2017. júl 27.

A matematika szépsége I.

írta: Janguli
A matematika szépsége I.

Azoknak, akik szidják a matematikát

Richard Feynman írja: „Aki nem ismeri a matematikát, annak nehéz megértenie a természet legmélyebb szépségét…”

Richard Feynman, a 20. század egyik legnagyobb fizikusa

„A matematikus mintáinak a festő vagy a költő mintáihoz hasonlóan álomszépnek kell lenniük. Az elméletek között is, mint megannyi szó vagy szín között, összhangot kell teremteni. A legelső szempont a szépség: csúnya matematikának nincs helye a világban... A matematikai szépséget nehéz ugyan meghatározni, de minden szépséggel így van az ember - nem tudjuk, mit értünk szép vers alatt, de ez nem akadályoz meg minket abban, hogy felismerjük őket.”

G. H. Hardy, angol matematikus, a számelmélet és a matematikai analízis kiemelkedő kutatója.

„Olyan ez, mint megkérdezni, miért szép Beethoven IX. szimfóniája. Ha magadtól nem jössz rá, más nem tudja elmagyarázni. Tudom, hogy a számok gyönyörűek. Ha nem azok, semmi sem az.” „Bizonyos szempontból a matematika az egyetlen határtalan emberi cselekvés. Elképzelhető, hogy az emberiség előbb vagy utóbb mindent megismer a fizikában vagy a biológiában, a matematika azonban végtelen, ezért kimeríthetetlen. Már maguk a számok is végtelenek. Ezért van az, hogy igazából csak a matematika érdekel.”

Erdős Pál matematikus 

holografikus_hej.jpg

Henri Poincaré matematikus szerint a tudóst, de mindenekfölött a matematikust saját műve szemlélésekor ugyanaz az érzés keríti hatalmába, mint a művészt. Élvezete is ugyanolyan intenzív és hasonló természetű. A matematikus munkájának célja nem csupán a pozitív eredmények hajszolása, amint azt a laikusok feltételezik, hanem az is, hogy ezen esztétikai érzelem hatása alá kerüljenek, és másokban is ezt az érzést keltsék fel.

Miért beszél ennyi matematikus egybehangzóan a matematika esztétikai oldaláról, és mit értenek pontosan ez alatt? Lovász László matematikus, az MTA elnöke elismeri: "Furcsa dolog, hogy a matematika területén egy-egy eredmény legfőbb dicsérete nem az, hogy hasznos, fontos, újszerű, hanem az, hogy „szép”. A végső szempont (legalábbis az elméleti matematika területén) esztétikai."

Lovász konkrét példával is megvilágítja a "matematikai szép" fogalmát: "Az egyik legszebb formula Leonhard Eulertől (a 18. század legnagyobb matematikusától) származik:

eπi=-1

Gondolom, aki nem matematikai képzettségű, az felkapja a fejét: Hogy lehet egy formula „szép”? Talán ebben az esetben tudok némi magyarázattal szolgálni: a formula bal oldalán három olyan mennyiség szerepel, melyek a matematika különböző területeiről származnak. Legismerősebb talán a „pi”, a kör kerületének és átmérőjének hányadosa. Az „i” imaginárius egységet, a -1 szám négyzetgyökét az algebrában vezették be, mert segítségével bizonyos egyenletek megoldását elegánsabban lehetett megadni (itt is egy esztétikai jelzőt használtam!). Végül az „e” számot a differenciál- és integrálszámítás sugallta, mert számos kifejezés elegánsabb lett, ha például a szokásos 10 alapú logaritmus helyett az „e” alapú logaritmust használták. Az a tény, hogy három ilyen különböző indíttatással bevezetett mennyiség egyetlen tömör képletben kapcsolódik össze, a matematika egészének mély belső harmóniáját sugallja, és jogosan nevezzük szépnek."

A matematikában szépnek neveznek egyes bizonyításokat is. Lovász László mesterét, Erdős Pált idézi, aki úgy vélekedett: "Istennek van egy Könyve, amelyben minden tételre le van írva a legszebb bizonyítás." Amikor egy kolléga elmondott Erdősnek egy bizonyítást, és az nagyon tetszett neki, a legnagyobb dicséretnek ez számított: „ez egyenesen a Könyvből van”.

A matematikát és az esztétikát kézzelfoghatóan azok a geometriai objektumok kötik össze, melyeket matematikai módszerek hoztak létre és igen látványosak. Ezek közül is a leghíresebbek a fraktálok, melyek matematikája különösen érdekes; ahogy Lovász fogalmaz: "a sík különböző szimmetriái vannak a különböző kövezetek hátterében, a leghétköznapibb lépcsőházi mintáktól az Alhambra utolérhetetlen díszeiig. A fraktálok megihlették a költőket is (Ferencz Győző: Fraktál-tudat), a kövezetek pedig a képzőművészeket, leginkább Maurits Cornelis Escher grafikáira lehet hivatkozni (melyekben fölbukkan a Bolyai–Lobacsevszkij-geometria is, ezzel is illusztrálva ennek a matematikai eredménynek sokirányú hatását). Egyes biológiai alakzatok, virágok, termések pedig már három területet kapcsolnak össze, hiszen a kialakulásuk matematikai és biológiai tények összjátékának köszönhető, szépségük azonban esztétikai jelenség."

Fraktálok

A fraktál olyan objektum, amelynek minden része hasonló az egésszel.

fraktal_2.jpg

Matematikai fogalom ritkán arat ekkora sikert, ráadásul a legkülönfélébb emberek körében. Ennek oka jórészt Benoît Mandelbrot-nak és a fraktálokat számos területen alkalmazó követőinek a sikeres "marketingje". Mandelbrot Fraktál objektumok és A természet fraktál-geometriája című könyvei mind újabb kiadásokat érnek meg, s igen eltérő kultúrájú emberek tömegei olvasták őket.

A siker további, fő okai: egyfelől maga a fogalom is lenyűgöz azzal, hogy a végtelen egy formájához vezet el; másfelől a fraktálok matematikájának használatával különlegesen szép képek készíthetők.

A tengerpartok, a felhők, egy fa, egy páfránylevél látszólag kaotikus, szabálytalan alakja valójában a végtelenül kicsi igen bonyolult geometriájának a kifejeződése.

Ebben az univerzumban a szokásos, egész számú euklidészi dimenziók helyébe törtszámú dimenzió lép . Egy fraktál-objektum csak közelítéssel ábrázolható, hiszen sajátja a végtelenül kicsi.   

Egy mítosz - a Fibonacci-sorozat és az aranymetszés 

A számsor lényege, hogy minden szám az azt megelőző két szám összege, azaz: 0,1,1,2,3,5,8,13,21,34,55,89,144,233...

logaritmikus_spiral_fibonacci.pngA logaritmikus spirál a Fibonacci számsorozat egy alkalmazása. Poláris egyenlete: r = at = et.ln a     a > 0, a 1

A magok a napraforgó virágában, egyes puhatestűek házának gyönyörű spirálja, ezek volnának a híres Fibonacci-sorozat megtestesülései? Vajon az ananász és a tobozok szépségét is ez a sorozat adja?

Több évszázad óta sokan próbálták megmagyarázni a formák harmóniáját e nevezetes aranymetszés-szám szinte csodás (isteni!) hatásával. De a tudósok kukacoskodók, nem elégszenek meg evidenciákkal, még ha azok csábítóak is. 

2012-ban a matematikus Alan Turing születésének századik évfordulójára a Sunflower Consortium of MSI Turing tudósai közösségi kísérletet szerveztek, arra bíztatva a honpolgárokat, hogy ültessenek napraforgót. 

napraforgo1.jpgAz angolokban van polgári öntudat, szeretik tudósaikat, így azok négy év után 657 napraforgó spirálisait elemezhették! Eredményeiket a Royal Society Open Science-ben adták közre. Kiderült, hogy csaknem minden ötödik virág eltér a Fibonacci-modelltől, némelyikük pedig sokkal bonyolultabb matematikai törvényeknek engedelmeskedik.

Ford., szerk.: Jakabffy Éva                                            

Szólj hozzá