtthatós polinomnak nem gyökei; a 2 négyzetgyöke az x2 = 2 egyenletnek gyöke, tehát nem transzcendens, hanem algebrai szám. Ahogy a pithagoreusok híres aranymetszés-száma is. Viszont a π transzcendens, vagyis nincs olyan egész együtthatós P polinom, hogy P(π) = 0. Azaz kiesik valamennyi polinom hatásköréből, „túl” van azokon. De bizonyítani, hogy a π transzcendens, az már korántsem egyszerű. A 19. század végének egyik leghíresebb tétele kétezer év tévelygése után lezárta a kör négyszögesítéséről folytatott vitát. Kimondja: ezt lehetetlen megoldani úgy, hogy a görög matematikusok szabályait is betartjuk. De hogy lehet bizonyítani a transzcendens számok létét? A 19. században Liouville előállt egy fáradságos bizonyítással, megkonstruálva néhányat. Ma alkalmazhatok egy, mondjuk úgy, "légies" érvelést, amely nagyon gyors is, felhozva, hogy egy polinomnak véges számú gyöke van. Hadd vázoljam fel az okoskodást: megszámlálható mennyiségű algebrai szám létezik. Végtelen sok ugyan, de megszámlálható. Viszont megszámlálhatatlan valós szám van, ennek bizonyítása Georg Cantortól származik. Ha megszámlálhatatlan valós szám van, és megszámlálható algebrai szám, akkor kell lennie roppant sok nem algebrai – azaz transzcendens – számnak is. Quod erat demonstrandum.

Nem is olyan régen ezt a bizonyítást igen elegánsnak vélték volna. Csakhogy ezt az utat követve nem bizonyítottunk többet, mint hogy szükségképpen nagyon sok transzcendens szám van, viszont nem mutattunk fel egyet sem! Joseph Liouville 19. századi matematikus bizonyítása vesződséges volt ugyan, de sokkal explicitebb. Konstruktív bizonyítékkal állt elő, az én előbbi bizonyításom viszont nem az. És úgy tűnik, ma a matematikai ízlés ingája ismét a konstruktívabb felé leng ki. Olyannyira, hogy teljes könyveket írnak, amelyek ebben a szellemben újítanak meg bizonyításokat. Itt részben a számítástechnika hatása érződik: legyenek programozhatók a tételek, de az az igény is, hogy térjünk vissza az egyszerűbbhöz, vagy legalább az elemibbhez.

PM: „A matematika rejtélyes megfelelése a természettel, a természeté a matematikával” – írta egy tudománytörténész… Mi van e bűvölet mögött? A matematika invenció, vagy felfedezés?

CV: A válasz az idők során változásokon ment keresztül. Ma szerintem a matematikusok körében az uralkodó meggyőződés az, hogy felfedezünk. Ezelőtt 25 évvel viszont azt gondoltuk, kitalálunk. Átfordult a vélekedés, ami kiderül, ha az enyémnél korábbi generáció tagjait kérdezi. Például Jean-Pierre Bourguignon – fontos hang volt a matematikáról a közvéleményben folyt vitában – ahhoz a generációhoz tartozott, amely a „kitalálók” oldalán állt. A magatartás ilyen megváltozása nézetem szerint számos tényező együttes hatásával okolható. Globalizált társadalmunkat nyugtalanítja az ökológiai válság, a migráció… ami kedvez a világhoz való viszonyunk szerényebb megközelítésének: ama gondolat, hogy végső soron a dolgok nem kormányozhatók az ember által, bizonyára a matematika más megközelítésének kedvez: a hódító magatartást felváltja egy sokkal alázatosabb, amelyben elfogadjuk, hogy a Világegyetemben léteznek nagy rejtélyek, amelyek kifognak rajtunk. Az értelemre vonatkozó kérdések még nyitottabbak, mint korábban (például: mi a véletlen a kvantummechanikában?), miközben a teljesítmények is hallatlanok, vegyük a gravitációs hullámok felfedezését: a fizikusok és a matematikusok hihetetlen pontossággal kalkulálták ki és jósolták meg! Ilyenkor a bűvölet ismét felülkerekedik. Ezt a bűvöletet fogalmazta meg Wigner Jenő (1902-1995): „a matematika eszeveszett hatékonysága a természettudományokban.”

436947_atelier-cedric-villani.jpg

Villani: Az elmélet születése című könyve magyarul idén jelenik meg a Typotex Kiadónál.

Ford., szerk.: Jakabffy Éva

Szólj hozzá

matematika bizonyítás